8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 4

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1 8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 4
8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDOs 8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

2 8. EDO’s 8.3.1. INTRODUÇÃO Se para calcular , usamos apenas
, então dizemos que o Método é de Passo Um ou de Passo Simples. Porém se usarmos mais valores teremos um Método de Passo Múltiplo. Para PVI’s de primeira ordem temos que é uma aproximação inicial para a solução. Problema auto-iniciante. Para Métodos de Passos Múltiplos deve-mos ter estratégias para as aprox. iniciais.

3 8. EDO’s 8.3.2. Métodos de Adams-Bashforth
Considere a EDO Suponha que exista uma única solução do problema no intervalo de interesse. Suponha que conhecemos aproximações para em e que

4 8. EDO’s 8.3.2. Métodos de Adams-Bashforth
Os procedimentos do tipo Adams-Bashforth consistem em integrar a EDO de , ou seja, e resolver a integral por quadratura numérica.

5 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
Se aproximarmos a integral utilizando então temos um método explícito. Vamos aproximar por um polinômio de grau , que interpola em

6 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
Se escolhermos a função será aproximada por Chamando onde as formas de Lagrange são dadas por

7 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
Então:

8 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
Fazendo a mudança de variáveis temos que Segue que:

9 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
Através da mudança de variáveis

10 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
Enfim,

11 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
Enfim, Neste ponto fica claro que temos um método de passos múltiplos explícito, pois para calcular

12 8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos
Sobre os erros do Método de Adams-Bashforth Explícito Da teoria de interpolação, quando interpola- mos f por um polinômio de grau m=3, o erro cometido é localmente de grau 5.

13 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
Se aproximarmos a integral utilizando então temos um método implícito. Vamos aproximar por um polinômio , onde , que interpola em

14 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
onde:

15 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
De modo análogo, fazendo temos que Segue que:

16 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
Através da mudança de variáveis Enfim, que é um método de passos múltiplos implícito.

17 8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos
Sobre os erros do Método de Adams-Bashforth Implícito Da teoria de interpolação, quando interpola- mos f por um polinômio de grau m=3, o erro cometido é localmente de grau 5.

18 8. EDO’s 8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo
Exemplo 1: Para o PVI dado, estime PVI: Pelo Método de Runge-Kutta com: 1ª ordem 2ª ordem 3ª ordem 4ª ordem Com h=0.25 Com h=1

19 8. EDO’s 8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo
Exemplo 1: Para o PVI dado, estime PVI: Utilizando e os quatro dados iniciais

20 8. EDO’s 8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo
0.0 1000 40 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Roxo: 4 dados iniciais Laranja: Valores calculados