Variáveis Aleatórias e Principais Modelos Discretos VICTOR HUGO LACHOS DAVILA AULA 6-8:

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1 Variáveis Aleatórias e Principais Modelos Discretos VICTOR HUGO LACHOS DAVILA AULA 6-8:

2 2 VARIÁVEL ALEATÓRIA Vamos incorporar o conceito de probabilidade ao estudo de variáveis associadas a características em uma população.

3 3 Variável Aleatória (v.a.): Variável Aleatória (v.a.): Uma função X que associa a cada elemento do espaço amostral um valor num conjunto enumerável de pontos da reta é denominada variável aleatória discreta. Se o conjunto de valores é qualquer intervalo de números reais, X é denominada variável aleatória contínua.

4 4 Exemplos: 1) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos. 2) Observar o tempo de reação a um certo medicamento.  ={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)} Defina X: nº. de crianças do sexo masculino (M). Então X é uma v.a. discreta que assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}. Defina X: tempo de reação ao medicamento. X é uma v.a. contínua que assume qualquer valor real positivo.

5 5 O termo aleatório indica que a cada possível valor da v.a. atribuímos uma probabilidade de ocorrência. Uma função de probabilidade deve satisfazer: VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Função de probabilidade( f.p.) : Função de probabilidade( f.p.) : É a função que atribui a cada valor x i da v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser apresentada pela tabela:

6 6 O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres? Vamos definir a v.a. X: nº de mulheres na comissão. Exemplo 1:

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8 8  = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Qual é a probabilidade de cada ponto w i de  ? Exemplo 2: Um dado é lançado duas vezes de forma independente. Qual é a probabilidade da soma dos pontos ser menor do que 6? Admitindo que o dado é perfeitamente homogêneo e sendo os lançamentos independentes, então P(w i ) = 1/36,  w i  .

9 9 Defina X: soma dos pontos. Então, P (X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36 = 0,278 Função de probabilidade de X:

10 10 Podemos estar interessados em outras v.a.’s. Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos Z: diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento U: pontos do 2º lançamento

11 11 MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. discretas) Qual é o valor médio da soma dos pontos no lançamento de dois dados? Valor Esperado (média): valor médio valor esperadoesperança matemática Valor Esperado (média): Dada a v. a. X, assumindo os valores x 1, x 2,..., x n, chamamos de valor médio ou valor esperado ou esperança matemática de X o valor No exemplo, E(X) = 2.(1/36) + 3. (2/36) +... + 11. (2/36) + 12. (1/36) = 252/36 = 7 ou seja, em média, a soma dos pontos no lançamento dos dois dados é 7. Notação:

12 12 Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X)) 2, ou seja, se X assume os valores x1, x2,..., xn, Da relação acima, segue que Desvio Padrão : Desvio Padrão : É definido como a raiz quadrada positiva da variância, isto é, Notação: Var(X). σ2σ2 Notação : DP(X).σ

13 13 83.,5 36 210 36 1 7) - (12 36 2 7) - (11... 36 2 7) - (3 36 1 7) - (2 Var(X) 2222          No exemplo, 83,54 36 1974 36 1 12 36 2 11... 36 2 3 1 2 )E(X 2222 2          Alternativamente, poderíamos calcular e, portanto, Var(X) = 54,83 – 7 2 = 5,83.

14 14 1) Se Y = aX + b, onde a e b são constantes, então E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b e Var(Y) = Var(aX + b) = a 2 Var(X). 2) Se X 1, X 2,..., X n são n variáveis aleatórias, então E(X 1 +... + X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) +... + E(X n ). Propriedades: Se X 1, X 2,..., X n são independentes, então Var(X 1 +... + X n ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) +... + Var(X n ).

15 15 A função de distribuição ou função de distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta (ou continua) X é definida, para qualquer valor real x, pela seguinte expressão: Função de Distribuição Acumulada (f.d.a.) Observe que o domínio de F é todo o conjunto dos números reais, ao passo que o contradomínio é o intervalo [0,1]

16 16 Considere o experimento que consiste no lançamento independente de uma moeda duas vezes. Seja a v.a. X: nº de caras obtidas. Encontre a f.d.a. da v.a. X. Gráficar ! Exemplo 3

17 17 No exemplo 1 usando a tabela da f.p. de X: nº de mulheres na comissão. Gráficar ! a f.d.a. de X será dada por Exemplo 4

18 18 Da relação anterior se estamos interessados na probabilidade de se ter até duas mulheres na comissão a resposta é imediata: 0132 0.203 0.684 0.975 1 x F(x)

19 19 Principais modelos probabilísticos discretos 1. Modelo Uniforme Discreto Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados por x 1, x 2...,x k. Dizemos que X segue o modelo Uniforme discreto se atribui a mesma probabilidade( 1/k) a cada um desses k valores, isto é sua f.p. é dada por Exemplo 5: Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado, e estamos interessados na v.a. X: N o da face obtida. Neste caso todos os possíveis resultados ocorrem com a mesma probabilidade e, assim, podemos dizer que a probabilidade se distribui uniformemente entre os diversos resultados, ou seja, podemos escrever a seguinte f.p. : Distribuição de uma v.a. Uniforme Discreta X123456 P(X=x i )1/61/61/61/61/61/6

20 20 Notação: X~U d (x 1,..,x k ) Se X~U d (x 1,..,x k ), pode-se mostrar que: No exemplo 5, temos que: Obter a f.d.a. !

21 21 2. Modelo Bernoulli Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados Exemplo: 1.Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2.O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa. 3.Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 4.No lançamento de um dado ocorre ou não face 6; 5.No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa. Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli.

22 22 Distribuição de uma v.a. de Bernoulli Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com probabilidade de sucesso p, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo a função de probabilidade é dada por: x P(X=x) 0 1 1-p p Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que: E(X)=p Var(X)=p(1-p). Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo Binomial. Obter a f.d.a. !

23 23 3. Modelo Binomial Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3 lançamentos. Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k). O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:  ={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS} Seja, X i é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável X=X 1 +X 2 +X 3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.

24 24 Daí temos que: A função de probabilidade da v.a. X é dada por: O comportamento de X, pode ser representado pela seguinte função:

25 25 Distribuição de uma v.a. Binomial Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por: Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p. Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que: E(X)=np Var(X)=np(1-p).

26 26 Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p

27 27 Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p

28 28 Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p

29 29 O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla escolha, consistente em 10 questões, cada uma com 5 alternativas. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente). O professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente pelo menos 6 questões. Qual a probabilidade de um aluno aprovar?. S: “questão respondida corretamente” F:”questão respondida incorretamente” A probabilidade se sucesso é constante e c/ estudante responde independentemente a questão Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10 questões. Então o evento de interesse é: P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p). A probabilidade de um aluno aprovar é: 0,00636 Exemplo 2.

30 30 Suponha uma urna com 20 bolas brancas e 15 bolas pretas, extraímos da urna consecutivamente e com reposição 12 bolas. Encontre a probabilidade de se obter 5 bolas brancas. Exemplo 3. S: “obter uma bola branca em cada extração” F:” obter uma bola preta em cada extração” A probabilidade se sucesso é constante em c/ extração e os resultado são independentes em cada extração. Solução:Seja a v.a. X: número de bolas brancas (sucessos) nas 12 extrações da urna. Então o evento de interesse é: P(S)=4/7 e P(F)=3/7. Logo, X~B(12,4/7). A probabilidade de obter 5 bolas brancas é:

31 31 4. Modelo Hipergeométrico Suponha uma população finita de N elementos, dividida em duas classes. Uma classe com M (M<N) elementos (sucessos) e a outra com N-M elementos (fracasso). Por exemplo, no caso particular de N peças produzidas, podem ser consideradas as classes: M artigos defeituosos e (N-M) artigos não defeituosos. Uma amostra aleatória de tamanho n (n<N) é sorteada sem reposição é sorteada dessa população. A v.a. X definida como, o número de elementos com a característica de interesse (sucesso) na amostra de tamanho n. A função de probabilidade da v.a. X, é dada por: Notação, X~H(N,M, n), para indicar que v.a. X tem distribuição Hipergeométrica parâmetros N, M e n.

32 32 Exemplo 3. Em um Departamento de inspeção de recebimento, lotes de eixo de bomba são recebidos periodicamente. Os lotes contêm 100 unidades, e o seguinte plano de amostragem de aceitação é usado. Seleciona-se uma amostra aleatória de 10 unidades sem reposição. O lote é aceito se a amostra tiver, no máximo, um defeituoso. Suponha que um lote seja recebido e que 5% é defeituoso. Qual é probabilidade que seja aceito o lote? X: Número de defeituosos na amostra  X~H(100,5,10)

33 33 Observação: Se X~H(N,M,n) e n/N< 0,10. Então X~B(n, M/N). Exemplo. Foram colocados em uma caixa 100 peças, 40 dos quais foram fabricados pela industria B e as outras pela industria A. Foram sorteadas aleatoriamente, sem reposição, 8 peças, qual é a probabilidade de que 4 sejam da industria A? Seja X: número de peças da industria A na amostra. Então X~H(100,40,8). Já que, 8/100=0,08<0,10. Então, X~B(8, 60/100) (aproximadamente).

34 34 5. Modelo Poisson Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida) Exemplo: 1.Número de consultas a uma base de dados em um minuto. 2.Número de casos de Dengue por kilometro quadrado no estado de SP 3.Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma geladeira. 4.Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa num intervalo de tempo (digamos das 8,0 a.m. às 12,0 a.m.). 5.Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.

35 35 Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida, : media de eventos discretos em uma unidade de medida, t: unidade de medida  = t: media de eventos discretos em t unidades de medida Notação: X~P(  ), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro . Pode-se mostrar que se X~P(  ) E(X)= , Var(X)=  Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro  se sua função de probabilidade é dada por: Distribuição de uma v.a. Poisson

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37 37 Exemplo 4. Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte recebe em média 3 chamadas cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que a central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos? Se X: número de chamadas que recebe a central telefônica da empresa em 2 minutos, então, X ~P(  ). Aqui t=2 e =3/4=0,75, então  =(0,75)(2)=1,5. Ou seja X~P(1,5)

38 38 A Distribuição Poisson Como Aproximação da Distribuição Binomial A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli ´e dada por: Se  =np,  p=  /n, substituindo p na função probabilidade temos

39 39 Exemplo 5. A probabilidade de um rebite particular na superfície da asa de uma aeronave seja defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos? Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então, X~B(400,0,001) Usando a aproximação de Poisson,  =4000(0,001)=4  X~P(4)

40 40 Exemplo 6. Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média de acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um processo de Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas três semanas?