CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafos Hamiltonianos.

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1 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafos Hamiltonianos

2 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Ciclo Hamiltoniano Um caminho que contém todos os vértices de G é dito um caminho hamiltoniano

3 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Caminho e Ciclo Hamiltoniano Um caminho que contém todos os vértices de G é dito um caminho hamiltoniano Um ciclo hamiltoniano é um ciclo que contém todos os vértices de G Nem todo grafo conexo possui um ciclo hamiltoniano

4 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Questão Existe uma condição necessária e suficiente para um grafo conexo possuir um ciclo hamiltoniano?

5 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema Se G é hamiltoniano então, para todo subconjunto não-vazio e próprio S de V, (G-S) |S|

6 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo n = 9 S = {s 1, s 2, s 3 } s1s1 s1s1 s1s1 s1s1 s1s1 s2s2 s3s3

7 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo de Petersen

8 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema Se G é um grafo simples com n 3 e n/2, então G é hamiltoniano a d c b

9 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Prova Seja G um grafo simples e maximal, com n 3 e n/2 e não hamiltoniano. Ou seja, não existe nenhum outro grafo com mais arestas do que ele que não seja hamiltoniano Sejam u e v vértices não adjacentes em G Como G é maximal, G + {u,v} é hamiltoniano A aresta {u,v} pode ser adicionada a G pois sabemos que G não é completo, pois por suposição, n 3 e G é não hamiltoniano (todo grafo completo possui um ciclo hamiltoniano) Como G é não hamiltoniano, todo ciclo hamiltoniano de G+{u,v} contém a aresta {u,v}

10 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Prova Logo existe o caminho hamiltoniano em G descrito por u = v 1 v 2 v 3...v n-1 v n = v O grafo G pode conter mais arestas do que aquelas pertencentes ao caminho (pois n/2) Sejam S = {v i | uv i+1 E} e T = {v i | v i v E} v n S e v n T v n S T |S T| < n (I) Além disso, |S T| = 0 (senão haveria um ciclo hamiltoniano em G) (II) De (I) e (II): d(u) + d(v) = |S|+|T| = |S T| + |S T| < n+0 = n Daí, existe algum vértice em G cujo grau é menor que n/2 (contradição) Logo G é hamiltoniano

11 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Teorema Número de ciclos hamiltonianos com arestas disjuntas em um grafo: em aberto! Em um grafo completo esse número pode ser determinado Em um grafo completo com n vértices, existem (n-1)/2 ciclos hamiltonianos com arestas disjuntas, se n é ímpar e n 3.

12 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exercício Exiba um grafo euleriano e hamiltoniano Exiba um grafo euleriano e não hamiltoniano Exiba um grafo não euleriano e hamiltoniano Exiba um grafo não euleriano e não hamiltoniano