CES-10 INTRODUÇÃO À COMPUTAÇÃO Aulas Práticas – 2014 Capítulo IX Subprogramação e Recursividade.

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1 CES-10 INTRODUÇÃO À COMPUTAÇÃO Aulas Práticas – 2014 Capítulo IX Subprogramação e Recursividade

2 Programa 9.1: Subprograma bem simples para somar #include #include int soma (int x, int y) {return x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); c = soma (a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Copiar, salvar e executar

3 Programa 9.2: Mesmo efeito, porém sem retornar valor #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Copiar, salvar e executar

4 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main abc

5 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main abc Leitura de a e b: 151 346

6 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main 151 a 346 bc Leitura de a e b: 151 346

7 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main 151 a 346 bc Alocação das variáveis de soma Função soma xyz

8 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main 151 a 346 bc Passagem dos argumentos aos parâmetros Função soma xyz

9 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main 151 a 346 bc Passagem dos argumentos aos parâmetros Função soma 151 x 346 yz

10 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main 151 a 346 bc z recebeu o endereço de c z é um ponteiro (apontando para c) Função soma 151 x 346 yz

11 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main 151 a 346 bc O local cujo endereço está em z (*z) recebe o valor de x+y Função soma 151 x 346 yz 497 c

12 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main 151 a 346 b Função soma 151 x 346 yz 497 c Desalocação das variáveis de soma

13 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main 151 a 346 b 497 c Desalocação das variáveis de soma

14 #include #include void soma (int *z, int x, int y) {*z = x + y;} int main ( ) { int a, b, c; printf ("Digite a e b: "); scanf ("%d%d", &a, &b); soma (&c, a, b); printf ("\nc = a + b = %d + %d = %d", a, b, c); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Função main 151 a 346 b 497 c Será escrito: c = a + b = 151 + 346 = 497

15 #include #include int fat (int n) { int f; if (n < 0) f = -1; else if (n <= 1) f = 1; else f = n * fat(n - 1); return f; } int main() { int n; printf ("Calculo de fatorial de n"); printf ("Calculo de fatorial de n"); printf ("\n\n\tDigite n: "); printf ("\n\n\tDigite n: "); scanf ("%d", &n); printf ("\n\tFat(%d) = %d", n, fat(n)); printf ("\n\tFat(%d) = %d", n, fat(n)); printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0; printf ("\n\n"); system ("pause"); return 0;} Copiar, salvar e executar Formula recursiva -1, para n < 0 n! =1, para 0 ≤ n ≤ 1 n * (n-1)!, para n > 1 Programa 9.3: Cálculo recursivo de fatorial

16 int v = 0; //Numero da versao de fat: global int fat (int n) { int f; int i; v++; printf ("\n"); printf ("\n"); for (i = 1; i <= v; i++) printf (" "); printf ("Entrada em fat versao %d; n = %d; ", v, n); printf ("Digite algo: "); getche (); printf ("\n"); if (n < 0) f = -1; else if (n <= 1) f = 1; else f = n * fat(n - 1); printf ("\n"); printf ("\n"); for (i = 1; i <= v; i++) printf (" "); printf ("Saida de fat versao %d; n = %d; fat = %d; ", v, n, f); printf ("Digite algo: "); getche (); printf ("\n"); v--; if (v == 0) printf ("\n"); if (v == 0) printf ("\n"); return f; } Copiar, salvar e executar Programa 9.4: Cálculo recursivo instrumentado de fatorial Alterar a função fat do programa anterior

17 Exercício 9.1: Potência de expoentes inteiros e não negativos A n (n inteiro e não negativo) Escrever um programa para implementar a seguinte fórmula recursiva: Escrever um programa para implementar a seguinte fórmula recursiva: A função main pode ser parecida com a do programa do fatorial A função main pode ser parecida com a do programa do fatorial 1, para n = 0 A n =A * A n-1, para n > 0

18 Exercício 9.2: Raiz quadrada Escrever um programa para implementar a seguinte fórmula recursiva: Escrever um programa para implementar a seguinte fórmula recursiva: a é uma aproximação para a raiz quadrada; e é a precisão desejada a é uma aproximação para a raiz quadrada; e é a precisão desejada A primeira aproximação e a precisão devem ser lidas na função main A primeira aproximação e a precisão devem ser lidas na função main a, p/ (|a 2 - n| < e) RaizQuad (n, a, e) = RaizQuad (n, (a 2 +n)/(2*a), e), caso contrário

19 Exercício 9.3: Números de Fibonacci (procriação de coelhos) Gerar a sequência de números de Fibonacci para um dado valor de n, usando a seguinte fórmula recursiva: Gerar a sequência de números de Fibonacci para um dado valor de n, usando a seguinte fórmula recursiva: O programa deve montar uma tabela com os números de Fibonacci e com o número de chamadas recursivas para gerar cada um deles O programa deve montar uma tabela com os números de Fibonacci e com o número de chamadas recursivas para gerar cada um deles Para tanto, o programa deve ser devidamente instrumentado (ver como exemplo a tabela a seguir) Para tanto, o programa deve ser devidamente instrumentado (ver como exemplo a tabela a seguir) -1, p/ n < 0 0, p/ n = 0 Fib (n) = 1, p/ n = 1 Fib (n-2) + Fib (n-1), p/ n > 1

20 Exemplo: tabela para n = 20 n | Fib(n) | Chamadas recursivas n | Fib(n) | Chamadas recursivas-------------------------------------------------------- 0 | 0 | 1 0 | 0 | 1 1 | 1 | 1 1 | 1 | 1 2 | 1 | 3 2 | 1 | 3 3 | 2 | 5 3 | 2 | 5 4 | 3 | 9 4 | 3 | 9 5 | 5 | 15 5 | 5 | 15 6 | 8 | 25 6 | 8 | 25 7 | 13 | 41 7 | 13 | 41 8 | 21 | 67 8 | 21 | 67 9 | 34 | 109 9 | 34 | 109 10 | 55 | 177 10 | 55 | 177 11 | 89 | 287 11 | 89 | 287 12 | 144 | 465 12 | 144 | 465 13 | 233 | 753 13 | 233 | 753 14 | 377 | 1219 14 | 377 | 1219 15 | 610 | 1973 15 | 610 | 1973 16 | 987 | 3193 16 | 987 | 3193 17 | 1597 | 5167 17 | 1597 | 5167 18 | 2584 | 8361 18 | 2584 | 8361 19 | 4181 | 13529 19 | 4181 | 13529 20 | 6765 | 21891 20 | 6765 | 21891

21 Tarefa 1 do Lab 9: Função binomial Em Análise Combinatória, o coeficiente binomial tem a seguinte formulação recursiva: Em Análise Combinatória, o coeficiente binomial tem a seguinte formulação recursiva: Usando esta formulação, escrever um programa para ler um inteiro positivo m e montar duas matrizes quadradas: Usando esta formulação, escrever um programa para ler um inteiro positivo m e montar duas matrizes quadradas:  A primeira de nome A(m x m), onde A[i][j] = Binom (i, j), para 0  i  m-1 e 0  j  m-1  A segunda de nome B(m x m), onde B[i][j] deverá conter o número de chamadas recursivas para calcular A[i][j], para 0  i  m-1 e 0  j  m-1 -1, p/ n n Binom (n, k) = 1, p/ k = 0 ou k = n Binom (n-1, k-1) + Binom (n-1, k), p/ outros casos

22 Exemplo: matrizes para m = 8 Matrizes quadradas com valores e chamadas recursivas da funcao binomial Digite a dimensao das matrizes: 8 Matriz A com os valores da funcao binomial: 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 2 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 2 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 3 3 1 -1 -1 -1 -1 1 3 3 1 -1 -1 -1 -1 1 4 6 4 1 -1 -1 -1 1 4 6 4 1 -1 -1 -1 1 5 10 10 5 1 -1 -1 1 5 10 10 5 1 -1 -1 1 6 15 20 15 6 1 -1 1 6 15 20 15 6 1 -1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Matriz B com os numeros de chamadas recursivas da funcao binomial: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 7 11 7 1 1 1 1 1 7 11 7 1 1 1 1 1 9 19 19 9 1 1 1 1 9 19 19 9 1 1 1 1 11 29 39 29 11 1 1 1 11 29 39 29 11 1 1 1 13 41 69 69 41 13 1 1 13 41 69 69 41 13 1 i i j j

23 Tarefa 2 do Lab 9: Função com aninhamento de recursividade Uma função h(n) tem a seguinte formulação recursiva aninhada: Uma função h(n) tem a seguinte formulação recursiva aninhada: Usando esta formulação, escrever um programa para ler um inteiro positivo m e montar uma tabela de h(n) e do número de chamadas recursivas para o cálculo de h(n), para 0  n  m Usando esta formulação, escrever um programa para ler um inteiro positivo m e montar uma tabela de h(n) e do número de chamadas recursivas para o cálculo de h(n), para 0  n  m -1, p/ n < 0 0, p/ n = 0 h (n) = n, p/ n > 4 h (2 + h (2*n)), p/ 1 ≤ n ≤ 4

24 Exemplo: tabela para m = 8 n | h(n) | Chamadas recursivas n | h(n) | Chamadas recursivas-------------------------------------------------------- 0 | 0 | 1 0 | 0 | 1 1 | 14 | 7 1 | 14 | 7 2 | 12 | 5 2 | 12 | 5 3 | 8 | 3 3 | 8 | 3 4 | 10 | 3 4 | 10 | 3 5 | 5 | 1 5 | 5 | 1 6 | 6 | 1 6 | 6 | 1 7 | 7 | 1 7 | 7 | 1 8 | 8 | 1 8 | 8 | 1

25 Tarefa 3 do Lab 9: Função Ackermann Uma importante função teórica conhecida como função de Ackermann tem a seguinte formulação recursiva: Uma importante função teórica conhecida como função de Ackermann tem a seguinte formulação recursiva: Usando esta formulação, escrever um programa para ler dois inteiros positivos p e q e montar duas matrizes: Usando esta formulação, escrever um programa para ler dois inteiros positivos p e q e montar duas matrizes:  A primeira de nome A(p x q), onde A[i][j] = Acker (i, j), para 0  i  p-1 e 0  j  q-1 A[i][j] = Acker (i, j), para 0  i  p-1 e 0  j  q-1  A segunda de nome B(p x q), onde B[i][j] deverá conter o número de chamadas recursivas para calcular A[i][j], para 0  i  p-1 e 0  j  q-1 -1, p/ m < 0 ou n < 0 Acker (m, n) = n+1, p/ m = 0 e n ≥ 0 Acker (m-1, 1) p/ n = 0 e m > 0 Acker (m-1, Acker (m, n-1), p/ outros casos

26 Exemplo: matrizes para p = 4 e q = 8 Matrizes com valores e chamadas recursivas da funcao ackermann Digite as dimensoes das matrizes: 4 8 Matriz A com os valores da funcao acker: 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 3 5 7 9 11 13 15 17 3 5 7 9 11 13 15 17 5 13 29 61 125 253 509 1021 5 13 29 61 125 253 509 1021 Matriz B com os numeros de chamadas recursivas da funcao acker: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 16 5 14 27 44 65 90 119 152 5 14 27 44 65 90 119 152 15 106 541 2432 10307 42438 172233 693964 15 106 541 2432 10307 42438 172233 693964 i i j j