Calculando o número de observações (tamanho da amostra) Após a comparação de duas médias duas e somente duas afirmativas podem ser feitas: – 1. Rejeitamos.

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1 Calculando o número de observações (tamanho da amostra) Após a comparação de duas médias duas e somente duas afirmativas podem ser feitas: – 1. Rejeitamos H0 – 2. Não podemos rejeitar H0 ( aceitamos H0) Para cada uma das afirmativas podemos estar certos ou errados. Fazemos o experimento porque não conhecemos a realidade. O quadro abaixo indica as possibilidades:

2 Erros na conclusão TIPO I: Rejeitamos a hipótese nula sendo ela verdadeira. (  ) O número  é chamado de nível de significância do teste. TIPO II : Não rejeitamos a hipótese nula sendo ela falsa (  ) Poder : 1- . O número 1-  é chamado poder do teste. Desejamos testes com alto poder e baixo nível de significância.

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4 Realidade  Decisão Realidade: H0 verdadeira Acusado inocente Realidade H0 falsa Acusado culpado Decisão: Rejeitamos H0 Veredito culpado Probabilidade: alfa- erro do tipo I Não erramos Decisão: Aceitamos H0 Veredito :inocente Não erramosProbabilidade: beta Erro do tipo II

5 Realidade  Decisão Realidade: H0 verdadeira Realidade H0 falsa Decisão: Rejeitamos H0 Probabilidade: alfa- erro do tipo I Não erramos Decisão: Aceitamos H0 Não erramosProbabilidade: beta Erro do tipo II

6 Exemplo Uma população de cabos deve ter tensão de ruptura média de 300kN/cm 2 e desvio padrão de 24kN/cm 2. Verifique se uma amostra com média 310kN/cm 2 em 64 observações faz parte desta população. Use o nível de significância de 0,05 e determine o poder deste teste. Ho : =  H1: ≠  (bi-caudal).

7 Só podemos cometer erro do tipo II se não conseguimos rejeitar H0 ( aceitamos H0). Só podemos cometer erro do tipo I se rejeitamos H0

8 Calculando beta Limite Superior Esta área é beta Esta área é alfa/2 mo m1 Limite inferior

9 Calculando beta cont. Observe que temos duas áreas distintas e que beta NÃO É 1- alfa. Iremos supor: –Distribuição normal. –Desvio padrão da população é conhecido. –Amostra selecionada aleatoriamente. –Medidas sem erro sistemático Usaremos o desvio igual ao erro padrão (erro Standard) S erro

10 Calculando beta cont. Etapas para calcular beta: 1. determine os limites de confiabilidade para a média a partir da média padrão(alvo) e do valor de alfa escolhido: M+ = m0 + z *Serro M+ = 300 + 1,96 * 24/8=305,88kN/cm 2 M-=300-196 *24/8=294,12kN/cm 2

11 Calculando beta cont. 2. Calcule área entre estes valores sob a segunda distribuição normal(valores medidos): Para calcular a área sob a curva de m1 vamos utilizar a distribuição normal padronizada com o erro standart como desvio padrão, pois estimando valores para a média verdadeira. Para isto precisamos do valor de z associado ao M+ e M- calculados anteriormente a partir da distribuição alvo mas agora usando os parâmetros da distribuição medida. z m1+ = - (m1- M+)/Serro=- (310-305,88)/3= -1,37 z m1- = - (m1- M-)/Serro=- (310-294,12)/3= -5,29 beta= área = dist.normp(z m1+ )- dist.normp(z m1- )= =0,085- 6 x 10 -8 =0,085 Obs.: o segundo termo é quase sempre muito pequeno e nem precisa ser usado.

12 z m1+ = -(m1- M+)/Serro=-(310-305,88)/3= -1,37 z m1- = -(m1- M+)/Serro=-(310-294,12)/3= -5,29 beta= área = dist.normp(z m1+ ) - dist.normp(z m1- ) = =0,085- 6 x 10 -8 =0,085 Obs.: o segundo termo é quase sempre muito pequeno e nem precisa ser usado. Note que: M+= m0 + zcrit x Serro z m1+ =-(m1- M+)/Serro=(m1–(m0 + zcrit x Serro)/Serro z m1+ = (m1-m0)/Serro –zcrit = zcalc – zcrit Esta é a forma operacional para calcular beta! z m1- =-(m1- M-)/Serro=(m1–(m0 - zcrit x Serro)/Serro z m1- = (m1-m0)/Serro +zcrit = zcalc + zcrit

13 Calculando beta cont. Note que usamos o valor negativo para z para facilitar o uso direto do comando dist.norp do excel. Este comando calcula a área sob a distribuição normal de – infinito até o valor de z.

14 O influencia o valor de beta O valor de beta para cada situação experimental depende do s seguintes “fatores”: –1. diferença entre as médias –2. valor de alfa escolhido –3. desvio padrão –4. número de observações.

15 –1. diferença entre as médias Quanto maior a diferença entre as médias mais facilmente poderemos identificar diferenças. Por isso, quanto maior a diferença entre as médias menor será beta, menor será o erro do tipo II.

16 –2. Valor de alfa. Quanto maior for alfa, menor será beta. Um valor grande de alfa( pequeno z crítico) e pequeno limite de confiabilidade para média, significa que iremos identificar diferenças mesmo quando elas não existirem.

17 –3. Desvio padrão. Quanto maior for o desvio padrão, maior será o valor de beta. Quanto maior o erro padrão mais facilmente deixaremos de identificar diferenças que existem.

18 –4. Número de observações Quanto maior for número de observações, menor será o erro padrão e menor será beta.. Quanto menor o erro padrão mais facilmente identificaremos diferenças que existem. Se o número de observações for muito pequeno a probabilidade de identificar diferenças que existem passa a ser pequena. Isto é, a a chance de aceitar uma hipótese nula que é falsa aumenta.

19 Aumentandobeta 1. diferença entre as médias diminui 2. valor de alfa escolhido diminui 3. desvio padrão aumenta 4. número de observações. diminui

20 Verifique se a média medida atente a especificação e calcule a probabilidade de rejeitar corretamente a hipótese nula sendo ela falsa, isto é, qual o poder, para a seguinte situação: A taxa de queima de combustível para uma aeronave deve ser de 50 cm/s com desvio padrão de 2,5 cm/s. Dez medidas são realizadas e o valor de 52 cm/s é obtido.

21 Existem muitas calculadoras de beta ( poder=1-beta ) na internet. Uma delas está em: http://www.dssresearch.com/toolkit/spcalc/power.asp