Matemática Computacional

Apresentação em tema: "Matemática Computacional"— Transcrição da apresentação:

1 Matemática Computacional
Expressões Regulares

2 Introdução As expressões regulares definem as linguagens regulares de uma forma declarativa (algo que um autômato finito não pode fazer). Ou seja, as expressões regulares são a formalização algébrica de um autômato finito1. Isso faz com que elas sirvam como linguagem de entrada para diversos sistemas que processam strings, seja em ferramentas do mundo UNIX, em um editor de textos ou até mesmo em um SGBD. Com as expressões regulares podemos especificar complexos padrões a serem pesquisados em um string. 1 – Sistema de Estados Finitos é a próxima matéria a ser vista.

3 Origem Sua origem está em dois estudos, o primeiro teorizava o funcionamento dos neurônios, o segundo demonstrava a descrição algébrica de tais modelos. Só em 1968 um algoritmo de busca do editor de textos qed para o UNIX veio a utilizar tal recurso e posteriormente foi criada a ferramenta grep “Global (search for) Regular Expression and Print” (Jargas, 2009). Segundo Menezes (2000), uma linguagem é regular se, e se somente se, é possível construir um autômato finito que reconheça tal linguagem.

4 Conceitos básicos Alfabeto: conjunto finito de caracteres (um conjunto vazio também pode ser considerado um alfabeto). É representado pelo símbolo Σ . Palavra: sequência finita de símbolos do alfabeto de forma adjacente. A palavra vazia é representada pelo símbolo . Se Σ representa um alfabeto, então Σ* representa o conjunto de todas as palavras possíveis sobre o alfabeto. Já Σ+ representa o conjunto de todas as palavras do alfabeto, exceto a palavra vazia, Σ+ = Σ*- { }. Tamanho ou comprimento: o número de símbolos que compõe uma palavra w é representado por |w|. Para cada expressão regular E, descrevemos a linguagem que ela denota por L(E).

5 Operações União: o operador “+” serve para denotar tal operação.
Exemplo: L(E) = 01* + 10* denota todos os strings que são um único zero seguido por qualquer número de 1’s ou um único 1 seguido por qualquer número de zeros. Concatenação: é o conjunto de strings que podem ser formados tomando-se qualquer string de uma linguagem L e concatenando-se esse string com qualquer string de uma linguagem M. Denotamos tal operação com o operador “.” ou simplesmente não indicamos nenhum operador. Exemplo: L = {001, 10, 111} e M = { , 001}, então LM é {001, 10, 111, , 10001, }

6 Operações (continuação)
Fechamento (estrela ou de Kleene): representa todos os conjuntos de strings que podem ser formados, tomando-se qualquer número de strings de L, possivelmente com repetições. Denota-se por L*

7 Precedência de operadores
O operador de fechamento tem a precedência mais alta, se aplicando à menor sequência de símbolos à sua esquerda. Por isso recomenda-se o uso de parênteses para reduzir a margem de erro. Em seguida na precedência temos o operador de concatenação e por fim as uniões.

8 Exemplo precedência de operadores
A expressão regular 01* não é o mesmo que (01)*, pois a primeira expressão denota todos os strings iniciados por 0 e com um, vários ou nenhum caractere 1. Já a segunda expressão representa todos os strings com um caractere 0 seguido de um caractere 1, uma, várias ou nenhuma vez. L(E) = 01* , temos {0, 01, 011, 0111, ...} L(E) = (01)* , temos { , 01, 0101, , ...}

9 Exemplos Expressão que representa todos os strings formados sobre o alfabeto {a,b}, que contenham o substring bb. L(E) = (a+b)*bb(a+b)* Expressão que representa a linguagem das palavras que tenha aa como prefixo e bb como sufixo, sobre o alfabeto {a,b}. L(E) = aa(a+b)*bb Expressão que representa todas as palavras que terminam com 00 ou 11, sobre o alfabeto {0,1}. L(E) = (0+1)*(00+11)

10 Exercícios Utilizando as expressões regulares do slide anterior, apresente 5 strings representados a partir de cada expressão. Crie a expressão regular para cada notação formal das linguagens : L = {w ∈ {a, b} | w inicia por b, seguido de zero ou mais a’s} L = {w ∈ {a, b} | w termina por aa ou bb} L = {w ∈ {a, b} | cada a em w é imediatamente precedido por um b} L = {w ∈ {a, b} | w tem abab como um substring} L = {w ∈ {a, b} | w não possui dois a’s consecutivos} L = {w ∈ {a, b} | w tenha exatamente dois b’s} L = {w ∈ {0, 1} | w termine com 1 e |w| >=4} L = {w ∈ {0, 1} | w tenha o número de 1’s múltiplo de três}

11 Correção dos exercícios
L = {w ∈ {a, b} | w inicia por b, seguido de zero ou mais a’s} L(E) = ba* L = {w ∈ {a, b} | w termina por aa ou bb} L(E) = (a+b)*(aa+bb) L = {w ∈ {a, b} | cada a em w é imediatamente precedido por um b} L(E) = (b+ba)* L = {w ∈ {a, b} | w tem abab como uma substring} L(E) = (a+b)*(abab)(a+b)* L = {w ∈ {a, b} | w não possui dois a’s consecutivos} L(E) = (a+ )(b+ba)* L = {w ∈ {a, b} | w tenha exatamente dois b} L(E) = a*ba*ba* L = {w ∈ {0, 1} | w termine com 1 e |w| >=4} L(E) = (0+1)(0+1)(0+1)+ 1 L = {w ∈ {0, 1} | w tenha o número de 1’s múltiplo de três} L(E) = (0*10*10*10*)+

12 Metacaracteres padrão UNIX
As expressões regulares são formadas por símbolos com funções especiais (metacaracteres) e caracteres literais. Na prática existem algumas diferenças entre a notação matemática e a notação derivada dos sistemas UNIX. O caractere “+” era utilizado para indicar a operação lógica “ou”, já como metacaractere padrão UNIX é um símbolo quantificador, já o ponto “.” agora é utilizado como uma espécie de caractere curinga que pode substituir qualquer caractere.

13 Alguns metacaracteres UNIX
Nome Função Tipo . ponto subst. um caractere qualquer representantes [] lista lista de caracteres permitidos [^] lista negada lista de caracteres proibidos ? opcional zero ou um caractere quantificadores * asterisco zero, um ou mais caracteres + mais um ou mais caracteres {} chaves de n até m, exemplo: {n,m} \ escape torna literal um caractere outros | ou ou um ou outro () grupo delimita um grupo - traço intervalo

14 Exemplos com metacaracteres
As chaves simulam os metacaracteres “*+?”, com elas é possível especificar um número exato ou até mesmo uma faixa numérica. Expressão Casa com n.o não,não, nzo, n3o, ... 11.30 11:30, 11 30, 11.30, 11y30, ... <.> <x>, <k>, <m>,<4>, ... n[aã]o nao, não [Tt]eclado Teclado, teclado 11[:.]30 11:30, 11.30 <[aeiou]> <a>, <e>, <i>, <o> , <u> fala[rs]? fala, falar, falas 5*2 2, 52, 552, 5552, ... b[ip]* b, bi, bip, biip, bipp, bpipip,... 5+2 52, 552, 5552, 55552, ...

15 Exemplos com metacaracteres (continuação)
Conforme Jargas(2009), nunca tente resolver uma expressão regular de uma só vez. É preciso generalizar e depois fazer os refinamentos. Expressão Casa com 5+2 52, 552, 5552, 55552, ... b[ip]+ bi, bp, bip, biip, ... [0-9] 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 [ ] [a-z] a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z [A-Z] A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,...,Z [0-9A-Fa-f] Números hexadecimais !! n[^pb] n2, nu, nx, na, nz, ... [0-5]\. 0.,1.,2.,3.,4.,5.

16 Exercícios Reescreva o exercício n° 2 (o que for possível) utilizando os metacaracteres padrão UNIX. Continue a aprimorar as seguintes expressões regulares abaixo: a) Data no formato dd/mm/aaaa ER: primeira versão: ../../.... aprimorando: [0-9]{2} / [0-9]{2} / [0-9]{4} Resposta: ((0[1-9])|(1[0-9])|(2[0-9])|(3[0-1]))/((0[1-9])|(1[0-2]))/[0-9]{4} b) Hora no formato hh:mm ER: primeira versão: ..:.. aprimorando: [0-9]{2}:[0-9] c) Telefone ER: primeira versão:

17 Exercícios Crie as expressões regulares (utilizando os metacaracteres padrão UNIX) para os seguintes itens: CPF URL (endereços web com os domínios .com, .net, .edu, .gov, .nom, todos eles do Brasil) Nome de arquivo padrão MSDOS (começando por uma letra, com 8 caracteres e uma extensão de 3 caracteres)

18 Dicas O GoogleDoc’s já possui o suporte à expressões regulares em localizar/substituir. No site é possível verificar online suas expressões. Referências sobre esse assunto: Jargas, Aurélio Marinho, Expressões Regulares – Uma Abordagem Divertida. Rio de Janeiro: Novatec, 2009. Menezes, Paulo Fernando Blauth, Linguagens Formais e Autômatos. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2000.