Teste de hipóteses com duas amostras

Apresentação em tema: "Teste de hipóteses com duas amostras"— Transcrição da apresentação:

1 Teste de hipóteses com duas amostras
8 Teste de hipóteses com duas amostras Estatística Aplicada Larson Farber

2 (amostras grandes e independentes)
Seção 8.1 Testando a diferença entre duas médias (amostras grandes e independentes)

3 Visão geral Amostra 1 Amostra 2
Para testar o efeito benéfico de um tratamento fitoterápico sobre a memória, você seleciona aleatoriamente duas amostras de pessoas; uma delas receberá o medicamento e a outra tomará um placebo. Um mês depois, os dois grupos são submetidos a um teste de memória e obtêm os resultados a seguir. Amostra 1 Amostra 2 Many experiments are conducted where one group gets a treatment and another receives a placebo. These are often double-blind meaning that neither the experimenter of the subject knows which group a person belongs to, Grupo experimental (tratamento) Grupo de controle (placebo) A estatística teste resultante é 77 – 73 = 4. Essa diferença é significativa ou pode ser atribuída ao acaso (erro amostral)?

4 Amostras independentes
Os membros de uma amostra não têm relação com os membros da outra. Uma pessoa que recebeu o tratamento fitoterápico não estava relacionada nem podia ser emparelhada com outra no grupo de controle. x1 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 Grupo experimental Grupo de controle

5 Amostras dependentes x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
Cada membro de uma amostra pode ser emparelhado a um membro da outra amostra. A nota no teste de memória de cada pessoa da amostra podia ser registrada antes e depois do tratamento. x1 x2 x1 x2 x1 x2 This type of test is often used in before and after trials. It is also used when each subject from one group can be matched with a subject from another (before after studies or studies with identical twins are often used.) x1 x2 x1 x2 x1 x2 Nota antes Nota depois Pode-se calcular a diferença para cada par.

6 Aplicação Para testar o efeito benéfico de um tratamento fitoterápico sobre a memória, você seleciona aleatoriamente uma amostra de 95 pessoas, as quais receberão o tratamento, e uma amostra de 105 pessoas que tomarão um placebo. Um mês depois, ambos os grupos submetem-se a um teste. A nota média do grupo experimental é de 77, com um desvio padrão de 15. No grupo de controle, a média é 73 e o desvio padrão, 12. Teste a alegação de que o tratamento fitoterápico melhora a memória a = 0,01.

7 1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
A hipótese nula H0 em geral contém a condição de igualdade. (Não há diferença entre os parâmetros das duas populações.) A hipótese alternativa Ha é verdadeira quando H0 é falsa. (alegação) The steps are similar to those used in one sample tests. 2. Estabeleça o nível de significância. = 0,01. Essa é a probabilidade de H0 ser verdadeira e você a rejeitar.

8 3. Identifique a distribuição amostral.
A distribuição da estatística amostral é normal, já que as duas amostras são grandes. Região de rejeição The variance is the sum of the variances of the two samples. z 2,33 Valor crítico z0 z0 4. Determine o valor crítico. 5. Determine a região de rejeição.

9 8. Interprete sua decisão.
Se as duas amostras são grandes, você pode usar s1 e s2 no lugar de e 6. Determine a estatística teste. 3,74 1,933 2,07 1,933 7. Tome sua decisão. z 2,33 The form of the standardized score is the difference between the sample value and the value in the null hypothesis divided by the standard deviation of the distribution. Have students calculate the P-value for this test. P= At the 0.01 level of significance, do not reject the null hypothesis. z = 2,07 não cai na região de rejeição. Não rejeite a hipótese nula. O valor P é 0,019 > 0,01. Não rejeite H0. 8. Interprete sua decisão. Não há evidência suficiente para aceitar a alegação de que o tratamento fitoterápico aumenta a memória.

10 (amostras pequenas e independentes)
Seção 8.2 Testando a diferença entre duas médias (amostras pequenas e independentes)

11 Testando a diferença entre médias (amostras pequenas)
Quando você não pode colher amostras de 30 ou mais itens, você pode usar um teste t, se as duas populações forem normalmente distribuídas. A distribuição amostral depende do fato de as variâncias populacionais serem ou não iguais. Se as variâncias das duas populações são iguais, você pode combinar ou ‘agrupar’ informação das duas amostras, a fim de formar uma estimativa agrupada do desvio padrão. O erro padrão é: The test for equal variances is in Chapter 10. You may wish to cover this before this section. If there is not time to do so, each problem informs students whether or not the variances are equal. g.l. = n1 + n2 – 2 Se as variâncias forem diferentes, o erro padrão será: E o g.l. será o menor entre n1 – 1 e n2 – 1.

12 Aplicação Pick-up SUV n 5 1.520 403 8 937 382 s
Cinco pick-ups pequenas e oito SUVs realizaram testes de colisão a cinco milhas por hora. Para as pick-ups, o conserto do pára-choques custou em média US$ 1.520, com um desvio padrão de US$ 403. No caso dos SUVs, o conserto custou uma média de US$ 937, com um desvio padrão de US$ 382. Sendo = 0,05, teste a alegação de que o conserto de pára-choques das pick-ups custa mais que o dos SUVs. Suponha que as variâncias sejam iguais. Have students write the given information on paper. This way they will better be able to follow the computations on the following slides. If you choose to present the test for equal variances first, have students perform this test. F = Pick-up SUV n 5 1.520 403 8 937 382 s

13 1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
(alegação) 2. Estabeleça o nível de significância. = 0,05. 3. Identifique a distribuição amostral. Como as variâncias são iguais, a distribuição da estatística amostral é uma distribuição t com g.l. = – 2 = 11.

14 4. Determine o valor crítico.
5. Determine a região de rejeição. t t0 1,796 6. Determine a estatística teste. Answers may vary slightly due to round offs. The pooled value of the standard deviation will fall between the two sample standard deviations but closer to the one with a larger sample. Se as variâncias forem iguais, determine o valor agrupado. 389,77 389,77(0,570) = 222,203

15 t = 2,624 cai na região de rejeição. Rejeite a hipótese nula.
222,203 7. Tome sua decisão. t 1,796 t = 2,624 cai na região de rejeição. Rejeite a hipótese nula. Using technology, the P-value is P= The conclusion is to reject the null hypothesis. 8. Interprete sua decisão. Há evidência suficiente para aceitar a alegação de que o conserto de pára-choques das pick-ups custa mais que o dos SUVs.

16 Aplicação Segundo uma imobiliária, não há diferença entre a renda média familiar de dois condomínios. A renda média de 12 famílias do primeiro condomínio é de US$ , com um desvio padrão de US$ No segundo condomínio, 10 famílias têm uma renda média de US$ , com um desvio padrão de US$ Suponha que as rendas sejam normalmente distribuídas e que as variâncias sejam diferentes. Teste a alegação sendo = 0,01. In this problem the samples are independent. The variances are not equal so do not calculate a “pooled” value for the standard deviation.

17 1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
Primeiro Segundo (alegação) n 12.000 48,250 10.000 50,375 s 2. Estabeleça o nível de significância. . 0,01 3. Identifique a distribuição amostral. Como as variâncias são diferentes, a distribuição da estatística amostral é uma distribuição t com g.l. = 9. (A menor amostra tem 10 itens, e 10 – 1 = 9.)

18 4. Determine os valores críticos.
5. Determine as regiões de rejeição. –t0 t0 t –3,250 3,250 6. Determine a estatística teste. 1.2002 3.4002 1.129,6017 ( – ) 1,88 1129,6017

19 8. Interprete sua decisão.
7. Tome sua decisão. t –3,250 3,250 t = –1,881 não cai na região de rejeição. Não rejeite a hipótese nula. (O valor P é 0,087 > 0,01.) With technology, you will find the P-value to be Since this is greater than the level of significance, fail to reject the null hypothesis. 8. Interprete sua decisão. Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação de que não há diferença entre as rendas familiares médias dos dois condomínios.

20 Testando a diferença entre duas médias (amostras dependentes)
Seção 8.3 Testando a diferença entre duas médias (amostras dependentes)

21 A diferença entre médias: amostras dependentes
Se cada valor de uma amostra puder ser emparelhado com um valor da outra, as amostras serão dependentes. x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Calcula-se a diferença, d = x1 – x2, para cada par de dados. A distribuição amostral de , a média das diferenças, é uma distribuição t com n – 1 graus de liberdade (n é o número de pares.)

22 Aplicação Indivíduo Antes 65 72 85 78 93 Depois 127 135 140 136 150 d
A tabela abaixo mostra a freqüência cardíaca (em batidas por minuto) de cinco pessoas antes e depois de uma sessão de exercícios físicos. Há evidência suficiente para se concluir que o exercício acelera a freqüência cardíaca? Use 0,05 Indivíduo Antes 65 72 85 78 93 Depois 127 135 140 136 150 d 62 63 55 58 57 1 2 The test is a t-test for one sample where the one sample is the sample of differences. The column labeled d is calculated by subtracting the after value – before value. 3 4 5 A média das diferenças, d, é 59. O desvio padrão de d é 3,39. 3,39

23 1. Estabeleça as hipóteses alternativa e nula.
(alegação) 2. Estabeleça o nível de significância. 0,05 3. Identifique a distribuição amostral. Students will want to use technology tools to calculate the sample means and standard deviations. A distribuição da estatística amostral é uma distribuição t com g.l. = 4. (Como há cinco pares de dados, g.l.= 5 – 1 = 4.)

24 4. Determine o valor crítico.
5. Determine a região de rejeição. t0 t 2,132 Students should recognize such an extreme standard score as being highly unlikely under the assumption that the null hypothesis is true. 6. Determine a estatística teste. 38,92 3,39

25 8. Interprete sua decisão.
7. Tome sua decisão. t0 2,132 t t = 38,92 cai na região de rejeição. Rejeite a hipótese nula. O valor P é muito próximo de 0. 8. Interprete sua decisão. Há evidência suficiente para aceitar a alegação de que o exercício acelera a freqüência cardíaca.

26 Usando o Minitab Resultados impressos do Minitab
Test of = 0.00 vs > 0.00 Variable diff. N 5 Mean 59.00 StDev 3.39 SE 1.52 T 38.90 P 0.0000 The first line tells you that you have selected a right tail test. O valor P é 0,0000. Como 0,0000 < 0,05, rejeite a hipótese nula.

27 Testando a diferença entre duas proporções
Seção 8.4 Testando a diferença entre duas proporções

28 A diferença entre proporções
Se as amostras independentes colhidas de duas populações forem grandes o bastante,você pode aplicar um teste para verificar se há diferença entre as proporções populacionais p1 e p2. x1 e x2 representam o número de sucessos na primeira e na segunda amostra, respectivamente. n1 e n2 representam o tamanho da primeira e da segunda amostra, respectivamente. The common proportion is the sum of the successes over the total number of trials. Proporção de sucessos em cada amostra. Como se supõe que as proporções sejam iguais, uma estimativa para o valor comum será: e

29 Teste z de duas amostras
Se equivalem, cada um, a pelo menos 5, a distribuição amostral para é normal. A média é p1 – p2 = 0 e o desvio padrão: A estatística teste padronizada é:

30 Aplicação Em um levantamento com alunos do ensino médio privado, 917 disseram ter fumado nos 30 dias precedentes. Já em um levantamento com alunos do ensino médio público, disseram ter fumado nos 30 dias precedentes. Sendo pode-se aceitar a alegação de que a proporção de alunos de escola privada que disseram ter fumado é inferior à proporção dos alunos do sistema público que disseram ter fumado? Use 0,01, 0,01. Ensino privado Ensino público n1 = 3.420 x1 = 917 n2 = 5.131 x2 = 1.503 0,268 0,293

31 1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
(alegação) 2. Estabeleça o nível de significância. 3. Identifique a distribuição amostral. A distribuição da estatística amostral é normal, já que cada um, a pelo menos 5. equivalem, 2,420 2.420 0,283 e 0,717 8,551 8.551 0,00994

32 4. Determine um valor crítico.
Região de rejeição Valor crítico z0 z –2,33 5. Determine a região de rejeição. 4. Determine um valor crítico. 6. Determine a estatística teste. Using technology tools results may differ slightly. This is due to rounding off differences. (TI-83 gives z = ) (0,268 – 0,293) 0,25 2,514 0,00994 0,

33 7. Tome sua decisão. –2,33 z = –2,514 cai na região de rejeição. Rejeite a hipótese nula. 8. Interprete sua decisão. Há evidência suficiente para aceitar a alegação de que a proporção de estudantes que fumou nos colégios privados é menor que a observada nos públicos.