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Álgebra Linear e Geometria Analítica
2ª aula
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Mais matrizes especiais
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Matrizes em escada
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Exemplo:
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Exemplo:
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Exemplo:
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Matrizes condensadas
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Exemplo:
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Exemplo:
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Mas afinal como reconhecer se uma matriz está ou não em forma de escada ou está condensada?
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Definição: Matriz em forma de escada
Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer: Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são nulas; Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, todos os elementos da coluna k abaixo de aik são nulos assim como os elementos das colunas anteriores da linha k para baixo.
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Definição: Matriz em forma de escada (usando notação matemática)
Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer: Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula; Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, então para p > i e q k, apq = 0.
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Definição: PIVOT (numa linha nula não há nenhum pivot)
Quando uma matriz está em forma de escada ao primeiro elemento não nulo de cada linha chama-se pivot. (numa linha nula não há nenhum pivot) (em cada coluna há no máximo um pivot)
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Exemplo matriz em escada:
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Exemplo matriz em escada:
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Algumas considerações:
As linhas nulas ficam sempre na parte de baixo da matriz Pode haver colunas nulas em qualquer posição Qualquer linha tem sempre o pivot para a direita dos pivots das linhas acima dela
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Definição: Matriz condensada
Diz-se que uma matriz Amn está na forma condensada se é uma matriz em escada e Todos os pivots são iguais a 1; Se aik é o pivot da linha i todos os elementos da coluna k acima de aik são nulos.
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Exemplo de matriz condensada:
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Exemplo de matriz condensada:
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Qualquer matriz pode ser transformada numa matriz em escada ou numa matriz condensada
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COMO?
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Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
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Tipos de Operações Elementares
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Tipos de Operações Elementares
Tipo I: Trocar duas linhas L L3
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Tipos de Operações Elementares
Tipo II: Multiplicar uma linha por um escalar não nulo 0.5L1
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Tipos de Operações Elementares
Tipo III: Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar L L2- 0.5L1
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Exemplos:
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Exemplos:
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Exemplos:
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Exemplos:
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Exemplos:
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Exemplos:
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A partir de uma matriz podem-se obter várias matrizes em escada, mas uma única matriz condensada
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Definição: Característica de uma matriz
A característica de uma matriz Amn é igual ao número de linhas não nulas numa sua forma de escada. (é também igual ao número de colunas que têm um pivot e é igual ao número de pivots) Representa-se por car(Amn )
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A uma coluna onde há um pivot chama-se coluna principal.
A uma coluna onde não há um pivot chama-se coluna livre. A uma coluna onde há um pivot chama-se coluna principal.
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EXEMPLO: Determinar a característica de:
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Determinar a característica de:
L L3 + (-1) L1
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Determinar a característica de:
L L3 + (-1) L1
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Determinar a característica de:
L L3 + (-1) L1
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A matriz está em forma de escada.
Há 3 pivots A matriz tem característica 3. As colunas principais são as 3 primeiras e as duas últimas são as livres;
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Determinar a característica de:
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Determinar a característica de:
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Determinar a característica de:
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Determinar a característica de:
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Determinar a característica de:
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Determinar a característica de:
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Determinar a característica de:
A matriz está em forma de escada. Há 4 pivots. A característica da matriz é 4.
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