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Determinação das características geométricas de superfícies planas

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Apresentação em tema: "Determinação das características geométricas de superfícies planas"— Transcrição da apresentação:

1 Determinação das características geométricas de superfícies planas

2 Apresentação da aula Introdução Baricentros e centróides
Momentos de primeira ordem ou momentos estáticos Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia Produtos de inércia Translação de eixos Rotação de eixos Momentos e eixos principais de inércia Exemplos numéricos

3 1. INTRODUÇÃO disciplinas Resistência dos Materiais e Análise de Estruturas : cálculo de esforços internos e externos resultantes de ações aplicadas nas estruturas deslocamentos e tensões características geométricas das superfícies planas formadas pelas seções transversais das barras

4 Viga em balanço Análise de Estruturas equaciona o problema de determinação da flecha f na extremidade da barra:   função proporcional à ação P aplicada e ao comprimento da peça L e inversamente proporcional à capacidade de deformação do material (representada pelo módulo de elasticidade E) e também ao denominado Momento de Inércia I, uma característica geométrica da seção transversal 

5 Baricentros e centróides
Superfície de espessura constante Peso total P, dividida em n elementos , de pesos individuais ΔP O peso total P da superfície, conforme se sabe, é dado por: sendo que, no limite:

6 Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante P, denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície, basta escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos eixos , ou sejam: Levando tais expressões ao limite, tem-se: Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se: onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidem com as do Baricentro.

7 Momentos de primeira ordem ou momentos estáticos
As integrais pertinentes ao cálculo das coordenadas do Centróide recebem o nome de Momentos de Primeira Ordem em relação aos eixos y e x, respectivamente, cuja notação é expressa por: Cabe ressaltar que tais integrais podem ser entendidas, por analogia aos momentos dos pesos, como momentos das áreas em relação aos eixos coordenados, motivo pelo qual são denominadas Momentos Estáticos.

8 VARIAÇÃO DE SINAIS DOS MOMENTOS ESTÁTICOS
Dependendo da posição do eixo escolhido, o resultado numérico do Momento Estático pode apresentar sinais distintos ou mesmo se anular, conforme pode ser observado no exemplo da figura.

9 Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia
De modo análogo aos Momentos de Primeira Ordem, cujas expressões contêm funções x e y, as integrais do tipo abaixo são denominadas Momentos de Segunda Ordem ou Momentos Inércia em relação aos eixos x e y respectivamente, em notação dada por: Nestas integrais, a exemplo do cálculo de áreas, nota-se que é um problema de integração dupla. Para calculá-las, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas, conforme mostra a figura seguinte:

10 FÓRMULA PARA CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA

11 De maneira análoga, para o eixo y:
Efetuando-se o cálculo do momento de inércia de um retângulo em relação à sua base, localizada no eixo x, conforme mostra a figura: onde Para calcular, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas. De maneira análoga, para o eixo y: b h x y

12 Produtos de inércia Outra característica geométrica de importância para utilização nos itens que se seguem, denomina-se Produto de Inércia, definido pela integral dada por: A exemplo dos momentos estáticos, é fácil verificar que seu resultado apresenta variação de sinais, conforme mostra a figura, dependendo da posição que a área se encontrar em relação aos eixos (x,y). y x (x,y) (-x,y)

13 Para exemplificar, calcula-se a seguir o Produto de Inércia do retângulo da figura, aproveitando-se os parâmetros utilizados para o cálculo de Ix. Nesse caso basta substituir a função na fórmula de integração dupla, ou seja: Para outra posição de eixos coordenados passando pelo Centróide, é fácil verificar que o resultado de Ixy é zero, face à simetria e ao produto dos sinais indicados nos respectivos quadrantes. b h x' y'

14 Translação de eixos Demonstra-se que é possível estabelecer uma relação entre Momentos de Inércia localizados em relação aos eixos passando pelo Centróide e eixos paralelos quaisquer conforme ilustra a firura, por meio do denominado Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner), conforme a seguir se expõe. O Momento de Inércia da superfície, referido ao eixo x, é:

15 Conhecendo-se as coordenadas (xc , yc ) do baricentro da área, e havendo interesse em obter o Momento de Inércia relativo a novo eixo x’ paralelo a x passando por C, basta ter em conta que: Substituindo tal relação na expressão de Ix obtém-se: Desenvolvendo o termo elevado ao quadrado e retirando das integrais as constantes pertinentes tem-se: ou ainda, à vista que o momento estático em relação ao Centróide é nulo, resulta: ou

16 Analogamente, para o eixo y:
Nos dois casos, conhecendo-se os Momentos de Inércia em relação ao Centróide, o valor do Momento de Inércia em relação a qualquer eixo paralelo pode ser obtido adicionando-se uma parcela correspondente ao produto da área pelo quadrado da distância transladada ou vice versa. Procedimento idêntico pode ser realizado para o Produto de Inércia em relação a novos eixos paralelos escrevendo: ou

17 Rotação de eixos Completando o estudo, passa-se à determinação das características geométricas em relação a novos eixos localizados na mesma origem e girados de um ângulo qualquer. Observe-se que, embora de caráter geral, em aplicações práticas interessa providenciar a rotação ao redor dos eixos ( x’ , y’ ) localizados no Centróide. Por esse motivo, estabeleceu-se para a redação das fórmulas deste item, a convenção ilustrada na figura, onde estão indicadas fórmulas para rotação das coordenadas.

18 Assim sendo, para obter Iu, Iv e Iuv como funções de Ix’, Iy’ e Ix’y’ é o bastante substituir as novas coordenadas ( u , v ) nas expressões das características geométricas relativas a esses eixos, ou sejam: Após algumas manipulações algébricas, obtêm-se as seguintes fórmulas mais concisas:

19 Momentos e eixos principais de inércia
Tendo em vista que os Momentos de Inércia Iu e Iv estão relacionados a Ix’ e Iy’ apenas como funções do ângulo θ, é possível determinar seus valores extremos, bastando para tanto derivar tais expressões, igualando-as a zero, providência que conduz a: A solução dessa equação tem como resultado dois valores de θ defasados de 90o , que definem outro par de eixos denominados Eixos Principais de Inércia, indicados por ( 1 , 2 ) , nos quais os Momentos de Inércia são extremos, e denominados Momentos Principais de Inércia, em notação expressa por

20 5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas
5.1- Definição e convenção de sinais Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes em uma seção transversal genérica são as forças que equilibram as ações externas que atuam à esquerda ou à direita desta seção. Os esforços solicitantes formam pares (ação e reação entre corpos) de mesma direção e intensidade, porém de sentidos contrários, nas duas seções transversais.

21 Estas forças atuantes na seção transversal podem ser reduzidas a uma força resultante aplicada em um ponto (centro de gravidade da seção) e a um momento (binário) resultante. Para facilitar os cálculos destes esforços solicitantes, obtêm-se as componentes destas resultantes nas direções do eixo longitudinal e dos eixos ortogonais a este, que contêm a seção transversal da barra.

22 N - força normal ou axial
V - força cortante M - momento fletor T - momento torçor As componentes destas forças, considerando-se estrutura plana e carregamento contidos no plano xy, são os esforços solicitantes esforço axial N, momento fletor Mz e esforço cortante Vy.

23 Convenção de sinais: sentidos positivos dos esforços
Esforço normal (axial): N Esforço cortante: V Momento fletor: M Momento torçor: T

24 Determinação dos esforços solicitantes
As equações de equilíbrio determinam as condições da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita da seção transversal estudada. Exemplo apoio fixo A: deslocamentos restritos vx e vy apoio móvel C: deslocamento restrito vy x 5,0 kN/m y 8,0 kN B A C 4,0 1,5 m 8,0 kN HA VA Vc

25 Equações de equilíbrio
Reações de apoio Carga distribuída transformada em força concentrada fictícia, Fq = 5,0.5,5=27,5 kN Equações de equilíbrio x y RA Rc HA 4,0 1,5 m 27,5 kN 8,0 kN

26 Esforços solicitantes
Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A) equações de equilíbrio x y 2,0 10,0 kN MB HA NB RA VB

27 6. Equações analíticas e diagrama de esforços
Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada seção transversal; Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao longo do elemento estrutural ou da estrutura como um todo; Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em função da coordenada x, onde são representados os valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção transversal de referência em posição genérica. As funções obtidas são contínuas para carregamentos contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da estrutura.

28 Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A) Variação de a coordenada s: < s < 4,0 m equações de equilíbrio x y s s 5,0.s MS HA NS RA VS

29 Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios
Para s=0: Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):

30 Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A) Variação de a coordenada s: ,0 < s < 5,5 m x y s s 5,0.s MS HA NS RA RC VS

31 Esforços solicitantes para o trecho CD, em balanço
Para s=4,0: Para s=5,5 (seção extrema do balanço):

32 Diagrama dos esforços solicitantes
As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos esforços solicitantes seguindo algumas convenções: Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados abaixo do eixo de abcissa x B 1,4 11,4 _ V (kN) + 7,5 + 8,6 5,6 _ M (kN.m) + 7,2

33 Observações: Força cortante: descontinuidade no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio) A diferença (ou a soma dos módulos) dos valores de força cortante, à direita e à esquerda do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN) representam a carga concentrada naquele ponto (reação de apoio VC=18,9kN) Momento fletor: descontinuidade da inclinação no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)

34 7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos
As expressões analíticas dos esforços solicitantes de flexão (momento fletor e força cortante) apresentam relações diferenciais entre si. Considere-se um elemento de comprimento infinitesimal dx de uma barra geral em equilíbrio, sobrecarregada uniformemente:

35 Equações de equilíbrio

36 Integrando-se as duas equações, tem-se:
onde C1 e C2 são constantes de integração e são conhecidos a partir da definição de condições de contorno do problema estudado.

37 Segundo as expressões diferenciais pode-se prever a forma dos diagramas de esforços M e V para os diversos tipos de carga distribuída: q=0: V - constante M - variação linear q=constante: V - variação linear M - polinômio 2o. grau q=linear: V – pol. 2o. Grau M - polinômio 3o. grau E ainda:

38 Bibliografia ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - NBR6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, p. DIAS, L. A M. Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem. Zigurate, 1998. FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: Fundamentos do projeto estrutural. São Paulo: McGraw Hill, 1976. GIONGO, J.S. Estruturas de concreto armado. São Carlos: Publicação EESC/USP, 1993. MACHADO JUNIOR, E.F. Introdução à isostática. São Carlos: Publicação EESC/USP,1999. SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harbra, 1984.


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