Marco Antonio Montebello Júnior

Marco Antonio Montebello Júnior marco.antonio@aes.edu.br
Aplicações de Pilhas Estrutura de Dados Marco Antonio Montebello Júnior

Aplicações clássicas Determinação de escopo de expressões
Conversão de expressões Avaliação de expressões Estrutura de Dados

Determinação de Escopos em Expressões

Determinação de escopos em expressões
Expressões matemáticas podem utilizar vários parênteses agrupados: 6 – ( ( A + ( B + C ) ) ) / ( ( D – 3 * E ) + ( F * A + 10 ) ) Estrutura de Dados

Os parênteses devem ser corretamente agrupados: Expressões consideradas inválidas: ( D – E ) ) D + ( E Essas expressões também são inválidas: ) A / D ( + E ( D + E) ) – (A + 2 Estrutura de Dados

Quando existirem expressões com parênteses podemos verificar 2 (duas) condições: Número de parênteses de abertura igual ao número de parênteses de fechamento; Um parêntese de fechamento é precedido pelo seu respectivo parêntese de abertura. Estrutura de Dados

Profundidade do agrupamento Total de parênteses de abertura encontrados cujos respectivos parênteses de fechamento ainda não foram encontrados. Diferença de parênteses Total de parênteses de abertura subtraído do número de parênteses de fechamento encontrados ao se percorrer a expressão matemática da extremidade esquerda até o ponto em análise. Estrutura de Dados

Observações: No final da expressão a diferença de parênteses deve ser zero. A diferença de parênteses em qualquer ponto da expressão é sempre positiva. Estrutura de Dados

Exemplos: 2 + ( ( A * C ) + ( ( D - E ) / ( B - 5 ) ) - 9 ) + 20 ( ( F * D ) + 5 F - D ) ) D / E ) + ) E ( B / A ) ) ) - A * D ( ( Estrutura de Dados

Obedecer as 2 (duas) condições é suficiente para indicar se uma expressão é válida??? Número de parênteses de abertura igual ao número de parênteses de fechamento Um parêntese de fechamento é precedido pelo seu respectivo parêntese de abertura E se além de parênteses, existirem colchetes e chaves??? Expressões inválidas: [ D – B ) { [ A / 2} ] ou { F – 8) ] { Estrutura de Dados

Algoritmo para trabalhar com os outros identificadores
valido  “V” inicializa(s) // faz a pilha s vazia enquanto (não atingirmos o final da string) faça leia o próximo caractere da string se (caractere = “(” ou caractere = “[” ou caractere =“{” ) então push(s, caractere) fim_se se (caractere = “)” ou caractere = “]” ou caractere =“}”) então se (empty(s) = “V”) então valido  “F” senão c = pop(s) se (c não é o respectivo iniciador do caractere) então fim_enquanto se (empty (s)  “V” ) então se (valido = “V” ) então imprima “Expressão válida!” imprima “Expressão inválida!” Estrutura de Dados

Acompanhamento do Algoritmo
2 + { [ F * 4 ] + [ ( A - B ) / ( C - 2 ) ] - 3 } + 4 Estrutura de Dados

Conversão e Avaliação de Expressões

Convertendo e Analisando Expressões
Tipos de Notações Infixa Pré-fixa (Notação Polonesa – NP) Pós-fixa (Notação Polonesa Reversa – NPR) Precedência de Operadores A * B + C ≠ A *( B + C ) Exemplos de Expressões A – B A – B * C A / ( B * ( C – D) + E) ((A / B) * (C – D ) + E) Estrutura de Dados

Representação das Expressões
Descrição Exemplo Infixa Operador está entre os operandos (A + B) Pré-fixa Operador precede os operandos (+ AB) Pós-fixa Operador segue os operandos (AB +) Estrutura de Dados

Conversão: Regras Básicas
Suponha a expressão : A+B*C Coloque parênteses para reforçar a precedência: A+(B*C) Converta a parte da multiplicação, obtendo: A+(BC*) Suponha que D seja igual a BC*: A+D Resultando em : AD+ Realizando a devida substituição, ficamos com a forma final pós-fixa igual à : ABC*+ Estrutura de Dados

Conversão: Notas As regras são válidas para converter a notação infixa para pós-fixa e também para a conversão da notação infixa para pré-fixa Muda-se apenas o posicionamento dos operadores Estrutura de Dados

Exemplos: Notação Infixa para Pós-fixa
Notação Pós-fixa A - B * C A B C * - A * (B - C) A B C - * (A - B) / (C + D) A B - C D + / (A - B) / (C + D) * E A B - C D + / E * A + B A B+ A - B + C A B - C + (A + B) / (C – D) A B + CD - / A ^ B * C – D + E / F (G - H) A B ^ C * D – E F / G H - / + ((A + B) * C – (D – E)) ^ (F - G) A B + C * D E - - F G - ^ A + B / (C * D ^ E) A B C D E ^ * / + Estrutura de Dados

Exemplos: Notação Infixa para Pré-fixa
Notação Pré-fixa A * B * AB A - B + C + - ABC (A - B) / ( C – D) / - AB - CD A ^ B * C – D + E / F / (G - H) + - * ^ABCD //EF - GH ((A + B) * C – (D – E )) ^ (F - G) ^ - + A B C - D E – F G A + B / (C * D ^ E) + A / B * C ^ D E Estrutura de Dados

Algoritmo Utilizando Pilhas Converter Infixa para Pós-fixa
1o. Passo: Colocar manualmente parênteses na expressão 2o. Passo: Percorrer a expressão já com os parênteses, da esquerda para a direita e, para cada símbolo (caractere) encontrado ao longo da expressão, tomar a seguinte decisão: Se for parêntese de abertura, ignorá-lo; Se for operando, copiá-lo para a expressão pós-fixa (saída desejada); Se for operador, colocá-lo na pilha; Se for parêntese de fechamento, desempilhar o operador presente no topo da pilha. Estrutura de Dados

Algoritmo Utilizando Pilhas Converter Infixa para Pós-fixa
Se no final a pilha não ficar vazia, é um sinal que algo de errado ocorreu ao longo do processo de conversão da notação infixa para pós-fixa Vamos testar o funcionamento dos dois passos anteriores, acompanhando a conversão da seguinte expressão: A - B * C + D Estrutura de Dados

Passo 1: Colocar Parênteses
Original: A - B * C + D Com os parênteses: ((A – (B * C)) + D) Estrutura de Dados

Passo 2: Estrutura de Dados

Algoritmo em Pseudocódigo
início inicializa (s) //faz a pilha ficar vazia para i  1 até n faça //n representa tam. da notação infixa caso infixa[i] seja //infixa[i] string com notação infixa “A” “Z”: pos  pos + 1 npos[pos]  infixa[i]//npos pósfixa “+”,”-“,”*”,”/”: push (s, infixa[i]) “)” : pos  pos + 1 npos[pos]  pop[s] fim_caso fim_para fim Que tal exercitar o algoritmo anterior com (A + B) * C que, na notação pós-fixa fica: A B + C *? Estrutura de Dados

Algoritmo Genérico: Conversão Infixa para Pós-fixa
Deve-se definir um algoritmo que determine automaticamente a precedência: switch(Operador) case '{': return 1; case '[': return 2; case '(': return 3; case '+': return 4; { case '-': return 4; case '*': return 5; case '/': return 5; case '^': return 6; default: return 0; } função prioridade(op) início caso op seja “(” : prioridade  1 “+”, “-” : prioridade  2 “*”, “/” : prioridade  3 “^” : prioridade  4 fim_caso fim Estrutura de Dados

Passo 1: Inicie com uma pilha vazia; Realize uma varredura na expressão infixa, copiando todos os operandos encontrados diretamente para a expressão de saída. Passo 2: Ao encontrar um operador: Enquanto a pilha não estiver vazia e houver no seu topo um operador com prioridade maior ou igual ao encontrado, desempilhe o operador e copie-o na saída; Empilhe o operador encontrado; Estrutura de Dados

Passo 3: Ao encontrar um parêntese de abertura, empilhe-o; Passo 4: Ao encontrar um parêntese de fechamento, remova um símbolo da pilha e copie-o na saída. Repita esse passo até que seja desempilhado o parêntese de abertura correspondente Passo 5: Ao final da varredura, esvazie a pilha, movendo os símbolos desempilhados para a saída. Pronto, conseguimos obter como saída a notação pósfixa para qualquer notação infixa entrada. Estrutura de Dados

Funcionamento: A / ( B + C ) * D
Estrutura de Dados

vetor npos[1...m]: armazena expressão posfixa vetor infixa[1...m]: armazena expressão infixa pos  0 início inicializa(s) para i  1 até n faça //onde n é o comprimento da notação infixa caso infixa[i] seja “A” . . .”Z”: pos  pos + 1 npos[pos]  infixa[i] “+”, “-”, “*”, “/”, “^”:pr  prioridade(infixa[i]) enquanto ((não pilhaVazia(s)) e (prioridade(elemtopo(s)) >= pr)) faça pos  pos + 1 npos[pos]  pop(s) fim_enquanto push(s, infixa[i]) “(”: push(s, infixa[i]) “)”: x  pop(s) enquanto x  “(” faça npos[pos]  x x  pop(s) fim_caso fim_para enquanto(não pilhaVazia(s)) faça fim Estrutura de Dados

Avaliando a forma Pós-fixa
Expressão Infixa: (A – B)*(C+D)/E Expressão Pós-fixa: AB-CD+*E/ Uma vantagem da expressão pós-fixa é não necessitar de parênteses para entendermos a precedência das operações Basta realizar as operações da esquerda para a direita A B C D E 6 2 5 3 8 Estrutura de Dados

Algoritmo para Avaliar uma Expressão Pós-fixa
Passo 1: Iniciar uma pilha vazia. Passo 2: Varrer a expressão e, para cada símbolo encontrado na expressão, fazemos: Se for operando, então empilhar seu valor; Se for operador, então desempilhar os dois últimos valores. Em seguida efetuar a operação com eles. O resultado é empilhado novamente na pilha. Passo 3: No final do processo, o resultado da avaliação estará no topo da pilha. Estrutura de Dados

Exemplo: Estrutura de Dados

Exemplo – Continuação Estrutura de Dados

início inicializa(s) para i  1 até n faça //n é o comprimento da notação Infixa se infixa[i] = (é um operando de “A” até “Z”) então push(s, val_infixa[i]) //valores da notação infixa senão se infixa[i] = (é um dos operadores +,-,*,/,^) então y  pop(s) X  pop(s) caso infixa[i] seja “+”: push(s, X+Y) “-”: push(s, X-Y) “*”: push(s, X*Y) “/”: push(s, X/Y) “^”: push(s, X^Y) fim_caso fim_se fim_para resultado  pop(s) fim Estrutura de Dados

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