Carregar apresentação
A apresentação está carregando. Por favor, espere
2
Exemplos de Indução Matemática
Matemática Discreta
3
Exemplo1: Provar por indução que P(n) : n < 2n
a) P(1) é a proposição 1 < 21, que certamente é verdade. b) Supondo (hipótese de indução) agora P(k): k < 2k, tentamos concluir que P(k + 1): k + 1 < 2k + 1. Lembrando que 2k + 1 = 2k.2 Usando a hipótese da indução k < 2k E multiplicando os dois membros dessa desigualdade por 2, Obtemos: 2 . k < 2. 2k Tem-se que: 2 . k = k + k e k = 2k + 2k Logo, k + k = 2k + 2k = 2k+1 Como k + 1 < k + k então, k + 1 < 2k + 1
4
Exemplo 2 : Prove que a equação 1+3+5+...+(2n-1) = n2 (1)
É verdadeira para qualquer inteiro positivo n. a) P(1): 1 = 12 b) P(k): (2k-1) = k2 (2) P(k+1): [(2(k+1)–1] = (k+1)2 (3) A chave de uma demonstração por indução é encontrar um modo de relacionar o que queremos saber (3) e o que supusemos(2). O lado esquerdo de (3) pode ser reescrito mostrando-se a penúltima parcela: (2k-1) +[(2(k+1) -1] está equação contém o termo a esquerda do sinal de igualdade da equação (2).
5
Como estamos supondo que P(k) é válida, então:
= (2k-1) + [2(k+1) – 1] = k2 + [2(k + 1)- 1] = k2 + (2k +2 -1) = K2 + 2K + 1 = (k + 1)2 Portanto, [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2
Apresentações semelhantes
