Problemas em DLS, são todos NP-Hard ? Pela definição anterior, a resposta é `Não´. Vejamos alguns: O TSP é um problema DLS. Seja n o número de arestas.

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1 Problemas em DLS, são todos NP-Hard ? Pela definição anterior, a resposta é `Não´. Vejamos alguns: O TSP é um problema DLS. Seja n o número de arestas de um grafo completo G, então F contém exatamente os conjuntos de inteiros (isto é, inteiros que representam arestas) correspondentes a tours em G. O vetor de custos w é então uma representação vetorial da matriz de distâncias entre cidades. O Minimum Spanning Tree, é um problema polinomial que pertence a DLS. Os problemas Shortest-Path, Min-cost flow, Maximum weight set in a matroid, Weighted matroid intersection, e weighted 3-matroid intersection também pertencem a DLS.

2 Representação e Ótimos Locais Analise o problema e a representação: max f(x) = (x-14) 2, s.a. x  [0,31] e inteiro representação  binária, cada inteiro como um cromossomo de 5 bits. O vetor (0,0,0,0,0) representa 0 e (1,1,1,1,1) -> representa 31. população inicial  aleatória tamanho da população e tipo  5, fixa, sem estrutura. função de fitness  f(x)

3 Exemplo População inicial gerada: xf(x)=(x-14) 2 A 1  1 0 0 1 11925 A 2  0 0 1 0 1581 A 3  1 1 0 1 026144 A 4  1 0 1 0 12149 A 5  0 1 1 1 0140 Escolha dos pais com maior fitness  A 3, A 2 geração de 1 filho, que substituirá o indivíduo com menor fitness A 5 Pai 1 Pai 2

4 Exemplo xf(x)=(x-14) 2 Pai 1 = A 2  0 0 1 0 1581 Pai 2 = A 3  1 1 0 1 026144 Filho  0 0 0 1 02 144 mutação  0 0 0 1 02144 xf(x) A 1  1 0 0 1 11925 A 2  0 0 1 0 1581 A 3  1 1 0 1 026144 A 4  1 0 1 0 12149 A 5  0 0 0 1 02144 Pai 1 Pai 2

5 Exemplo xf(x) Pai 1 = A 5  0 0 0 1 02144 Pai 2 = A 3  1 1 0 1 026144 Filho  0 0 0 1 02144 mutação  0 0 0 0 00196 xf(x) A 1  0 0 0 0 0 0196 A 2  0 0 1 0 1581 A 3  1 1 0 1 026144 A 4  1 0 1 0 12149 A 5  0 0 0 1 02144 Pai 1 Pai 2

6 Exemplo xf(x) Pai 1 = A 1  0 0 0 0 00196 Pai 2 = A 5  0 0 0 1 0 2144 Filho  0 0 0 0 0 mutação  0 0 0 0 1 1169 xf(x) A 1  0 0 0 0 0 0196 A 2  0 0 1 0 1581 A 3  1 1 0 1 026144 A 4  0 0 0 0 1 1169 A 5  0 0 0 1 02144 e assim continua...

7 Representação binária e código de Gray xf(x)=(x-7) 2 binariaGray 04900000000 13600010001 2250010 0011 3160011 0010 4901000110 540101 0111 610110 0101 700111 0100 811000 1100 941001 1101 1091010 1111 11161011 1110 12251100 1010 13361101 1011 14491110 1001 15641111 1000

8 Representação, código de Gray e “fitness landscape” f(x)=(x-7) 2 |delta_f| bináriadiff 4915=64-4900004 3613=49-3600011 2511=25-360010 2 1690011 1 9701003 450101 1 130110 2 010111 1 111000 4 431001 1 951010 2 1671011 1 2591100 3 36111101 1 49131110 2 64151111 1

9 Representação, código de Gray e “fitness landscape” |delta_f| * diff 15 * 4= 60soma total 13 * 1= 13representação binária 11 * 2= 22 9 * 1= 960+13+22... = 240 7 * 3= 21 5 * 1= 5suma total 3 * 2= 6representação de Gray 1 * 1= 1 1 * 4= 415+13+11... = 128 3 * 1= 3 5 * 2= 10 7 * 1= 7240/128 = 1.875 9 * 3= 27(métrica de comparação ?) 11 * 1= 11 13 * 2= 26 15 * 1= 15

10 Representação - Hipercubo binário 9 1 3 7 15 13 11 14 6 2 0 8 12 4 10 5

11 Representação - Código de Gray 14 1 2 5 10 9 13 11 4 3 0 15 8 7 12 6

12 Representação, código de Gray e “fitness landscape” Problema: como avaliar uma métrica dada ? 1) Análise estatística 2) Análise assintótica... (?) 3) Análise do pior caso... pode ser feito, mas é pouco relevante para entender a dinâmica do algoritmo evolutivo. Existe alguma métrica geralmente aceita para poder analisar diferentes representações ? Não, mais geralmente se traduz em “princípios’’, e.g. “building block hypotheses”, baixa epistasis, etc. Idéia básica: configurações vizinhas (para a mutação) tem que ter valores semelhantes da função de fitness (correlação local).

13 Análise estatística e representações boas Moscato (‘89): “On evolution, search...”, discute a “correlação de ótimos locais” como essencial para os MAs. Dependência não só do problema mais da instância ! Radcliffe: “The Algebra of Genetic Algorithms’’, (preprint, ‘92) discute uma formalização dos GAs em termos de “formae”. Inspiração em Álgebra Linear. Hoffman: (Tese, TU Münich, ‘93) usa “formae theory” para analisar vários operadores de recombinação para o problema do caixeiro viajante. Moscato (‘93): paper em Annals of Operations Research, vol. 41. a) “representações com ótimos locais são às vezes ‘naturais’ para alguns problemas”. “Se não, o problema é como desenhá-las para MAs eficentes.

14 Análise estatística e representações boas Moscato (‘93): paper em Annals of Operations Research, vol. 41. b) “fitness distance analysis” para o problema do perceptron binário. c) Tabu Search: Muito bom para diversificação (sempre que não seja excessiva) da população. Radcliffe & Surry (‘94): dois trabalhos: “Formal Memetic Algorithms”, e “Fitness variance of formae and performance prediction”. a) MAs são muito melhores que GAs para alguns problemas (e.g. TSP) b) Como Hoffmann, análise estatística é possível com ajuda da simulação computacional.