Zeros Reais de Funções Reais

Apresentação em tema: "Zeros Reais de Funções Reais"— Transcrição da apresentação:

1 Zeros Reais de Funções Reais

2 Métodos iterativos - Zeros
Método da Bissecção Método da Posição Falsa Método do Ponto Fixo Método de Newton-Raphson Método da Secante

3 Introdução Zero real da função real :
Comentário: Nesta aula estamos interessados somente em zeros reais de funções reais.

4 Introdução Graficamente, os zeros reais de
são as abscissas dos pontos da intersecção da curva com eixo

5 Introdução A obtenção dos zeros da função é dividida bem duas fases.
Parte 1: Isolamento das raízes (obter um intervalo que contém uma raiz) Parte 2: Refinamento (refinar a aproximação iniciai até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma certa precisão prefixada)

6 Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ
Teorema 1. Seja contínua em Se , então existe pelo menos um em que é zero de

7 Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ
Teorema 2. Seja contínua em Se e se existir, que preserva o sinal em , então este intervalo contem um único zero de

8 Parte 1 Formas de se localizar as raízes de :
Tabelar e analisar as mudanças de sinal de e o sinal da derivada nos intervalos em que mudou de sinal. Análise gráfica da função

9 Parte 1- Exemplo 1 / Método1
Seja Sinais de As raízes estão nos intervalos de mudança de sinal de Veja

10 Parte 1- Exemplo 1 / Método 2
Façamos o gráfico de Novamente temos os intervalos dos zeros.

11 Parte 1- Exemplo 1 / Método 3
Façamos o gráfico da função equivalente Novamente temos os intervalos dos zeros

12 Parte 1- Exemplo 2 Seja para . Sinais de
Logo temos uma única raiz!!!!! Temos uma raiz no intervalo

13 Parte 2 - Refinamento Refinamento por métodos iterativos
Métodos iterativos=Seqüência de ciclos Iteração=um ciclo (loop) Iteração k depende da iteração anterior k-1 Testes (critérios) verificam se resultado da iteração k atingiu resultado esperado.

14 Parte 2 - Refinamento Critérios de parada:
está suficientemente próximo da raiz exata? Métodos iterativos podem ser representados por um diagrama de fluxo

15 Parte 2 - Refinamento Dados iniciais k=1 Cálculo da nova aproximação
Sim A aproximação está suficientemente próxima da solução exata? Cálculos finais Não k=k+1

16 Critérios de parada Teste para verificar se está suficientemente próximo da raiz exata . Então, é a raiz aproximada com precisão , se: i) ou ii) Não conhecemos Nem sempre é possível satisfazer (i) e (ii) simultaneamente.

17 Critérios de parada Caso Caso 2

18 Critérios de parada Note que satisfazer não implica que .
Métodos numéricos satisfazem os dois critérios, preferencialmente. Programas estipulam um número máximo de iterações (evitar looping)

19 Critérios de parada – Método Geral
Reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Se um intervalo é tal que Então pode ser

20 Métodos iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção Seja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em , então o intervalo contem uma única raiz de Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo ao meio sucessivamente.

21 Métodos iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção Seja com zero em As iterações são realizadas da forma 1) 2) 3) Continue o processo até que e

22 Método da Bissecção a3 a2 x1 a=a0 x2 x0 b=b0 a1 b3 b1 b2 || || || ||

23 Método da Bissecção I. Método da Bissecção-Exemplo Seja com e . Temos
Obtemos em dez iterações. iteração x f(x) b-a 1 0.5 -1.375 2 0.25 0.765 3 0.375 -0.322 0.125 4 0.313 0.218 0.063 10 0.3369

24 Método da Bissecção ak bk xk f(xk) bk-ak k=1 1 0.5 -1.375 k=2 0.25
Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak k=1 1 0.5 -1.375 k=2 0.25 0.765 k=3 0.375 -0.322 0.125 k=4 0.3125 0.218 0.0625 k=5 k=6 0.0822 k=7 7.8X10-3 k=8 3.9X10-3 k=9 -2.4X10-3 1.95X10-3 k=10 0.3369 6.0X10-3 9.8X10-4 Note que (bk-ak)<

25 Método da Bissecção I. Estudo da Convergência
Teorema: O método da bissecção gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em

26 Método da Bissecção I. Estimativa do numero de iterações
Dada a precisão e um intervalo inicial , qual será o número de iterações para que Tomando o logarítmo da equação,

27 Método da Bissecção I. Estimativa do numero de iterações - Exemplo
Queremos o zero da função no intervalo com precisão O número de iterações a realizar pelo método da bissecção é:

28 Métodos iterativos - Zeros
II. Método da Posição Falsa Seja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em então o intervalo contem uma única raiz de Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo por meio de uma média aritmética ponderada em

29 Método da Posição Falsa
II. Média Ponderada Para e Como , podemos supor que o zero está mais próximo de . Assim, fazemos uma média ponderada, de modo que fique mais próximo de

30 Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa Seja com um zero em As iterações são realizadas da forma 1) 2) Continue o processo até que e

31 Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - Exemplo Seja com e Temos Obtemos em três iterações. O Método da bissecção necessitava de 10 iterações para tal precisão. Iteração ak bk xk f(xk) bk-ak k=1 1 0.375 k=2 0.3386 X10-3 k=3 0.3376 X10-4 Um dos critérios de parada foi atingido

32 Método da Posição Falsa
I. Estudo da Convergência Teorema: O método da posição falsa gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em Comentário: A convergência é mais rápida que no método da bisecção.