Sistemas Dinâmicos com Campo de Direções Parcialmente Conhecido

Apresentação em tema: "Sistemas Dinâmicos com Campo de Direções Parcialmente Conhecido"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas Dinâmicos com Campo de Direções Parcialmente Conhecido
Laécio Carvalho de Barros IMECC - Unicamp

2 Um Esquema de Modelagem
EDO Fenômeno Regras Lógica p/ Regras função EDIF ?

3 Metodologia Metodologia Controladores fuzzy e métodos numéricos para equações diferenciais (Runge-Kutta) foram usados para realizar as simulações. Sn, In 1/S dS/dt 1/I dI/dt Runge-kutta Controle fuzzy Sn+1,In+1

4 Princípio bem aceito Ecologia
“Uma população varia a uma taxa proporcional a própria população em cada instante t.”

5 Modelo Clássico de Malthus
Característica do Modelo: A variação é dada pela derivada. Nesse caso tem-se o seguinte PVI: Obs. : crescimento específico (dx/dt) constante.

6 Modelo Clássico de Malthus
Solução do Modelo

7 Lógica Fuzzy: o começo Lofti Zadeh publica (1965) o artigo com as primeiras Idéias sobre conjuntos fuzzy. Principal interesse era armazenar conceitos como “aproximadamente”, “em torno de” etc.

8 Conj. Clássico e conj. Fuzzy

9 Função de pertinência Um subconjunto fuzzy F de U é definido por uma
função µ : U  [0, 1], chamada função de pertinência de F . µ (x) indica o grau com que “x” é um elemento de F. Ex.: “em torno de 100” µ(x) =

10 Malthus com regras Uma primeira tentativa de modelagem para tal princípio poderia nos levar às seguintes regras -Se a população(X) é baixa(B) então a variação é baixa(B); -Se a população(X) é média(M) então a variação é média(M); -Se a população(X) é alta(A) então a variação é alta(A).

11 Conjuntos fuzzy para os antecedentes e conseqüentes das regras de Malthus

12 Método de Mamdani

13 Solução p-fuzzy

14 Modelo presa-predador de Lotka-Volterra
O modelo presa-predador clássico de Lotka-Volterra, que se tornou um paradigma da Biomatemática, pressupõe que: 1- Tanto as presas como os predadores estão distribuídos uniformemente num mesmo habitat, ou seja, todos os predadores têm a mesma chance de encontrar cada presa; 2- O encontro entre os indivíduos das duas espécies seja ao acaso, a uma taxa proporcional ao tamanho das duas populações; 3- A população de presas x(t) cresce exponencialmente na ausência de predadores (crescimento ilimitado por escassez de predadores); 4- A população de predadores y(t) decresce exponencialmente na ausência de presas (decrescimento por escassez de alimento); 5- A população de predadores é favorecida pela abundância de presas; 6- A população de presas é desfavorecida pelo aumento de predadores.

15 Modelo Clássico do tipo Presa-Predador de Lotka-Volterra
Estas seis hipóteses são resumidas nas equações abaixo, denominadas Modelo de Lotka-Volterra:

16 Interpretação para parâmetros
a: taxa de crescimento da população de presas na ausência de predadores; (α/β): a eficiência de predação, isto é, a eficiência de conversão de uma unidade de massa de presas em uma unidade de massa de predadores, já que α representa a proporção de sucesso dos ataques dos predadores e β a taxa de conversão de biomassa das presas em predadores; b : taxa de mortalidade de predadores na ausência de presas; Obs.:Os pontos críticos do sistema são: (0,0), um ponto de sela instável, e ((b/β),(a/α)) que é um centro estável.

17 Plano de fase do modelo clássico de Lotka-Volterra
Ciclos Ecológicos

18 Re-interpretando as seis hipóteses comentadas acima:
A hipótese "1" significa apenas que, dentro de cada espécie, o ambiente não privilegia nenhum indivíduo. Portanto é natural que as variáveis de estado sejam apenas quantidades; "2" significa apenas que há interação entre as espécies; "3" indica que não há auto-inibição nas presas, isto é, para um dado número de predadores, o crescimento específico das presas é constante, podendo ser positivo ou negativo; "4" como em "3", espera-se que, para um dado número de presas, o crescimento específico dos predadores seja constante, podendo ser positivo ou negativo; "5" apenas indica que o crescimento específico dos predadores aumenta com o número de presas; "6" significa que o crescimento específico das presas diminui com o aumento dos predadores. Resumidamente, as hipótese de 3 a 6 indicam que, dada uma certa quantidade de uma espécie, a outra tem crescimento (decrescimento) malthusiano.

19 Arquitetura para modelo p-fuzzy de Lotka-Volterra

20 Representação gráfica da regras

21 Base de Regras para Lotka-Volterra
Se X é A1 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 Se X é A1 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 Se X é A1 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 Se X é A1 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2

22 Soluções para o p-fuzzy Lotka-Volterra
Em cada instante t, o número de presas e de predadores é dado pelas fórmulas

23 Estimativas Assim, os valores de x(t) e y(t) são estimados pelas fórmulas onde e são as saídas do controlador correspondentes às entradas e

24 Contingentes populacionais e plano de fase para o p-fuzzy Lotka-Volterra