Um modelo para a dinâmica de terremotos FAP-100 2003 (diúrno) Carmen P. C. Prado.

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2 Um modelo para a dinâmica de terremotos FAP-100 2003 (diúrno) Carmen P. C. Prado

3 O que causa um terremoto? A maioria dos terremotos ocorre em áreas bem definidas A maioria dos terremotos ocorre em áreas bem definidas ! Por volta de 1920 os cientistas já tinham notado que os terremotos se concentram em zonas bastante específicas e bastante estreitas. O mapa ao lado é de 1954, J. P. Rothé, Royal Society of London

4 7 grandes placas A superfície da Terra está dividida em 7 grandes (e várias pequenas) placas, cada uma com cerca de 50 milhas de espessura. se movem umas em relação às outras Essas placas se movem umas em relação às outras, algumas polegadas a cada ano. Existem três tipos de movimento entre as placas: convergente, divergente e transversal.

5 O encontro das placas coincide com as zonas onde ocorrem os terremotos Atlântico sul América Central

6 escalas de tempo distintas Tem duas escalas de tempo distintas, com separação quase infinita: Escala lenta, associada ao movimento da crosta (muitos anos) escala rápida, a do terremoto (segundos) lei de potências Obedece a uma lei de potências universal Lei de Gutemberg-Richter onde E é a energia liberada durante um terremoto Lei de Omori (aftershocks) n(t) ~ t -A A dinâmica de terremotos é, provavelmente, o melhor exemplo experimental de um sistema com SOC...

7 Sismógrafos ondas sísmicas 1935 C. F. Richter introduziu pela primeira vez a idéia de escala de magnitudes. Até então os terremotos eram classificados essencialmente pelo estrago causado. Comparar os terremotos por meio da amplitude das ondas sísmicas, acrescentando um termo de atenuação para levar em conta a distância do epicentro. Como havia uma variação muito grande entre os grandes e os pequenos terremotos, B. Guttemberg sugeriu o uso de logaritmos

8 A = amplitude da onda superficial T = período da onda  = distância epicentral Essa é uma lei empírica. Evolução da sismologia tornou factível medir o tamanho dos terremotos através do momento sísmico, definido por:  = módulo de cisalhamento u = movimento relativo e  é área da falha  = módulo de cisalhamento, u = movimento relativo e  é área da falha Nova escala, mais precisa

9 A quantidade de energia liberada oferece uma medida do poder destrutivo do terremoto. Em geral ela é feita por meio de uma outra relação empírica, estabelecida por Gutember e Richter c  11, d = 1 (pequenos) e d = 3/2 (grandes) A quantidade N de terremotos com magnitude m > m 0 obedece a uma lei de potências : a = nível de atividade sísmica; a = [0,8, 1.06] (pequenos) a = [1.23, 1.54] (grandes) (a) + (b)

10 Modelo de Burridge-Knopoff (1967) Placa fixa Placa que se move Modelo massa-mola Stick-slip models

11 Qual a força que age no bloco i? V  k i - 1 i i + 1 atrito Força elástica devida a interação com o bloco i - 1 Força elástica devida a interação com o bloco i + 1 Força elástica devida a interação com a placa superior Força de atrito estática, devida ao contato com a placa inferior

12 i - 1i iI + 1  x = vt Como  é pequeno, fazendo aproximação linear...

13 O bloco i fica parado até que essa força exceda o limite da força de atrito estático. Quando isso ocorre, o bloco i desliza, indo parar na posição x’ i.. A nova força no bloco i é então: apenas o bloco i se move

14 O movimento do bloco i afeta as forças que agem nos blocos i-1 e i+1: O bloco i puxa o bloco a esquerda e empurra o da direita, de forma que F i  1 ’ > F i  1 sempre Como A força nos sítios vizinhos i-1 e i+1 pode vir a exceder o limite do atrito estático. Esse(s) bloco(s) então também se movem, alterando as forças nos vizinhos seguintes, numa reação em cadeia

15 Isto nos leva às regras de atualização: onde Note que  F = F porque F’ i = 0

16 A dinâmica que governa o processo de relaxação é discreta: F i (t+1) = 0 F i+1 (t+1) = F i+1 (t) +  F i (t) Onde

17 Como impossível! O que significa que os blocos estão desconectados à placa que se move : impossível! O parâmetro  controla a “conservação” do modelo.

18 Perturbação: Caso haja algum sítio “ativo”, isto é, um sítio para o qual F > F th, o sistema relaxa: Relaxação: Os 4 sítios vizinhos, (i,j -1), (i,j+1), (i -1,j) e (i+1,j) são comparados com F th. Se, para algum deles, F > F th, a etapa de relaxação é repetida. O processo é repetido até que, para todos os sítios da rede, F < F th

19 (a) condições de contorno livres (ou fechadas) Os sítios da borda tem três ou dois vizinhos (cantos). Nenhum “F” se perde pelas bordas do sistema, é como se o conjunto estivesse desconectado do resto. Quando um sítio da borda relaxa, cada um dos 3 vizinhos recebe: Quando um sítio do canto relaxa, cada um dos 2 vizinhos recebe:

20 (b) condições de contorno abertas Todos os blocos tem 4 vizinhos. É como se o conjunto de blocos estivesse preso a uma “moldura” estática. A quantidade “F” é dissipada também na borda do sistema. ? Quando um sítio da borda relaxa, a quantidade  F(i,j) é “perdida”. Quando um sítio do canto relaxa, a quantidade 2  F(i,j) é “perdida”.

21 (c) condições de contorno periódicas Condições de contorno periódicas são geralmente usadas para representar um sistema infinito. No caso do modelo OFC, elas destroem o comportamento crítico. Com condições periódicas, o modelo sincroniza. Quando um sítio da borda relaxa, Nada se perde. Não há assimetrias, todos os sítios são idênticos

22 Identificando o transiente... Tensão média X tempo  L = 128 e  = 0.25

23 A distribuição de tamanho dos “terremotos” obedece a uma lei de potências, reproduzindo a lei de Gutemberg-Richter; L = 50,100 e 200. Resultado da simulação do modelo para L = 50,100 e 200. escala com o tamanho da rede Note que o “cut off” escala com o tamanho da rede. Modelo conservativo:  = 1/4

24 Josué X. Carvalho Formação de correlações espaciais Configuração inicial (aleatória)

25 Josué X. Carvalho Formação de correlações espaciais Configuração após 2.000.000 avalanches

26 Josué X. Carvalho Formação de correlações espaciais Configuração após 100.000.000 avalanches