Pós-Graduação em Levantamentos Geodésicos

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1 Pós-Graduação em Levantamentos Geodésicos
UNOCHAPECÓ Pós-Graduação em Levantamentos Geodésicos GEODÉSIA GERAL Prof. Regiane Dalazoana / Henrique Firkowski  semestre de 2009

2 Conteúdo 1 – Fundamentos de Geodésia
2 – Sistemas Geodésicos de Referência 3 – Conceito de Posicionamento Geodésico 4 – Redes Geodésicas de Referência 5 – O Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) 6 – Determinação de Altitudes

3 1- FUNDAMENTOS DA GEODÉSIA
 Definição e Objetivos em Geodésia  Evolução dos Modelos de Terra  Noções de Coordenadas Geodésicas e Astronômicas  Fundamentos Geométricos da Geodésia e das Superfícies de Referência

4 DEFINIÇÃO E OBJETIVOS GEODÉSIA  Helmert (1880): ciência da mensuração e representação da superfície da Terra

5 DEFINIÇÃO E OBJETIVOS GEODÉSIA  Helmert (1880): ciência da mensuração e representação da superfície da Terra Nesta definição se inclui a determinação do campo de gravidade, uma vez que a maioria das observações geodésicas está a ele referida (vertical !!!)

6 - ciência da determinação da forma e dimensões da Terra;
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS GEODÉSIA Atual: - ciência da determinação da forma e dimensões da Terra; - do seu campo da gravidade externo; e - respectivas variações temporais Não havia na definição dada por Helmert

7 Métodos modernos – observações realizadas de, para e entre satélites
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS PROBLEMA BÁSICO Deduzir os parâmetros fundamentais da Geodésia, associados com forma, dimensões e campo da gravidade externo, a partir de mensurações efetivadas na superfície ou em pontos exteriores Métodos modernos – observações realizadas de, para e entre satélites Métodos clássicos – observações de: direções, distâncias, determinação: de desníveis, de diferenças de gravidade ou de valores de gravidade

8 Mensurações de diferentes tipos (origem da divisão clássica )
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Mensurações de diferentes tipos (origem da divisão clássica ) Geodésia Geométrica – medidas de ângulos e distâncias Geodésia Física – medidas gravimétricas Geodésia Celeste – técnicas espaciais

9 DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Geométrica Visão clássica -> é o conjunto de materiais e métodos voltados à determinação de coordenadas geodésicas (latitude  e longitude ) a partir da realização de operações de observação / medida em campo de grandezas geométricas (medidas de direções e de distâncias) associadas a (poucas) determinações astronômicas. Pode-se dizer também: conjunto dos métodos baseados em observações de natureza geométrica que são voltados à determinação de coordenadas de pontos da superfície terrestre referidos a um modelo geodésico.

10 DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Física É o conjunto de materiais e métodos voltados à determinação valores de aceleração gravidade (g) ou de suas diferenças (Δg) a partir da realização de operações de observação de natureza gravimétrica. g1 g2 Superfície física Δg Δg = g2 – g1 Superfície equipotencial: que contém o ponto 1 o ponto 2 O conhecimento de valores de aceleração da gravidade em conjunto com outros conhecimentos da parte sólida do planeta permite inferir sobre o sub-solo.

11 Geodésia Física Gravímetros Relativos -> Δg Absolutos -> g
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Física Gravímetros Relativos -> Δg Absolutos -> g

12 Geodésia Celeste ou Espacial
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Celeste ou Espacial Pode-se dizer que é o conjunto de materiais e métodos que são baseadas em técnicas espaciais de posicionamento por meio de satélites artificiais. Busca-se determinar, por exemplo, direções, distâncias , coordenadas e variações de distâncias, entre pontos localizados na superfície da Terra e satélites ou entre satélites

13 Geodésia Celeste ou Espacial
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Celeste ou Espacial

14 Numa visão mais atual, em Geodésia trata-se com :
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS O objetivo ou escopo da Geodésia se expandiu e passou a incluir novas aplicações: No oceano – determinação do fundo oceânico No espaço – superfície e características de corpos celestes, como a Lua e outros planetas Numa visão mais atual, em Geodésia trata-se com : - Posições 3D determinadas com alta precisão (estabelecimento do controle geodésico) - Campo da gravidade - Modelagem e determinação de fenômenos geodinâmicos (movimento do pólo, rotação da Terra, deformação da crosta)

15 DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Como forma de operacionalização, o objetivo pode ser tratado sob 3 pontos de vista – depende do usuário Geodésia Global – forma e dimensões planetárias, referenciais, grandezas fundamentais, campo da gravidade, variações temporais Levantamentos Geodésicos – caráter regional, considera curvatura da Terra e campo da gravidade Levantamentos Topográficos – efeitos da curvatura e campo da gravidade são omitidos

16 DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Embora a finalidade primordial da Geodésia seja científica, as suas técnicas são aplicadas em atividades voltadas ao estabelecimento da estrutura básica para o mapeamento e para trabalhos em topografia. Na maioria dos países isso se constitui na finalidade e na razão de seu desenvolvimento e realização.

17 EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Qual é a forma da Terra? Em uma primeira aproximação, as irregularidades da superfície terrestre podem ser negligenciadas. Assim pode-se reduzir o problema à determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado para esta representação. Adotam-se modelos ou superfícies de referência mais simples, regulares, e com características geométricas conhecidas que possibilitem realizar reduções e sirvam de base para cálculos e representações.

18 Modelos de Terra – Histórico
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Modelos de Terra – Histórico  Até aprox. século IV A.C. - Terra plana. Os sábios e os pensadores da época consideravam que a vivia-se numa superfície plana retangular (circundada pelos mares). Acreditavam, ainda, que no limite da água com o espaço, habitavam seres e criaturas mitológicas  Pitágoras, Tales e Aristóteles – Terra esférica (500 A.C.)  Pitágoras – Terra girava em torno do Sol, teoria combatida por Aristóteles

19 EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
 Eratóstenes (276 a 175 A.C.) – a primeira determinação do raio da Terra por observação ao Sol - modelo esférico resultou no valor de aproximadamente km  Posidônio (150 anos depois) – determinação do compri-mento do equador da Terra por observação a uma estrela (37.800,0 km)

20  Newton – com base nos seus estudos sobre a gravitação,
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA  Ptolomeu (100 – 178 D.C.) – Terra esférica – sistema geocêntrico. Teoria que durou 14 séculos até ser desmentida por Copérnico, que atribuiu ao modelo, além do movimento de rotação o movimento de translação ao redor do sol  Picard (1619) – introduziu melhorias nos instrumentos de medição angular, estabeleceu uma rede de triangulação a partir da medição de um arco de meridiano de Paris a Amiens, e a partir disso calculou o raio da Terra (6.372km)  Newton – com base nos seus estudos sobre a gravitação, atribuiu um achatamento aos pólos como explicação ao fato da força da gravidade decrescer dos pólos para o equador

21 EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
 Richter – confirmação dos resultados de Newton em suas observações pendulares que revelaram o aumento do período do pêndulo com a diminuição da latitude  Cassini – continuou as triangulações de Picard e concluiu por uma Terra alongada segundo o eixo de rotação Academia de Ciências de Paris (1735) - organizou duas expedições científicas (Peru e Lapônia)  hipótese de Newton Cassini Newton

22 1 – Cartografia: superfície de representação (projeção)
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA O que é um modelo? Um modelo pode ser considerado como uma aproximação de algo que satisfaz aos requisitos de aplicação. Por que buscar modelos? Pela necessidade de tratar um problema, pela impossibilidade ou pela dificuldade em tratar com o objeto real em si, ou pela possibilidade de realizar simulações. 1 – Cartografia: superfície de representação (projeção) 2 – Geodésia: superfície de cálculo

23 Adoção de um modelo para a Terra
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Adoção de um modelo para a Terra  Irregularidades da superfície terrestre = dificuldades de cálculo  numa primeira aproximação podem ser negligenciadas  Para fins práticos – adoção de um modelo associar modelo Terra “Real”

24  Primeira noção da forma da Terra
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Esfera  Primeira noção da forma da Terra  Uma esfera particular é a “esfera de adaptação de Gauss” cujo raio (Rm) é igual ao raio médio da Terra. Ela é adotada como superfície de referência pela NBR14166 – Rede Cadastral Municipal – Procedimento  Dentro de aproximação admissível para determinadas aplicações é possível transformar um elemento da superfície do elipsóide em um elemento da esfera cujo raio Rm será (MN)½. .

25 EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Plano Topográfico  Superfície de referência adotada na Topografia – não se considera a influência da curvatura e desvio da vertical Veiga et. al, 2007

26 EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Plano Topográfico ? ?

27 EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Erros decorrentes da adoção do plano como modelo da Terra com o afastamento à origem

28 DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Modelos da Terra Coordenadas na Esfera

29 Elipsóide de Revolução
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Elipsóide de Revolução  O elipsóide de revolução foi a figura proposta por Isaac Newton (Torge, 2001) como figura geométrica da Terra (modelo). Pode ser entendido como uma figura gerada pela rotação de uma semi-elipse sobre um dos seus eixos (eixo de revolução) b a

30 Coordenadas no Elipsóide
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Coordenadas no Elipsóide Normal a P

31 Elipsóide de Revolução
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Elipsóide de Revolução  É a superfície matemática de referência adotada pela Geodésia  Existem mais de 70 definições /estabelecimentos de elipsóides de revolução utilizados em diferentes países em seus trabalhos geodésicos Usuário: deve saber a qual deles está referido o seu levantamento geodésico

32 EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Geóide  Superfície equipotencial que mais se aproxima do NMM. Uma superfície equipotencial é em todos os seus pontos perpendicular à direção da vertical (ou vice-versa)  Definição a partir da qual se estabelece a referência para as altitudes com características físicas  Adoção como superfície matemática de referência e uso prático esbarram no conhecimento limitado do campo da gravidade e no seu complexo equacionamento matemático

33 EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Geóide Altitude ortométrica: distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física da Terra

34 Representação Esquemática
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Representação Esquemática

35 Tamanho e Forma da Terra
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Tamanho e Forma da Terra  Modelo geométrico viável – elipsóide de revolução (forma elipsóidica não é acidental, conseqüência da atração gravitacional + efeito de rotação)  Classicamente definido por dois parâmetros (a, f) (a, b) (a, e) b a

36 Tamanho e Forma da Terra
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Tamanho e Forma da Terra  Século XIX – Geodésia deu ênfase na pesquisa dos parâmetros do melhor elipsóide  Foram propostos dezenas de elipsóides que são utilizados em trabalhos geodésicos em todo o mundo

37 Tamanho e Forma da Terra
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Tamanho e Forma da Terra

38 Tamanho e Forma da Terra
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Tamanho e Forma da Terra  Evolução da Geodésia Espacial proporcionou uma evolução no estabelecimento de modelos representativos da Terra, de modo a permitir a associação de parâmetros geométricos e físicos  Ao elipsóide de revolução se atribui a mesma massa da Terra incluindo a atmosfera, a mesma velocidade de rotação da Terra real  O elipsóide de revolução é definido por parâmetros geométricos e físicos: a (semi-eixo maior) GM (constante gravitacional geocêntrica)  (velocidade angular) J2 (fator dinâmico de forma)

39 COORDENADAS GEODÉSICAS
 Elipsóide ajustado às dimensões da Terra e devidamente orientado, torna-se um referencial adequado para a atribuição de coordenadas a pontos sobre a S.F. Coordenadas geodésicas: P, P e hP

40 - Plano XZ está associado com o meridiano médio de Greenwich
COORDENADAS GEODÉSICAS - Equador = plano XY - Plano XZ está associado com o meridiano médio de Greenwich - P é o ângulo entre a normal de P e o plano equatorial - P é o ângulo formado entre o plano do meridiano de P e o meridiano de referência hP altitude geométrica ou elipsoidal é a distância do elipsóide de referência ao ponto, contada sobre a normal vantagens das coord. geodésicas: tem um sentido natural (sei onde estou); fácil visualização; iguais em P e P’ (bom para a Cartografia – representação)

41 COORDENADAS GEODÉSICAS
 Altitude elipsoidal: distância entre a projeção de P (P’) no elipsóide e o ponto P, situado na S.F. da Terra, contada sobre a normal Altitude Elipsoidal (h) - PP’

42 Coordenadas cartesianas: XP, YP e ZP
COORDENADAS GEODÉSICAS Coordenadas cartesianas: XP, YP e ZP Normal ao elipsóide

43 COORDENADAS GEODÉSICAS
-Azimute geodésico: é o ângulo que a direção AB (geodésica da direção considerada) forma com o meridiano geodésico do ponto (A), contado do Norte, por leste, no sentido horário. Varia de 0o a 360o Azimute geodésico da direção AB (AzAB) e o seu contra azimute (AzBA). Em Geodésia a diferença entre o azimute e o contra-azimute não é igual a 180º como acontece na Topografia, devido à convergência meridiana

44 Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas

45 Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
SOLUÇÃO DIRETA

46 Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
SOLUÇÃO ITERATIVA

47 Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
SOLUÇÃO ITERATIVA 1 - O cálculo da longitude é direto 2 - cálculo de p através da fórmula 3 - cálculo de um valor aproximado para a latitude (0)

48 Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
SOLUÇÃO ITERATIVA 4 - cálculo de um valor aproximado para a grande normal (N0) 5 - cálculo da altitude geométrica (h) 6 - cálculo de um valor melhorado para a latitude verificar se existe necessidade de outra iteração, através da comparação entre os valores aproximado e melhorado da latitude

49 EXERCÍCIO Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
1 – Quais as coordenadas cartesianas do ponto P, cujas coordenadas geodésicas são as seguintes: P = -28 14’ 11,8” P = -48 39’ 21,9” hP = 11,85m OBS – utilizar os parâmetros do elipsóide Internacional 1980 a = ,0 f = 1/298,

50 COORDENADAS GEODÉSICAS
Vantagens das coordenadas geodésicas em relação às coordenadas cartesianas 1 – Tem sentido natural (sei onde estou) 2 – Fácil visualização 3 – São as mesmas para um ponto na superfície física e sua projeção no elipsóide

51 Físico  Geodésia  Geométrico
COORDENADAS GEODÉSICAS  As coordenadas geodésicas (latitude e longitude), bem como o azimute geodésico e a altitude elipsoidal são quantidades referidas a um modelo geométrico (elipsóide). Não dependem de situações físicas locais. No entanto, toda mensuração geodésica na Terra é sujeita ao campo da gravidade terrestre Físico  Geodésia  Geométrico (Natural) (matemático/modelo)

52 COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 As coordenadas geodésicas são referidas a um modelo geométrico. No entanto, toda mensuração geodésica na Terra é sujeita ao campo da gravidade terrestre  A gravidade terrestre num ponto é o efeito resultante da atração gravitacional da Terra sobre este ponto e o efeito da rotação terrestre (força centrífuga)  Vertical em um ponto é a direção da tangente ao vetor gravidade neste ponto

53 COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 As observações realizadas na superfície da Terra sofrem a influência do campo da gravidade terrestre por meio da vertical local  As coordenadas astronômicas estão relacionadas a vertical local – referencial natural associado ao observador

54 COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 O sistema de coordenadas astronômicas foi utilizado no posicionamento e orientação dos referenciais geodésicos horizontais antes do advento do posicionamento por satélites, época em que não era possível obter coordenadas geocêntricas  Também é conhecido como “sistema de coordenadas naturais”, devido ao seu relacionamento com certas características físicas da Terra, como o campo da gravidade terrestre

55 - Zênite de P é a projeção de P na esfera celeste, segundo a vertical
COORDENADAS ASTRONÔMICAS - Zênite de P é a projeção de P na esfera celeste, segundo a vertical - Meridiano celeste de P é determinado pelo plano que contém o eixo de rotação e o zênite do ponto - AP é o arco de meridiano contado do Equador ao ponto - AP é o arco de Equador contado da interseção do meridiano de referência até o meridiano do ponto

56 COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 As coordenadas astronômicas são de difícil obtenção. Dependendo da precisão exigida, implicam em programas de observação bastante longos e de execução complexa  Estas coordenadas foram fundamentais na definição dos referenciais geodésicos clássicos  Praticamente inviáveis para o posicionamento na superfície física da Terra, principalmente porque necessita-se de uma grande densidade de pontos

57 COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 As coordenadas astronômicas dependem da vertical dos pontos envolvidos - i : deflexão ou desvio da vertical

58  Resultado da projeção da vertical e da normal de P na esfera celeste
COORDENADAS ASTRONÔMICAS  Resultado da projeção da vertical e da normal de P na esfera celeste  Componente meridiana  Componente primeiro vertical

59 Relacionamento entre coordenadas geodésicas e astronômicas
COORDENADAS ASTRONÔMICAS Relacionamento entre coordenadas geodésicas e astronômicas Equação de Laplace Componente meridiana  Componente primeiro vertical

60  Geometricamente definido por a e b
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Elipsóide de revolução: figura gerada pela rotação de uma elipse sobre seu eixo  Geometricamente definido por a e b  Geodésia: tradicionalmente a e f

61  Qualquer seção contendo o eixo Z é uma elipse (meridianos)
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Qualquer seção contendo o eixo Z é uma elipse (meridianos)  Qualquer seção perpendicular é um círculo (paralelos) cujo raio varia em função da latitude

62 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE

63 e= primeira excentricidade e’= segunda excentricidade
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE a= semi-eixo maior b= semi-eixo menor f= achatamento e= primeira excentricidade e’= segunda excentricidade

64  O raio de curvatura em um ponto é o inverso da curvatura:
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Raio de Curvatura  O raio de curvatura em um ponto é o inverso da curvatura: 1/ = s /  Raio de curvatura principal em um ponto A de uma superfície é a seção produzida por um plano normal à mesma, tal que o raio de curvatura correspondente seja o máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis. Normalmente em uma superfície existirão duas seções principais

65  Seção meridiana(mín)
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Raios de curvatura  Seção meridiana(mín)  Grande normal(máx) - Pequena normal

66  Raio médio de curvatura
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Raios de curvatura  Raio médio de curvatura

67 Fornece o raio de curvatura R de uma seção genérica com azimute Az
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Raios de curvatura Teorema de Euler Fornece o raio de curvatura R de uma seção genérica com azimute Az

68  Raio de paralelo que contém um ponto dado
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Raio de paralelo que contém um ponto dado Teorema de Meusnier

69  Comprimento de um arco de elipse meridiana
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Comprimento de um arco de elipse meridiana  Os coeficientes A, B, C, D, E e F são tabelados ou calculados com base nos parâmetros do elipsóide de referência

70  Comprimento de um arco de elipse meridiana
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Comprimento de um arco de elipse meridiana

71 Exemplo: Para o elipsóide de referência 1967
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Exemplo: Para o elipsóide de referência 1967

72  Área de um quadrilátero elipsóidico
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Área de um quadrilátero elipsóidico  A’, B’ e C’ são tabelados ou calculados com base nos parâmetros do elipsóide de referência

73  Latitude Geocêntrica ()
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Latitude Geocêntrica ()

74  Latitude Reduzida (u)
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Latitude Reduzida (u)

75  Seções Normais no Elipsóide
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Seções Normais no Elipsóide Determinada pela intersecção de um plano definido por uma normal em um ponto e um segundo ponto, com a superfície do elipsóide

76  Seções Normais no Elipsóide
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Seções Normais no Elipsóide A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal de P1 e o ponto P2 com o elipsóide (linha azul) é chamada de seção normal direta em relação a P1 ou seção normal recíproca em relação a P2

77  Seções Normais no Elipsóide
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Seções Normais no Elipsóide A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal de P2 e o ponto P1 com o elipsóide (linha vermelha) é chamada de seção normal direta em relação a P2 ou seção normal recíproca em relação a P1

78 A seção normal direta do ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Seções Normais no Elipsóide A seção normal direta do ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul

79  Seções Normais no Elipsóide
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Seções Normais no Elipsóide casos de coincidência entre a direta e a recíproca Dois pontos com a mesma latitude

80  Seções Normais no Elipsóide
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Seções Normais no Elipsóide casos de coincidência entre a direta e a recíproca Dois pontos com a mesma longitude

81 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Linha Geodésica - é a menor distância entre dois pontos no elipsóide, contada sobre a superfície do elipsóide - é uma curva reversa (não está contida num plano) situada entre as seções normais dos dois pontos, aproxima-se da seção normal do ponto mais próximo

82  Linha Geodésica Teorema de Clairaut
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Linha Geodésica Teorema de Clairaut “O produto do seno do azimute da geodésica em um ponto pelo raio do paralelo deste ponto é uma constante” Aspectos importantes para a solução do problema direto e inverso – transporte de coordenadas

83  Linha Geodésica Aproximação Esférica
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Linha Geodésica Aproximação Esférica Para s = 40km e Azimute de 45, tem-se um ângulo  = 0,014” e uma abertura entre duas seções normais de d = 1mm s21 s d q s12

84 Aproximação esférica de caráter local.
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE  Linha Geodésica Aproximação Esférica - Para distâncias de até 80km não se detecta diferença nos comprimentos das seções normais e da geodésica, assim pode-se tratar a geodésica como um arco de circunferência de raio: Aproximação esférica de caráter local.

85 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
EXERCÍCIO 1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42,8737”, determinada no sistema geodésico SAD69, calcular: OBS – o sistema SAD69 utiliza como base o elipsóide de referência internacional 1967, com a = ,0 m e f = 1/298,25 Primeira excentricidade ao quadrado Semi-eixo menor Raio de curvatura da seção primeiro vertical ou grande normal Pequena normal ou raio de curvatura da seção meridiana Raio médio de curvatura Raio de curvatura de uma seção cujo azimute é 30 Raio do paralelo que contém o ponto Segunda excentricidade ao quadrado Latitude geocêntrica

86 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
EXERCÍCIO 1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42,8737”, determinada no sistema geodésico SAD69, calcular: OBS – o sistema SAD69 utiliza como base o elipsóide de referência Internacional 1967, com a = ,0 m e f = 1/298,25 Primeira excentricidade ao quadrado

87 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
EXERCÍCIO 1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42,8737”, determinada no sistema geodésico SAD69, calcular: OBS – o sistema SAD69 utiliza como base o elipsóide de referência internacional 1967, com a = ,0 e f = 1/298,25 Primeira excentricidade ao quadrado