Matemática IV Ementa: Noções de equações diferenciais ordinárias. Números complexos. Programa: Introdução ao estudo das equações diferenciais. Equações.

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1 Matemática IV Ementa: Noções de equações diferenciais ordinárias. Números complexos. Programa: Introdução ao estudo das equações diferenciais. Equações de 1ª ordem. Equações de 2ª ordem. O plano complexo: os números complexos, representação polar, raízes n-ésimas, definição de exponencial, conjuntos de pontos no plano. Bibliografia: - SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2 ed.. São Paulo: Makron Books, v. 2. - Fundamentos de matemática elementar/ Gelson Iezzi São Paulo: Atual, v.6

2 1 - Equações Diferenciais Ordinárias
Equações contendo derivadas são equações diferenciais. Portanto, para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento de fluidos, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmica, o aumento ou diminuição de populações, entre muitos outros, é necessário saber alguma coisa sobre equações diferenciais. Vale lembrar que todo a parte do cálculo chamado de cálculo de primitivas é nada mais nada menos que a determinação de soluções de uma equação diferencial.

3 Uma equação diferencial associa uma função incógnita e uma ou mais de suas derivadas. Diferentemente das incógnitas das equações algébricas, que são números, as incógnitas das equações diferenciais são funções.

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5 Representações de soluções particulares, para alguns valores de C, da função
y= x x + C. Figura 1 C = 0 C = 2 C = 4 x y

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7 Classificação de Equações Diferenciais
Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) -- se a função desconhecida depende de uma única variável independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples. Equações Diferenciais Parciais (EDP) -- se a função desconhecida depende de diversas variáveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais. Sistema de equações diferenciais -- se existem duas ou mais funções que devem ser determinadas, precisamos de um sistema de equações.

8 Ordem -- a ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação.
Exemplos: Geralmente a equação F(y, y’, y”, ..., y(n)) = 0 é uma equação diferencial de ordem n. Uma EDO dada para a maior derivada, obtendo-se

9 Equações Lineares e não -lineares
Equações lineares são aquelas cujos lados direito e esquerdo são funções lineares (i.e.,polinômio de grau 1) com respeito à incógnita e suas derivadas, ao passo que as não-lineares não satisfazem esta propriedade. :

10 Uso de computadores em ED
Um computador pode ser uma ferramenta extremamente útil no estudo de equações diferenciais. Algoritmos já estão sendo usados há muito tempo para solucioná-las. Entre eles podemos citar: o método de Euler e Runge-Kutta. Existem excelentes pacotes numéricos gerais que solucionam uma gama de problemas matemáticos com versões para PC, estações, etc. Entre eles temos: o Maple, o Mathematica e o Matlab.

11 2 - Equações Diferenciais de Primeira Ordem
A forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é dy/dx = f (x,y) (1) Qualquer função diferencial y = (t) que satisfaça essa equação para todo t em um dado intervalo é dita uma solução desta equação. Ex y` = 2y + 3e t Serão estudadas três subclasses de equações de primeira ordem: - as equações lineares; - as separáveis e as equações exatas.

12 Equações Lineares Se a função f em (1) depende linearmente de y, então ela é chamada de uma equação linear de primeira ordem. Um exemplo com coeficientes constantes é dy/dt = -ay + b, onde a e b são constantes dadas. Substituindo os coeficientes a e b por funções em t, temos a forma geral da equação linear de primeira ordem dy/dt +p(t)y = g(t), onde p e g são funções dadas da variável independente t.

13 Equações separáveis A equação geral de primeira ordem é dy/dx = f(x,y) que pode ser colocada na forma M(x,y) + N(x,y)dy/dx = 0 Porém se M depende apenas de x e N apenas de y, ela pode ser escrita como M(x) + N(y)dy/dx = 0. Esta equação é dita separável, pois se for escrita na forma diferencial

14 Exemplo: Considere a equação diferencial y` = -2xy.
M(x)dx + N(y)dy = 0 Então as fórmulas envolvendo cada variável pode ser separada pelo sinal da igualdade. Exemplo: Considere a equação diferencial y` = -2xy. Então podemos fazer y`/y = -2x e daí ln|y| = - x2 + c, logo para cada c R temos duas soluções: y1 = e - x + c e y2 = - e - x + c 2 2

15 Equações exatas Uma equação na forma M(x,y) + N(x,y) y` = 0 é uma equação exata em R (uma região) se, e somente se, My (x,y) = Nx (x,y) em cada ponto de R. Exemplo: Verifique se a equação (x2 + 4y)y` + (2xy + 1 ) = 0 é exata. Solução: Neste caso, M(x,y) = 2xy e N(x,y) = x2 + 4y. Logo My = 2x e Nx = 2x, donde My = Nx e consequentemente ela é exata.