Curso de Ventos Estelares Marcelo Borges Fernandes

Apresentação em tema: "Curso de Ventos Estelares Marcelo Borges Fernandes"— Transcrição da apresentação:

1 Curso de Ventos Estelares Marcelo Borges Fernandes

2 Ventos isotérmicos com somente a pressão do gás
Aula 5 Ventos Isotérmicos Referência: Capítulo 3 de Introduction to Stellar Winds (Lamers & Cassinelli) Objetivo: Descrever e explicar algumas propriedades fundamentais dos modelos de ventos estelares através da obtenção das equações para ventos simples idealizados, que dependem das forças que estão atuando. Ventos isotérmicos com somente a pressão do gás

3 dM / dt = 4π r2 ρ(r) v(r) = 4 π Fm
Ventos isotérmicos com somente a pressão do gás Estrutura de um vento isotérmico no qual o gás é sujeito a somente duas forças: força gravitacional e o gradiente da pressão do gás 1. Equação de Momento: Consideremos um vento onde a taxa de perda de massa é constante (estacionário / independente do tempo): dM / dt = 4π r2 ρ(r) v(r) = 4 π Fm onde Fm é o fluxo de massa de uma estrela por esfero-radianos

4 A velocidade e a posição de uma unidade de massa que é acelerada no vento vai depender da distância e do tempo, tal que o gradiente de velocidade é descrito por: Equação 1 Como no vento só atuam a força gravitacional e o gradiente de pressão temos que a equação de momento é: Equação 2 que descreve o movimento do gás em um vento estelar estacionário

5 Assumindo que o gás se comporta como um gás perfeito, temos:
p = R ρ T / μ onde R é a constante de gas perfeito, μ é o peso atômico médio (constante e = para a composição solar) e T é constante. Com isso, a força devido ao gradiente de pressão para um vento isotérmico será escrita como: Equação 3 e o gradiente de densidade e a equação de momento serão descritos em função do gradiente de velocidade como: Equação 4

6 r = rc ≡ G M* / 2 a2 → ponto ou distância crítica
A equação de momento escrita nesta última forma tem como limite inferior da região isotérmica: ro → v(ro) = vo ~ o raio fotosférico ou um pouco maior se a estrela tiver uma corona isotérmica. A equação de momento tem uma singularidade no ponto onde: v(r) = a Por sua vez o numerador será zero quando: r = rc ≡ G M* / 2 a2 → ponto ou distância crítica

7 r = rc ≡ G M* / 2 a2 → só existirá se rc > ro
A equação de momento escrita nesta última forma tem como limite inferior da região isotérmica: ro → v(ro) = vo ~ o raio fotosférico ou um pouco maior se a estrela tiver uma corona isotérmica. A equação de momento tem uma singularidade no ponto onde: v(r) = a Por sua vez o numerador será zero quando: r = rc ≡ G M* / 2 a2 → só existirá se rc > ro G M* / 2 a2 > ro ou G M* / 2 ro ≡ v2esc (ro) / 4 > a2 onde vesc = (2 G M* / r) 1/2

8 Nesse caso, a sugestão de um vento isotérmico não será válida
Se rc < ro : Ele não estará na região isotérmica, mas na fotosfera ou em uma região de transição. Nesse caso, a sugestão de um vento isotérmico não será válida

9 dv / dr = 0 / 0 (regra de L´Hopital)
Sendo um vento isotérmico (rc > ro) temos que quando: r = rc → dv / dr = 0 (numerador igual a 0) Agora se também v(rc) = a (denominador igual a 0) dv / dr = 0 / 0 (regra de L´Hopital) Agora se v(r) = a, mas r ≠ rc → dv / dr = ± ∞ (denominador igual a 0)

10 A única solução com dv / dr > 0 para qualquer r tem que passar através do ponto crítico: solução crítica v(rc) = a rc = G M* / 2 a2 Algumas definições importantes: - r onde v(r) = a (ponto sônico) - r onde v(r) = vesc(r) (ponto de escape) - r = rc → numerador = 0 (ponto de Parker) Quem resolveu as equações para o vento solar em 1958

11 Em um vento isotérmico:
- ponto sônico = ponto crítico Não necessariamente verdade para outros tipos de ventos A solução crítica é transsônica, porque começa subsônica a pequenas distâncias e alcança uma velocidade supersônica a grandes distâncias

12 Topologia das Soluções para a Equação de Momento
para várias Velocidades Iniciais (v(ro))

13 Região onde r < rc: numerador < 0 dv / dr > 0 se v(r) < a dv / dr < 0 se v(r) > a Região onde r > rc: numerador > 0 dv / dr < 0 se v(r) < a dv / dr > 0 se v(r) > a

14 Matematicamente possíveis
Famílias de Soluções Matematicamente possíveis Família 1: a solução crítica começa subsônica, passa pelo ponto crítico e alcança valores supersônicos a grandes distâncias Monotonicamente crescente dv / dr > 0 (qualquer r) r → ∞ e dv / dr → 0

15 Matematicamente possíveis
Famílias de Soluções Matematicamente possíveis Família 2: a solução crítica começa supersônica, passa pelo ponto crítico e alcança valores subsônicos a grandes distâncias Monotonicamente decrescente dv / dr < 0 (qualquer r) r → ∞ e dv / dr → 0

16 Matematicamente possíveis v(r) < a (qualquer r)
Famílias de Soluções Matematicamente possíveis Família 3: vo é baixa demais para alcançar o ponto crítico, então ela permanece subsônica com um máximo em rc v(ro) « a v(rc) < a |dv / dr|r=rc = 0 v(r) < a (qualquer r) r → ∞ e dv / dr → 0

17 Matematicamente possíveis
Famílias de Soluções Matematicamente possíveis Família 4: a solução é sempre supersônica com um mínimo em rc v(ro) » a v(rc) > a |dv / dr|r=rc = 0 (mínimo) v(r) > a (qualquer r) r → ∞ e dv / dr → 0

18 Matematicamente possíveis
Famílias de Soluções Matematicamente possíveis Família 5 e 6: não têm significado físico, porque elas têm valores múltiplos para um dado r Têm dv / dr → ∞ em v = a, exceto se o numerador é 0 (não vai ocorrer) r > rc ou r < rc

19 Matematicamente possíveis
Famílias de Soluções Matematicamente possíveis 6 famílias de soluções para diferentes condições de contorno Nas soluções onde r = rc e v(rc) = a devemos aplicar L´Hopital e temos: Equação 5

20 Uma singularidade que tem 2 gradientes iguais (positivos e negativos) no ponto crítico
Singularidade tipo X A solução do tipo 1 é a única que começa subsônica e termina supersônica: essa solução crítica ocorre somente para um único valor de v(ro) Implica que somente uma envoltória com uma ρo pode produzir um vento transsônico, pois: dM / dt = 4 π ro2 ρo vo(crit)

21 Para um específico valor de taxa de perda de massa, com determinados valores de ρo, To e gravidade, é que o vento isotérmico pode alcançar valores supersônicos Intuitivamente deveríamos pensar que o vento isotérmico sustente uma faixa de taxas de perda de massa, cada uma com uma lei de velocidade correspondente, gerada pela pressão de gás e gravidade Não é verdade, pois o vento não deve satisfazer somente a conservação de momento e massa, mas também a de energia

22 e(r) = v2 / 2 – G M* / r + 5 R T / 2 μ 2. Equação de Energia:
A conservação de energia é baseada no fato que T é constante. Com isso, a energia total da matéria fluindo da estrela por unidade de massa: e(r) = v2 / 2 – G M* / r + 5 R T / 2 μ Energia Cinética Energia Potencial Entalpia U + W 3 R T / 2 μ R T / μ Expansão adiabática

23 v2 / 2 = a2 / 2 ; G M* / rc = 2 a2 ; R T / μ = a2
2. Equação de Energia: A conservação de energia é baseada no fato que T é constante. Com isso, a energia total da matéria fluindo da estrela por unidade de massa: e(r) = v2 / 2 – G M* / r + 5 R T / 2 μ No ponto crítico: r = rc v2 / 2 = a2 / 2 ; G M* / rc = 2 a2 ; R T / μ = a2 ECIN + EP + U = 0 Energia Cinética Energia Potencial Entalpia U + W

24 Artificial e não realista
A equação de energia pode ser re-escrita como: Equação 6 Onde uma energia igual aos dois últimos termos tem de ser fornecida ao longo do vento para mantê-lo isotérmico Artificial e não realista Apesar que ventos com aquecimento e resfriamento por processos radiativos podem estar perto de serem isotérmicos

25 Distribuição de Velocidade e Densidade
A diferença entre e(ro) e e(∞) tem de ser adicionada ao vento para superar o poço gravitacional, fornecendo energia cinética e o mantendo isotérmico Distribuição de Velocidade e Densidade Para mostrar o efeito que a atmosfera em expansão tem na distribuição de densidade do vento, é interessante comparar a sua estrutura de densidade com a de uma envoltória hidrostática com a mesma gravidade e temperatura. Primeiro devemos obter a lei de velocidades do vento, re-escrevendo a equação de momento como Equações 7, 8 e 9

26 Distribuição de Velocidade e Densidade
A diferença entre e(ro) e e(∞) tem de ser adicionada ao vento para superar o poço gravitacional, fornecendo energia cinética e o mantendo isotérmico Distribuição de Velocidade e Densidade Para mostrar o efeito que a atmosfera em expansão tem na distribuição de densidade do vento, é interessante comparar a sua estrutura de densidade com a de uma envoltória hidrostática com a mesma gravidade e temperatura. Primeiro obter a lei de velocidades do vento, re-escrevendo a equação de momento como Um vento isotérmico dirigido pela pressão do gás se torna supersônico se vo tem um valor específico (e junto com ro e ρo fornecem a taxa de perda de massa)

27 Uma situação não realista
A velocidade ao longo do vento pode ser expressa por: Equação 10 É uma consequência do fato que o vento é isotérmico até grandes distâncias da estrela. Isso requer uma contínua adição de energia e uma pressão do gás que acelera o vento indefinidamente. Uma situação não realista

28 Na realidade o vento é isotérmico somente até uma certa distância e a velocidade não aumenta significantemente além desta No caso da estrutura de densidade, temos: Equação 11 Vamos agora compará-la com a distribuição de densidade de uma atmosfera hidrostática: Equação 12 Essas duas últimas equações são bem similares, sendo iguais na base do vento, se vo « a.

29 M = número de Mach As densidades são bem similares, exceto perto do ponto crítico onde a densidade do vento cai abaixo dos valores para um modelo hidrostático (linha tracejada). A estrutura da região subsônica é principal- mente determinada pela estrutura de den- sidade hidrostática e não pela lei de velocidade. v dv / dr muito pequeno

30 Varia exponencialmente com Ho além de rc, onde vesc = 2a
3. Taxa de Perda de Massa: A boa concordância na região subsônica de um vento isotérmico entre a densidade do vento e a densidade hidrostática, permite estimar facilmente a taxa de perda de massa, no caso de um vento dirigido por pressão de gás. Supondo uma estrela com: R*, M*, TC e ρo constante Varia exponencialmente com Ho além de rc, onde vesc = 2a A taxa de perda de massa pode ser estimada a partir da distância, da densidade e da velocidade no ponto crítico: Equação 13

31 Alta sensitividade Densidade no ponto crítico diminui exponencialmente com vesc2 (ro) / 2a2 Razoável concordância com valor observado de 2 x M / ano

32 Conclusões A equação de momento tem muitas soluções dependendo das condições na base do vento: só uma é transsônica Passando através do ponto crítico: v(rc) = a = vesc(rc) / 2 e implicando em um valor particular de vo em ro e com isso de ρo, definindo uma taxa de perda de massa fixa A energia total é negativa na base do vento e se torna positiva na região supersônica: necessidade de entrada de energia para manter o vento isotérmico

33 Na região subsônica: estrutura de densidade do vento é similar a de uma atmosfera hidrostática
A posição do ponto crítico e o valor da taxa de perda de massa dependem somente das condições entre a base da região isotérmica e o ponto crítico. Não dependem das condições além do ponto crítico, mas somente requerem que a velocidade permaneça maior do que « a » em r > rc