Prof. Geraldo Nunes Silva Estas notas de aula são Basedas no livro: “Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, 3 a ed.,

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1 Prof. Geraldo Nunes Silva Estas notas de aula são Basedas no livro: “Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, 3 a ed., 1988” Agradeço a Professora Gladys Castillo do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro por ter permitido a utilização de alguns slides preparados pelo um grupo de pessoas de seu departamento

2 Aula de Hoje O método Simplex Aplicado ao problema de transporte (PT).  Definição e apresentação sobre forma de rede.  Formulação do caso equilibrado e não equilibrado. Exemplos  Propriedades fundamentais

3 Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Um dos principais produtos da firma Lactosal é o leite. Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricas e depois são distribuídos de caminhão para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se: OTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE.

4 Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas (produção) e procuras, em cargas de caminhão/dia, são os seguintes: 24 cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas Custo por carga de caminhão Armazéns Fábricas1234Oferta 112346 243248 3022110 Procura4767

5 Minimizar z = x 11 + 2 x 12 + 3 x 13 + 4 x 14 + 4 x 21 + 3 x 22 + 2 x 23 + 4 x 24 + 2 x 32 + 2 x 33 + x 34 sujeito a: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 6 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 8 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 10 x 11 + x 21 + x 31 = 4 x 12 + x 22 + x 32 = 7 x 13 + x 23 + x 33 = 6 x 14 + x 24 + x 34 = 7 x ij  0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 ) Formulação do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo.

6 x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 A= Matriz de Restrições do Problema de Transporte. Exemplo Protótipo. A matriz das restrições do problema de transporte para o exemplo protótipo apresenta a seguinte estrutura:

7 Fábricas Armazéns 11 22 33 11 22 33 44 c 11 x 11 c 34 x 34 Problema de Transporte sob a forma de Rede. Exemplo Protótipo.

8 Cargas de leite Unidades de um produto 3 fábricas 3 fábricas m origens 4 armazéns 4 armazéns n destinos Produção da fábrica Produção da fábrica i a i oferta da origem i a i oferta da origem i Procura no armazém Procura no armazém j b j procura no destino j b j procura no destino j Custo de transporte por carga da fábrica para o armazém Custo de transporte por carga da fábrica i para o armazém j c ij custo por unidade transportada da origem i para o destino j Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT

9 x ij cargas a distribuir da fábrica para o armazém x ij cargas a distribuir da fábrica i para o armazém j x ij unidades a distribuida origem i para o destino j o plano ótimo de distribuição diária do leite a minimização do custo total Determinar o plano ótimo de distribuição diária do leite das fábricas pelos armazéns tendo como objetivo a minimização do custo total o plano ótimo de distribuição desse produto minimização do custo total Determinar o plano ótimo de distribuição desse produto das origens pelos destinos tendo como objetivo a minimização do custo total Problema de Transporte. Do Exemplo ao Modelo do PT

10 Oferta total = Procura total Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso contrário está não equilibrado. Problema de Transporte. Caso Equilibrado.

11 Oferta total = Procura total Destino Origem 1 2 3 4 Oferta 1 112323112323 6 8 10 Procura 4 7 6 7 24 =24 1 2 4 4 3 4 x 11 x 12 x 14 x 21 x 22 x 24 3 x 13 2 x 23 0 2 1 x 31 x 32 x 34 2 x 33 Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total. Este problema está equilibrado. Problema de Transporte.Caso equilibrado. Exemplo protótipo

12 Minimizar sujeito a: restrições de oferta restrições de procura Problema de Transporte. Formulação como problema de PL.

13 Origens Destinos c 11 x 11 c ij x ij c mn x mn a1a1a1a1 aiaiaiai amamamam b1b1b1b1 bjbjbjbj bnbnbnbn 11 ii mm............ 11 jj nn............ Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rede representados por nós e arcos. Os nós representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos através dos quais o produto pode ser transportado. Problema de transporte sob a forma de rede.

14 O problema de transporte apresenta uma estrutura especial evidenciada pela disposição das restrições: A matriz dos coeficientes das restrições é apenas constituída por uns (1) e zeros (0). Cada variável x ij tem como coeficientes apenas 2 uns : um na linha associada à origem i e outro na linha relativa ao destino j x 11 x 12... x 1n x 21 x 22... x 2n … x m1 x m2... x mn A=... restrições dos destinos restrições das origens Problema de Transporte. Estrutura especial da matriz de restrições.

15 Destino Origem 1 2 … n n+1 Oferta 1 112...m2...m112...m2...m a1 a2...ama1 a2...ama1 a2...ama1 a2...am Procura b 1 b 2 … b n  a i -  b j c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn x 11 x 12 x 1n … x 21 x 22 x 2n … x m1 x m2 x mn ….................................... 0 0 0 x 1 n+1 x 2 n+1 x m n+1 Adicionar destino fictício Problema de Transporte. Oferta total superior à procura total

16 Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. Uma multinacional produz aviões comerciais para diversas companhias de aviação. A última etapa no processo de produção é a produção de motores seguido da sua instalação no avião. Para cumprir os contratos estabelecidos deve ser determinado o plano ótimo de produção dos motores para os próximos quatro meses.

17 os custos em milhões de dólares Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. Os dados para o plano da produção para os quatro meses futuros são os seguintes: Mês Instalações programadas Produção máxima Custo unitário de produção Custo unitário de armazenamento 110251.08 215351.110.015 325301.100.015 420101.130.015

18 Oferta total superior à procura total. Exemplo 1: Plano de Produção. Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como:  Origem i - produção de motores no mês i (i =1,2,3,4)  Destino j - instalação de motores no mês j ( j=1,2,3,4 )  x ij - quantidades de motores produzidos no mês i a serem instalados no mês j  x ij = 0, se i > j (primeiro produzir, depois instalar)  c ij - custo por unidade de produção e armazenamento  c ij = M, se i>j, como não existe custo real associado com estes dados, podem ser penalizados com um M arbitrariamente grande.

19 x 11 + x 12 + x 13 + x 14  25 x 21 + x 22 + x 23 + x 24  35 x 31 + x 32 + x 33 + x 34  30 x 41 + x 42 + x 43 + x 44  10 Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade. Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada em cada mês. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de ofertas. As restrições de oferta correspondem à produção de motores para cada mês i. Estas restrições são de desigualdade limitadas pela capacidade máxima de produção por mês.

20 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 10 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 15 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 25 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 20 Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal como no método do “big M”. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de procuras. As restrições de procura correspondem ao plano de instalação para cada mês j. Estas restrições são de igualdade, correspondendo ao número de instalações requisitadas para cada mês.

21 Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro: x 24 2 4, Os custos são calculados tomando os dados dos custos de produção e de armazenamento. Por exemplo para a variável x 24 que representa o número de motores produzidos no mês 2 a serem instalados no mês 4, o custo correspondente c 24 = 1.11 + 0.015+0.015 =1.140 Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total -Procura Total = 100 -70 = 30 u. Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Quadro do problema de transporte.

22 Destino Origem 1 2 … n Oferta 1 2... m m+1 a1 a2...ama1 a2...ama1 a2...ama1 a2...am Procura b 1 b 2 … b n  b j -  a i c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn x 11 x 12 x 1n … x 21 x 22 x 2n … x m1 x m2 x mn ….................................... 0 0 0 x m+1,1 x m+1,2 x m+1,n … Origem fictícia Problema de Transporte. Oferta total inferior à procura total

23 Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de agua. Uma empresa administra a distribuição de água de uma região. Para isto é preciso canalizar a água de 3 rios que estão situados fora da região e distribui-la para 4 cidades. Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a água disponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a pelo menos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma, minimizando o custo total.

24 Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes: os custos por unidade de medida.  A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas  O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível. Neste caso é preciso penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande.  A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. Cidade Rio 1234Fornece 11613221750 21413191560 3192023-50 Necessidades mínimas 3070010 Procura507030 

25 Oferta total inferior à procura total Exemplo 2: distribuição de recursos de água. Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como:  Origem i – o rio i (i =1,2,3)  Destino j – a cidade j ( j=1,2,3,4 )  x ij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j  c ij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j

26 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 50 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 60 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 50 Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de ofertas. As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios (origens). Como deverá ser distribuída toda a água disponível dos 3 rios, estas 3 restrições são de igualdade, uma para cada rio.

27 x 11 + x 21 + x 31  50 Cidade 1 Cidade 1: procura > necessidade x 11 + x 21 + x 31  30 limite inferior limite superior Cidade 2 Cidade 2: procura = necessidade x 12 + x 22 + x 32 = 70 x 13 + x 23 + x 33  30 Cidade 3 Cidade 3: procura > necessidade limite superior Cidade 4 Cidade 4: procura > necessidade x 14 + x 24 + x 34  10 limite inferior x 14 + x 24 + x 34  60 limite superior 160 - 100 = 60 O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado como a diferença entre a oferta total (50+ 60+50=160) e a soma das necessidades mínimas para as restantes cidades (30+ 70 =100)  160 - 100 = 60 unidades. (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4 ) Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de procura. As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (exceto a cidade 2, onde coincidem a procura com a necessidade mínima).

28 Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a: Procura Total -Oferta Total = 210 -160 = 50 unidades. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Quadro do problema de transporte.

29 Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re-analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício. Cidade 3 Cidade 3: Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada. Cidade 4 Cidade 4: procura > necessidade (60 > 10). Como o rio fictício fornece apenas 50 unidades, pelo menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício.

30 Cidade 2 Cidade 2: procura = necessidade Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício. Para isto é preciso penalizar com M o percurso que une o rio fictício com a cidade 2. Cidade 1 Cidade 1: procura > necessidade Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo. Cidade 1 Cidade 1: procura > necessidade Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo. Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Análise do rio fictício.

31 O rio fictício está penalizado para a cidade 2 A cidade 1 foi dividida em duas para garantir as necessidades mínimas de 30 unidades. O rio fictício está penalizado para a cidade 1'. Este é o quadro final dos custos para o problema de distribuição da água, formulado como problema de transporte: Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Formulação como P.T.

32 Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(1).  Qualquer problema de programação linear que se ajuste a estrutura especial mostrada anteriormente é considerado um problema de transporte, independentemente do seu contexto físico (como foi mostrado nos exemplos anteriores).  Para muitas aplicações as quantidades de oferta e demanda do modelo (a i e b j ) terão valores inteiros e exigem que as quantidades de distribuição (x ij ) também sejam inteiras.  Felizmente por causa da estrutura apresentada se um tal modelo tem qualquer solução factível sempre terá uma solução ótima somente com valores inteiros, sendo desnecessário adicionar ao modelo uma restrição de que os x ij têm que ser inteiros.  Estas observações valem quando o problema está equilibrado, mas já vimos como transformar problemas para a forma equilibrada.

33 Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(2).  Se um problema de transporte está equilibrado, i.e., a oferta total é igual à procura total, então tem sempre soluções factíveis.  Se um problema de transporte não está equilibrado,i.e., a oferta total não é igual à procura total, então pode ser introduzida uma origem ou um destino fictício para converter as restrições de desigualdade em igualdade e poder obter assim um problema equilibrado.  O problema de transporte tem sempre ótimo finito.  Na próxima aula veremos um método eficiente para a obtenção desta solução ótima

34 1 1 0 … 0 0 0 1 1 … 0 0 0 0 1 … 0 0... 0 0 0 … 1 1 0 0 0 … 0 1 B= Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(3).  Qualquer SBF do problema de transporte tem no máximo m+n- 1 variáveis básicas Do total de m+n equações só m+n-1 são linearmente independentes, existindo sempre uma equação redundante, i.e., uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes.  A base correspondente a qualquer SBF do problema de transporte é uma matriz triangular.  Se as quantidades das ofertas e procuras são valores inteiros, então qualquer SBF tem sempre valores inteiros. Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e 1, a resolução do sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumem apenas valores inteiros, pois apenas exige adições e subtrações.

35 B Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n-1=6, qualquer base B tem dimensão 6x6. Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P 11, P 12, P 22, P 23, P 33, P 34 e eliminando à restrição 4. P 11 P 12 P 13 P 14 P 21 P 22 P 23 P 24 P 31 P 32 P 33 P 34 (1) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 (2) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 (4) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (5) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 (6) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 (7) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A= P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) 1 1 0 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (5) 0 1 1 0 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (7) 0 0 0 0 0 1 B = P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) 1 1 0 0 0 0 (5) 0 1 1 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (7) 0 0 0 0 0 1 B = Base e Solução Básica Factível para o PT. B Trocando as linhas obtém-se uma matriz B triangular

36 X B x 11 x 12 x 22 x 23 x 33 x 34 6 7 8 6 10 7 = X= (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7) Uma SBF do problema é: X = (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7) Como a matriz B é triangular a solução do sistema é imediata: P 11 P 12 P 22 P 23 P 33 P 34 (1) 1 1 0 0 0 0 (5) 0 1 1 0 0 0 (2) 0 0 1 1 0 0 (6) 0 0 0 1 1 0 (3) 0 0 0 0 1 1 (7) 0 0 0 0 0 1 x 34 =7 x 33 + x 34 =10 x 23 + x 33 = 6 x 33 =3 x 23 =3 x 22 + x 23 = 8 x 22 =5 x 12 + x 22 = 7 x 12 =2 x 11 + x 12 = 6 x 11 =4 Uma Solução Básica Factível (SBF) para o PT.