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Teorias Microscópicas para a Supercondutividade
V Escola Brasileira de Supercondutividade Recife, 10 a 14 de dezembro de 2001 Teorias Microscópicas para a Supercondutividade Raimundo Rocha dos Santos Apoio: Este mini-curso pode ser obtido do site seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc.”
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Esquema do mini-curso Supercondutividade convencional: vínculos experimentais Condução em Metais Interação elétron-elétron Teoria BCS Supercondutores de alta temperatura Conclusões
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I. Supercondutividade convencional: vínculos experimentais
1. Resistência nula Metal normal
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2. Efeito Meissner Campo magnético não entra na amostra: B = 0 no interior de um supercondutor [SUC não é condutor perfeito, dentro do qual B/t = 0] correntes superficiais apa-recem de modo a gerar um campo que se oponha ao campo aplicado
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Aplicações tecnológicas no dia-a-dia
Levitação magnética Outras aplicações: geração de campos uniformes intensos (ressonância); deteção de campos fracos (SQUID); etc.
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$ -269 -250 -200 -150 T (°C) 4He N2 gelo SUC’s convencionais
T (°C) SUC’s convencionais SUC’s de alta temperatura
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3. Existência de um campo crítico
Hc [G] Tipo I T [K] Hc2 [kG] T [K] Tipo II para uma dada T, a amostra só é SUC abaixo de um campo crítico Existe também uma densidade crítica de corrente: Jc
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ions participam ativamente
4. Efeito isotópico log10 Tc log10 M = 0.504 [M é a massa média dos isótopos utilizados como íons da rede; Reynolds et al., (1951)] Hg ions participam ativamente fônons desempenham papel importante no mecanismo da supercondutividade
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Cs exponencial a baixas temperaturas
5. Calor Específico T 2 [K2] Tc/T C/T [mJ/(mol K)] CS/T CS/T exp[-1.39Tc/T] C/T [mJ/(mol K)] Cs exponencial a baixas temperaturas gap no espectro
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II. Condução em Metais Elétrons são férmions Pauli: dois férmions não podem ter conjuntos idênticos de números quânticos Gás de férmions [livres e independentes (k,) definem estados]: E k2 Ex: Preenchendo os “níveis de energia de uma partícula” com 10 férmions F -4/L -2/L 2/L 4/L
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E Considere cargas negativas em um potencial periódico momento
energia momento energia E dens. de corrente Elétron só é espalhado ( resistência) pq há estados finais disponíveis
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Como evitar dissipação: Suprimir, através de algum mecanismo, estados acessíveis na faixa de energia próxima ao nível de Fermi
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III. Interação elétron-elétron
A interação Coulombiana entre um par qualquer de elétrons é blindada pelos demais elétrons e pelos íons constante dielétrica
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q k k’ k’+ q k - q Interação elétron-elétron efetiva: Vkk’
Dependência de Vkk’ com retardamento devido ao fato de que velast << vF
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Frölich (1951) - Teoria de Perturbação:
cte. de aco-plamento e-f (q) D e k F hD interação via fônons só afeta elétrons com energias muito próximas Se D interação via fônons é maior em módulo: Vkk’ < 0 interação efetiva é atrativa
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Então, se a interação entre elétrons pode, sob certas circunstâncias, ser atrativa, deve-se esperar que o espectro perto de F sofra mudanças cruciais. O problema de Cooper O estado fundamental BCS Teoria BCS a temperatura finita
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F IV. A Teoria de Bardeen, Cooper e Schrieffer
1. O problema de Cooper (1956) Dois elétrons interagindo atrativamente em presença de um mar de Fermi preenchido podem formar um estado ligado? (detalhes na 2a. e 3a. aulas) Sim, com energia de ligação dada por F Densidade de estados no nível de Fermi intensidade da interação e-e (|k|) parte orbital simétrica parte de spin anti-simétrica par num estado singlete: S = 0
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q k k’ k’+ q k - q 2. O estado fundamental BCS (1957)
Elétrons, com energias próximas, interagindo atrativamente aos pares: q k k’ k’+ q k - q Momento do CM do par se conserva: K = k + k’ = (k – q) + (k’+ q)
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Aproximação: superfície de Fermi esférica
Para que dois elétrons interajam, eles devem ter energia dentro de uma casca com a energia de Debye; que valor de K otimiza os efeitos da interação? K kF Para superfícies de Fermi esféricas, o maior número de estados envolvidos ocorre quando K = 0
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A Hamiltoniana BCS: termo livre (banda) Solução variacional:
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D E Interlúdio: Densidade de estados quânticos # de estados
no intervalo dE densidade de estados com energia E D N.B.: gás de eletrons! d = 3 d = 2 d = 1 E
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Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding)
Isolante ou Semicondutor Metal As somas em k podem ser expressas em integrais sobre energias:
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A equação do gap (detalhes na 2a. e 3a. aulas):
SUC’s convencionais
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A equação do gap fornece, então,
onde supusemos acoplamento fraco: vD(F) << 1
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é o gap de energia para as excitações elementares, e Ek é
a energia das quase-partículas Ek / F k/kF
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Noção elementar de quase-partículas (c.f. superfluidez em 4He):
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F A modificação no espectro pode ser esquematizada da seguinte forma:
Estados desocupados F 2 Estados ocupados Gás de e `s + interação atrativa
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E Condução por pares (cada par tem KCM=k1+k2): todos têm KCM = 0
energia momento energia momento E todos têm KCM = 0 Para um par “sentir” a impureza teria que ser quebrado: KCM KCM dos demais pares alto custo energético (gap!) Ao formarem pares, os elétrons “se vacinam” contra as fontes de resistência
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3. Teoria BCS a temperatura finita
Aproximação de Campo Médio: Definição do gap: =1 em BCS (s )
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Interlúdio: Ordem de longo alcance não-diagonal, função de onda macroscópica, e classe de Universalidade Em geral, são nulos os valores esperados de operadores de criação e de destruição, mas não em SUC ou SUF ordem de longo alcance não-diagonal Analogia das super-correntes com movimento não-dissipativo de elétrons em átomos função de onda macroscópica: (r) = 0 ei(r) transf de Fourier: (k) = k/2Ek (parâmetro de ordem) Função de onda complexa: 2 números classe de universalidade do modelo-XY
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Solução auto-consistente + Transf de Bogoliubov (detalhes
nas aulas da tarde): que fornece a equação do gap a T finita:
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( T)(0) T/Tc A equação do gap é resolvida para (T ), e, para 0, obtém- se Tc
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usada para comparar com obtido em exp’s de tunelamento
Discrepâncias nesta razão e no efeito isotópico atribuídas à simplicidade da interação elétron-fonon utilizada (p.ex., troca de um fônon apenas) deve-se ir além; p.ex., a teoria de acoplamento forte de Eliashberg (os graus de liberdade fonônicos são mantidos, ao invés de eliminados para construir interação efetiva entre os elétrons) A teoria BCS era “a teoria” microscópica da SUC até 1986, quando o primeiro supercondutor de alta Tc (30 K) foi descoberto por Bednorz e Müller. Ainda OK para carbetos de Boro (coexistência SUC+MAG) e para MgB2 (acoplamento forte: Eliashberg)
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V. Supercondutores de Alta Temperatura
O diagrama de fases:
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Diferenças fundamentais entre os SUC’s:
alta Tc (fonons: Tc < 30 K) estado normal metálico ou isolante (dep de x) proximidade de uma fase magnética tempo de vida das quase-partículas depende fortemente da temperatura estado dos pares é predominantemente do tipo onda-d pequenos comprimentos de coerência [ 12 Å], quando comparados com os convencionais [ 500 Å]
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gap para excitações de spin abre-se acima de Tc
Taxa de relaxação spin-rede, 1/TT1, mede resp. mag. local qa << 1; Knight shift mede qa ~ 1. Decréscimo de ambas quando T ligado à abertura de um gap no espectro de excitações de spin T* Ť Tc Resistividade linear com T em intervalo apreciável não-líquido de Fermi??
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Esta dependência, T, com 2 e dependendo da dopagem
foi observada em outras amostras
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T Tc T* HTCS conv e R = 0 R = 0 Todas estas diferenças apontam para um mecanismo não-fonônico: magnético
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Estrutura cristalina:
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Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0):
Metal ???? Incluindo correlação, o comportamento isolante (correto!) é obtido
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Ordenamento antiferromagnético: planos de CuO2
O Cu
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Descrição simplificada do isolante antiferromagnético dopado
transfere buraco do sitio j para i sítios de Cu Favorece o salto do buraco entre sítios Repulsão Coulombiana: a energia total aumenta se 2 e’s ocuparem o mesmo orbital termo de correlação (Modelo de Hubbard)
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S/ dopagem: energia é minimizada se colocarmos 1 buraco por sítio
os buracos tendem a ficar localizados nos sítios sistema é um isolante (Mott) (para qq valor da repulsão Coulombiana) C/ dopagem: buracos adicionais são “compartilhados”, diminuindo o momento local a tendência à ordem é enfraquecida
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O que o modelo simplificado prevê (2 dimensões)?
Teoria de Campo Médio (teoria de 1 partícula) Simulações de Monte Carlo
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d desvios do comportamento médio (flutuações)
Este exemplo ilustra que a dimensão, d, do sistema desempenha um papel crucial: d desvios do comportamento médio (flutuações) Teorias de Campo Médio podem prever comportamentos pouco realistas em d = 1 ou 2
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dopagem tende a destruir ordem AFM
Comportamento magnético razoavelmente bem explicado pelo modelo simplificado: dopagem tende a destruir ordem AFM E como explicar a fase AFM se estender a uma dopagem não-nula? multi-orbitais, 3a. dimensão, etc
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Vejamos agora a fase “SG”:
Inicialmente pensou-se tratar de uma fase de vidro de spin [spin-glass], mas estudos experi-mentais e teóricos recentes sugerem tratar-se de uma fase listrada
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Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores
Formação de CDW [onda de densidade de carga] novo ingrediente: ordenamento direcional dos orbitais d do Mn
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Acredita-se que nos HTCS haja um equilíbrio entre o ordenamento de spin (AFM, nao SDW) e o ordenamento de cargas (tipo CDW) ao longo de uma direção ( na Fig.): As cargas tendem a se agrupar em regiões de menor ordem AFM
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Ainda não se sabe como modificar o modelo de Hubbard –2D de modo a produzir “stripes”, mas podemos tentar ver se ele pode descrever um estado supercondutor Simulações de MC para n =0.87, e U = 4: suscetibilidade dependente de q Pico em q = (,) não diverge, mas fica mais pronun-ciado à medida em que T flutuações antiferromagnéticas de curto alcance
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Várias teorias/modelos se baseiam na presença destas flutuações AFM: os elétrons trocariam estas flutuações, de modo análogo à troca de fônons nos SUC’s convencionais. Partindo do modelo de Hubbard, uma T de Pert para estes processos [Scalapino (1995)] fornece, para q = |k-k’| grandes pico em (, ) Eq do gap: Se V > 0, tem que apresentar nós onda d
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Tomando a transf de Fourier, a interação efetiva no espaço real fica
interação on-site repulsiva Veff 1 2 r interação entre 1os. vizinhos atrativa
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Modelo de Hubbard estendido
(ver resultados em 1D nas transparências)
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Isto nos remete ao modelo de Hubbard atrativo (on-site):
{a origem do U < 0 também pode ser atribuída a uma flutuação de valência [Wilson (2001)] } T T* (região de pares pré-formados; gap de spin) Tc |U|
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VI. Conclusões Teoria BCS OK para SUC’s convencionais
Recentemente: Tc de 40 K em MgB2 e de 55 K em C60 dopados; só e-f é suficiente? SUC’s de alta Tc ainda sem teoria microscópica bem estabelecida Mecanismo magnético ainda é o mais forte candidato. = Será?
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