MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS PROF. VICENTE EUDES

MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS PROF. VICENTE EUDES
AULA 4

Plano de Ensino Aula 1: Matemática Básica
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Plano de Ensino Aula 1: Matemática Básica Aula 2: Função do 1º Grau e Aplicação de métodos quantitativos à Administração Aula 3: Função do 2º Grau e Aplicação de métodos quantitativos à Administração Aula 4: Matemática Financeira – Capitalização Simples e Capitalização Composta AULA 4

Matemática Financeira – Capitalização Simples e Capitalização Composta
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Matemática Financeira – Capitalização Simples e Capitalização Composta - Juros Simples - Capital - Montante - Taxa de juros - Juros compostos - Taxas Equivalentes AULA 4

1 - JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 1 - JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 1.1 – JUROS JURO é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. 1.2 - CAPITAL Capital é qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. 1.3 - TAXA DE JUROS Taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa está sempre relacionada com uma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano etc.) AULA 4

1.4 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 1.4 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados. a taxa varia linearmente em função do tempo. Se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar a taxa diária por 30; se desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por 12, e assim por diante. AULA 4

CÁLCULO DOS JUROS Valor dos juros é obtido da expressão: J = C x i x n
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS CÁLCULO DOS JUROS Valor dos juros é obtido da expressão: J = C x i x n onde: j = valor dos juros C = valor do capital inicial ou principal i = taxa n = prazo (tempo) M = Montante final (M = C + J) AULA 4

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EXEMPLOS AULA 4

Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ ,00, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a m. ? AULA 4

Um capital de R$ ,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente? AULA 4

Uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? AULA 4

Sabendo-se que os juros de R$ ,00 foram obtidos, com as aplicação de R$ ,00, à taxa de juros de 8% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo? AULA 4

Qual o capital que, à taxa de 2,5% ao mês, rende juros de R$ ,00 em 3 anos? AULA 4

Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 pode gerar um montante de R$ ,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano? AULA 4

Você fez um empréstimo de R$5.000,00 a uma taxa de juro simples de 12% ao ano a ser pago em dois anos. O valor a ser pago é próximo de: a) R$6.200,00 b) R$6.270,00 c) R$4.030,00 d) R$4.070,00 AULA 4

Qual o valor presente de uma aplicação em juros simples de cinco anos, taxa de juro de 14% ao ano e valor de resgate, único, igual a R$ ,00? a) R$58.823,00 b) R$51.936,00 c) R$52.854,00 d) R$59.325,00 AULA 4

Uma empresa toma empréstimo de R$ ,00 à taxa de 1,8% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita seis meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no final deste período. a) R$ ,73 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 AULA 4

EXEMPLO 10: Um investidor faz empréstimo de R$ ,00 à taxa de 1,95% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita cinco meses após a contratação do empréstimo, qual o valor a ser pago no final deste período? a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 AULA 4

2 - JUROS COMPOSTOS 2.1 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 2 - JUROS COMPOSTOS 2.1 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA. Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os juros são sempre calculados sempre sobre o montante inicial. quando uma soma está aplicada a juros compostos, os juros são calculados não apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros já vencidos. Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida. AULA 4

M = C ( 1 + i)n 1. Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. AULA 4

M = C ( 1 + i)n 2. Calcular o montante de um capital de R$ 2.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 1 ano. AULA 4

M = C ( 1 + i)n 3. Qual o montante de uma aplicação de R$ ,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de 2% ao mês. AULA 4

M = C ( 1 + i)n 4. No final de 6 meses, o Sr João deverá efetuar um pagamento de R$ ,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondente a uma taxa de 4% ao mês. Qual o valor emprestado? AULA 4

M = C ( 1 + i)n 5. Qual o capital que, aplicado durante 1 ano a uma taxa de 4% ao mês produz o montante de R$ 3000,00? AULA 4

3 - Taxas Equivalentes Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento. Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não. No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de: Atribuindo um capital R$ 100, temos: M = 100(1,1)3  M = 10  1,331  M = R$ 133,10. Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%. Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas. AULA 4

Taxas Equivalentes Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim: Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + ia = (1 + im)12 Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1 + ia = (1 + it)4 Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: 1 + is = (1 + im)6 Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas, fica elevado ao expoente igual a quantas vezes a menor unidade “cabe” na maior. AULA 4

EXEMPLOS AULA 4

Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano. AULA 4

Aplicando R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização bimestral, durante um ano e meio, qual o valor do montante? AULA 4

Qual a taxa anual equivalente a 3% ao mês?
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Qual a taxa anual equivalente a 3% ao mês? AULA 4

Qual a taxa anual equivalente a 30% ao semestre com capitalização bimestral? AULA 4

Qual é a taxa equivalente ao semestre de uma taxa de 12% ao ano?
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Qual é a taxa equivalente ao semestre de uma taxa de 12% ao ano? a) 6,14% ao semestre b) 5,83% ao semestre c) 5,39% ao semestre d) 6,26% ao semestre AULA 4

Um investidor tem duas alternativas para investir R$ por um mesmo prazo: (i) a uma taxa de 10% ao semestre e (ii) a uma taxa de 21% ao ano. Neste caso: a) As duas alternativas são idênticas, pois as taxas são equivalentes b) A melhor alternativa é a alternativa (i) c) A melhor alternativa é a alternativa (ii) d) A melhor alternativa é a (ii) para prazos iguais ou menores a um ano AULA 4

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