Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados

Apresentação em tema: "Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados"— Transcrição da apresentação:

1 Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados
Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos (regressão numérica), o método dos mínimos quadrados é largamente utilizado na calibração estática de sistemas de medição. Pode-se utilizar este método para vários tipos de curvas (funções), e aqui apresenta-se uma aplicação para medidor de vazão tangencial, calibrado através do método gravimétrico.

2 Equacionamento: Q Qi l/s 0,09 0,20 0,31 0,30 0,39 0,40 0,48 0,50 0,57 0,60 0,65 0,70 0,74 0,80 0,84 0,91 0,93 1,00 Qi = 1,105 . Q - 0,0246 Q = 0,902 . Qi + 0,0232

3 Propagação de Incertezas Através de Módulos

4 Motivação Algumas vezes é necessário compor sistemas de medição reunido módulos já existentes. O comportamento metrológico de cada módulo é conhecido separadamente. Qual o comportamento metrológico do sistema resultante da combinação dos vários módulos?

5 ? Transdutores UTS Dispositivos mostradores 0.000 0.000 0.000 0.000
6.414

6 Composição de sistemas de medição
sistema de medição Módulo 1 Módulo 2 Módulo n ... ESM SSM

7 Modelo matemático para um módulo
S(M1) Idealmente: K(M1) : sensibilidade C(M1) : correção u(M1) : incerteza padrão S(M1) = K(M1) . E(M1) Em função dos erros: S(M1) = K(M1) . E(M1) + C(M1) ± u(M1)

8 Modelo para dois módulos
E(M1) S(M2) E(M2) S(M1) = K(M1) . E(M1) + C(M1) ± u(M1) S(M2) = K(M2) . E(M2) + C(M2) ± u(M2) E(M2) = S(M1) S(M2) = K(M2) . [K(M1) . E(M1) + C(M1) ± u(M1)] + C(M2) ± u(M2) S(M2) = K(M1) . K(M2) . E(M1) + [C(M1). K(M2) + C(M2)] ± [u(M1). K(M2) + u(M2)]

9 Modelo matemático para n módulos
Sensibilidade Equivalente Modelo matemático para n módulos Módulo 1 ... Módulo 2 Módulo n E(SM) S(SM) K(M1), C(M1), u(M1) K(M2), C(M2), u(M2) K(Mn), C(Mn), u(Mn) sensibilidade S(SM) = K(M1) . K(M2) K(Mn) . E(SM) K(SM) = K(M1) . K(M2) K(Mn)

10 Modelo matemático para n módulos
Correção Relativa Equivalente Modelo matemático para n módulos correção Cr(SM) = Cr(M1) + Cr(M2) Cr(Mn) sendo: Cr = correção relativa, calculada por: para o módulo “k” para o sistema de medição CE(SM) = correção na entrada do SM CS(SM) = correção na saída do SM

11 Modelo matemático para n módulos
Incerteza Padrão Relativa Equivalente Modelo matemático para n módulos incerteza ur(SM)2 = ur(M1)2 + ur(M2 ) ur(Mn )2 sendo: ur = incerteza relativa, calculada por: para o módulo “k” para o sistema de medição uE(SM) = incerteza na entrada do SM uS(SM) = incerteza na saída do SM

12 Modelo matemático para n módulos
graus de liberdade efetivos sendo: número de graus de liberdade efetivo do sistema de medição a incerteza padrão relativa combinada do sistema de medição a incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo n de graus de liberdade da incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo

13 Modelo matemático para n módulos
Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida como: Ur(SM)2 = Ur(M1)2 + Ur(M2 ) Ur(Mn )2 para o módulo “k” para o sistema de medição

14 Correção e Incerteza Correção e Incerteza em Termos Absolutos
Na entrada do SM: Na saída do SM:

15 Problema: A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V. Determine o resultado da medição do deslocamento, efetuado com o sistema de medição especificado abaixo, composto de: transd. indutivo amplifi-cador voltí-metro ESM= ? 2,500 V

16 transd. indutivo amplifi-cador voltí-metro ESM= ? 2,500 V transd. indutivo de deslocamentos faixa de medição: 0 a 20 mm sensibilidade: 5 mV/mm correção: - 1 mV u = 2 mV ν=16 unidade de tratamento de sinais faixa de medição: ± 200 mV (entrada) amplificação: 100 X correção: 0,000 V u = 0,2 % (VFE) ν=20 disp. mostrador: voltímetro digital faixa de medição: ± 20 V correção: 0,02% do valor indicado u = 5 mV ν=96

17 5,00 mm 25,00 mV 2,500 V transd. indutivo amplifi-cador voltí-metro ESM= ? 2,500 V KT = 5 mV/mm CT = - 1 mV uT = 2 mV KUTS = 0,1 V/mV CUTS = 0,000 V uUTS = 0,2 % . 0,20 V KDM = 1 V/V CDM = 0,02 % . 2,5V uDM = 5 mV CrT = - 1/25 = -0,04 urT = 2 /25 = 0,08 CrDM = 0,0005/2,5 = 0,0002 urDM = 0,005/2,5 = 0,002 CrUTS = 0,000 urUTS = 0,0004/2,5 = 0,000016

18 sensibilidade KSM = KT . KUTS . KDM = 5 mV/mm . 0,1 V/mV . 1 V/V KSM = 0,5 V/mm correção CrSM = CrT + CrUTS + CrDM = -0, , ,0002 CrSM = -0,0398 na entrada: CESM = CrSM . ESM = -0, ,000 mm = -0,199 mm CESM = -0,199 mm

19 incerteza (urSM)2 = (urT)2 + (urUTS)2 + (urDM)2 (urSM)2 = (0,08)2 + (0,000016)2 + (0,002)2 (urSM)2 = [64 + 0, ,04] urSM = 0,08005 na entrada: uESM = urSM . ESM = 0, ,000 mm uESM = 0,4002 mm

20 graus de liberdade efetivos
UESM = t . uESM = 2,169 * 0,4002 = 0,868 mm

21 Resultado da medição RM = I + CESM ± UESM
RM = (4,80 ± 0,87) mm