Sistemas Realimentados

Name: Sistemas Realimentados
Uploaded: 2017-12-25T14:09:07+00:00
Duration: PTM10S33
Channel: Yuri Amante
Description: Sistemas Realimentados

Sistemas Realimentados
Projeto de Sistemas de Controle no Espaço de Estados

Conteúdo Sistemas Reguladores e Sistemas de Controle
Projeto por Alocação de Polos; Projeto de Servosistemas.

Sistemas Reguladores e Sistemas de Controle
Sistemas Reguladores: são sistemas onde o sinal de referência é constante, incluindo o zero. Sistemas Controle: são sistemas onde o sinal de referência varia com o tempo.

Projeto Por Alocação de Polos
Em projetos convencionais, alocamos apenas os pólos de malha-fechada dominantes; Nesta abordagem moderna, todos os polos de malha-fechada são alocadas; Condição necessária: O sistema original tem que ser de estado completamente controlável.

Considere o sistema de controle Escolheremos o sinal de controle Logo, o sinal de controle é determinado por um estado instantâneo. Este esquema é denominado realimentação de estado. A matriz K de ordem 1xn é denominada matriz de ganho de realimentação de estado.

Sistema Regulador!

Características do Sistema Regulador: Sistema de malha-fechada sem entradas; Equivalente a entradas de referência nulas; Objetivo de manter a saída nula; Distúrbios podem tornar a saída não-nula.

Substituindo a entrada de controle na equação do sistema de controle temos: Cuja solução é onde x(0) é o estado inicial causado pelos distúrbios externos.

Logo, considerando a solução A estabilidade e as características temporais do sistema são determinadas pelos autorvalores da matriz A-BK. Logo, se a matriz K for corretamente escolhida, então a matriz A-BK poderá ser assintoticamente estável e, para todo x(0)≠0, será possível fazer x(t) tender a 0, à medida que t tende a infinito.

Condição necessária para alocação de polos Sistema original deve ser de estado completamente controlável (prova apresentada no livro).

Determinação da matriz K através da matriz de transformação T Suponha que o sistema seja definido por e que o sinal de controle seja definido por Então, a matriz de ganho K de realimentação que força os autovalores de A-BK a serem valores desejados pode ser determinada como segue:

Determinação da matriz K através da matriz de transformação T Etapa 1) Verifique se o sistema é de estado completamente controlável; Etapa 2) Determinar os coeficientes ai da equação característica

Determinação da matriz K através da matriz de transformação T Etapa 3) Determinar a matriz de transformação T que transforma a equação de estado do sistema na forma canônica controlável Onde é a matriz de controlabilidade e

Determinação da matriz K através da matriz de transformação T Etapa 4) Com os autovalores desejados, escreva o polinômio característico desejado e determine os αi. Etapa 5)

Determinação da matriz K por substituição direta Indicada para sistemas de baixa ordem (n≤3). No caso de n=3, então Logo onde ambos os lados da equação são polinômios em s.

Considerações sobre alocação de polos A técnica tradicional de alocação de polos foca na alocação dos polos dominantes; Alocando os polos dominante distante do eixo jw, faz com que a resposta do sistema se torne muito rápida; Consequentemente, os sinais no sistema se tornarão muito elevados, levando tal sistema a se tornar não linear, o que deve ser evitado;

Exemplo 1: Considere o sistema regulador da figura abaixo, cuja planta é dada por Onde e Desejamos que os polos de malha-fechada sejam: K=?

Solução: Primeiro precisamos verificar se o sistema é de estado completamente controlável. Como |M|=-1, então o posto de M é igual a 3. Logo, o sistema é de estado completamente controlável e a alocação arbitrária de polos é possível.

Solução: Vamos aplicar os dois métodos apresentados para a determinação de K. Método 1)

Método 1) Logo, a equação característica desejada é De modo que Como onde T=I para este caso, uma vez que a equação de estado é fornecida na forma canônica controlável.

Método 1) Então

Método 2) Definimos a matriz de ganho desejado Equação característica desejada.

Método 2) Logo

Projeto de Servossistemas
Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Suponha que a planta seja definida por E um controle por realimentação de estado dado por

Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Logo Supondo que a entrada de referência é uma função degrau, então u

Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Definindo Então, a dinâmica do erro é dada por Logo, se o sistema for de estado completamente controlável, então poderemos definir autovalores desejados da matriz A-BK através da técnica de alocação de pólos.

Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador No regime permanente (t=∞), temos que

Exemplo 2: Dada a FTMF de um siste,ma Projete um servossistema do tipo 1. Solução: Começamos por definir as variáveis de estado x1, x2 e x3 como segue:

Resultando na seguinte representação no espaço de estados

Supondo que o servossistema é como representado na figura abaixo, com n=3. Então, o sinal de controle u é dado por

Projeto de servossistemas tipo 1 quando a planta não possui integrador (tipo 0) Neste caso, inserimos o integrador na equação do sinal de controle, isto é

Projeto de servossistemas tipo 1 quando a planta não possui integrador (tipo 0)

Exemplo 2) Considere o sistema de controle de um pêndulo invertido, conforme ilustrado na figura abaixo. As equações do sistema de controle são Dados então Dados

Exemplo 2) Deseja-se manter o pêndulo na vertical e, além disso, controlar a posição do carro. Para isso vamos projetar um servosistema do tipo 1. Começamos por definir as variáveis de estado do sistema:

Considerando que a posição do carro x é a saída do sistema, então

O sistema de pêndulo invertido não possui integrador. Logo, injetamos o sinal de posição y (posição do carro) de volta na entrada, inserindo assim um integrador no ramo direto, de modo que

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