AJUSTE DE CURVAS 6.1 Introdução 6.2 Método dos quadrados mínimos

Apresentação em tema: "AJUSTE DE CURVAS 6.1 Introdução 6.2 Método dos quadrados mínimos"— Transcrição da apresentação:

1 AJUSTE DE CURVAS 6.1 Introdução 6.2 Método dos quadrados mínimos
6.2.1 Caso discreto 6.2.2 Caso contínuo 6.3 Caso não-linear

2 AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO
No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela. A interpolação polinomial. Nem sempre a interpolação é aconselhável. Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento. Extrapolação. Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros não pelos pontos.

3 AJUSTE DE CURVAS 6.1- INTRODUÇÃO
Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de erros são vistos abaixo: Curva ajustada Barra de erros Curva extrapolada

4 AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO
Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança. Dado os pontos num intervalo [a,b], devemos escolher funções , e constantes tais que a função se aproxime de

5 AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO
Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar aparecem linearmente. Note que as funções podem ser funções não-lineares, por exemplo: PROBLEMA 1 Como escolher as funções ?

6 AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO
Podemos escolher as funções observando os pontos tabelados ou a partir de conhecimentos teóricos do experimento.

7 AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO
Seja dada na tabela: Devemos construir o diagrama de dispersão x -1.0 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0 f(x) 2.05 1.153 0.45 0.6 0.512 1.2

8 Diagrama de dispersão – caso discreto

9 AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO
Escolhemos a partir da forma dos pontos no diagrama de dispersão. Procuramos a função que se aproxime ao máximo de que tenha a forma (parábola passando pela origem) PROBLEMA 2: Qual o valor de que gera melhor ajuste da parábola?

10 AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO
Dada uma função contínua em [a,b] e escolhidas as funções todas contínuas em [a,b], devemos determi-nar as constantes de modo que a função se aproxime ao máximo de

11 AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO
Tanto no caso discreto quanto no caso contínuo o que significa ficar mais próxima? Idéia: A função é tal que o módulo da área sob a curva seja mínimo!!!

12 6.2 Método dos Mínimos Quadrados
Objetivo: encontrar os coeficientes aj tais que a função se aproxime ao máximo de f(x) MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Consiste em escolher os aj’s de modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

13 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto
Desvio em : Se a soma dos quadrados dos desvios é mínima, cada desvio será pequeno. Assim, aj’s devem ser tais que minimizem a função

14 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto
Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os números críticos, ou seja, aj’s tais que onde

15 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto
Calculando as derivadas, temos Igualando a zero,

16 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto
Ou seja, temos um sistema linear a resolver

17 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto
Reescrevendo o sistema, Sistema linear de n equações com n incógnitas

18 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Retas
Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3). Calculemos para

19 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Retas
Logo,

20 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Retas

21 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Parábolas
Exemplo 2: Encontre a parábola através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos da tabela Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola pela origem seria uma boa escolha, logo seja, x -1.0 0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0 f(x) 2.05 1.153 0.45 0.6 0.512 1.2

22 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Parábolas
Logo temos apenas uma equação dada por Calculando as somas, segue que:

23 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Discreto - Parábolas
Comentário 1: Note que a parábola pela origem, alinhada com o eixo dos y, que melhor ajusta os pontos fornecidos, através Método dos Mínimos Quadrados, é dada por Comentário 2: Uma parábola da forma permite um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser resolvido é 3X3 com várias somas e produtos intermediários, o que aumenta o tempo de processa-mento.

24 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo
Para a notação não ficar carregada, consideremos apenas duas funções de ajuste Sejam contínua em [a,b] e também contínuas em [a,b] escolhidas com algum critério. Desejamos encontrar mais próxima de Neste caso quais são ? Do critério de mínimos quadrados: ser mínimo!!!!!!!!

25 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo
Calculando

26 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo
Analogamente ao caso discreto, minimizando

27 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo
Segue o sistema linear Comentário: Se forem duas funções LI, então o sistema tem solução única para

28 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta
Exemplo: Encontre a reta através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a função no intervalo [0,1]. Seja , logo Calculando os termos do sistema linear 2X2

29 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta
Calculando os termos do sistema linear

30 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta
Obtemos o sistema linear Logo, a reta que melhor ajusta no intervalo [0,1] e dada pelo método dos mínimos quadrados por

31 6.2 Método dos Mínimos Quadrados Caso Contínuo - Reta
> plot([4*x^3, -4/5+x*18/5], x=0..1, color=[red,blue], style=[line,line]);