Estatística Aula 09 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Apresentação em tema: "Estatística Aula 09 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves"— Transcrição da apresentação:

1 Estatística Aula 09 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 09 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de Assis

2 Aula 09 Probabilidade Introdução Propriedades básicas Regra da adição

3 O que vimos até o momento ?
Introdução O que vimos até o momento ? análise preliminar de uma amostra de dados por meio de um conjunto de técnicas numéricas e gráficas O que são aquilo que vimos? meras estimativas de quantidades populacionais desconhecidas Como então podemos tirar conclusões sobre populações? é necessário estabelecer um modelo matemático que contenha os principais elementos do processo que determinou a ocorrência das observações

4 Que tipo de modelo utilizamos e por que?
Introdução Que tipo de modelo utilizamos e por que? probabilístico pela impossibilidade de se sintetizar em um conjunto de equações a lei que descreve rigorosamente a variação de um certo fenômeno. Explique melhor ... A teoria de probabilidades lida com a realização de experimentos, naturais ou planejados pelo homem, cujos resultados não podem ser previstos com exatidão. Há um componente aleatório nos experimentos Provoca variações nos resultados  às vezes não podem ser ignoradas  modeladas

5 Experimento aleatório
Introdução Experimento aleatório É aquele cujo resultado não pode ser conhecido antes da realização do experimento  ele pode ser repetido várias vezes da mesma forma e apresentar resultados diferentes Exemplos: O resultado da jogada de um dado O número de carros que passam em um posto de pedágio movimentado no intervalo de meia hora Os números que vão “sair” no concurso da Mega-Sena da próxima semana O risco de uma construção ser alagada nas proximidades de um rio

6 Experimento aleatório
Introdução Experimento aleatório Note que, embora não saibamos exatamente qual o resultado da experiência aleatória, também não existe ignorância completa sobre o assunto No exemplo da jogada do dado, é claro que os resultados possíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6}, as faces do dado No caso da Mega-Sena, o conjunto de valores possíveis são os 6 números sorteados no conjunto {0, ..., 50} No caso do pedágio, podemos estabelecer um intervalo de valores máximos e mínimos de carros

7 Qualquer conjunto de resultados ou saídas de um experimento
Introdução Evento Evento Qualquer conjunto de resultados ou saídas de um experimento Simples  é um resultado ou evento que não pode mais ser decomposto em componentes mais simples Ao lançar um dado  5 é um evento simples Ao lançarmos e tomarmos a soma dos resultados dos dois  7 é um evento simples?

8 Introdução Evento Experimento: lançamento de 2 dados  somam-se os resultados: o evento 7 Dado 1 Dado 2 Resultado 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 . Eventos mais simples: 6-1, 5-2, 4-3, ... 7 7 7 Há 36 maneiras de obtermos o número 7  36 eventos simples 7

9 Introdução Espaço amostral
É o conjunto de todos os eventos simples possíveis de uma experiência aleatória, isto é, consiste em todos os resultados que não podem ser mais decompostos

10 Introdução Espaço amostral S Experimento: lançamento de 1 dado
3 2 4 5 6

11 Propriedades de Eventos
Interseção Exclusão União Negação

12 Propriedades de Eventos Interseção
O evento interseção de dois eventos A e B equivale à ocorrência de ambos Contém todos os pontos do espaço amostral comuns a A e B e é denotado por A ∩ B

13 Propriedades de Eventos Exclusão
Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos, ou mutuamente excludentes ou ainda disjuntos quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro  não ocorrem simultaneamente Os dois eventos não têm nenhum ponto em comum, exprimindo-se esse fato escrevendo-se A ∩ B = Ø

14 Propriedades de Eventos União
O evento união de dois eventos A e B equivale à ocorrência de A, ou de B, ou de ambos Contém os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos um dos dois conjuntos e é denotado por A U B

15 Propriedades de Eventos Negação
A negação do evento A, denotada por A, é chamada de evento complementar de A

16 Definição de Probabilidade
Há diferentes maneiras de definir probabilidade Probabilidade Abordagem clássica (requer resultados igualmente prováveis) Probabilidades subjetivas Aproximação pela frequência relativa (frequencial)

17 Definição Clássica P(A) = P(A) =
Suponha que um determinado experimento tenha n diferentes eventos simples, e que cada um desses eventos simples tenha igual chance de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em m dessas maneiras, então a probabilidade do evento A é dada por: Em outros termos : No de maneiras como o evento A pode ocorrer P(A) = Número de eventos simples Número de casos favoráveis ao evento A P(A) = Número de casos possíveis

18 Definição Clássica Exemplos:
Um dado homogêneo tem probabilidade 1/6 de cair com a face 5 para cima. Em um conjunto de cartas (sem os coringas) bem embaralhadas a probabilidade de sortearmos uma carta de copas é de 13/52.

19 Observações Formas de obtenção de probabilidades
A probabilidade de um evento qualquer é um número real não negativo Formas de obtenção de probabilidades a priori ou matemática, calculada a partir de hipóteses segundo um modelo matemático e sem experimentação, determinando as probabilidades de acontecimentos futuros; a posteriori, que é a estimativa por meio de dados experimentais, da verdadeira probabilidade ou valor mais provável.

20 Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(A).
Definição Frequencial Depende da reprodutibilidade do mesmo processo e da habilidade de contarmos o número de repetições Se algum processo é repetido um grande número de vezes, n, e se o evento A ocorre m vezes, a freqüência relativa m/n é aproximadamente igual à probabilidade de A: Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(A).

21 Estimada com base no conhecimento de circunstâncias relevantes
Definição Subjetiva Estimada com base no conhecimento de circunstâncias relevantes

22 No de vezes com a ponta para cima/ No total de lançamentos
Probabilidade Exemplos clássica P (sair o no 2 em um dado balanceado e imparcial) = ? Achar a razão: No de maneiras como 2 pode ocorrer/ No total de eventos simples = 1/6 Frequência relativa P (tachinha cair com a ponta para cima) = ? Deve-se repetir o experimento de jogar a tachinha várias vezes e então, achar a razão No de vezes com a ponta para cima/ No total de lançamentos Subjetiva P (chover amanhã) = ? Meteorologistas possuem conhecimento especializado para esta estimativa

23 Propriedades Básicas 0,5 1 Evento impossível Evento certo
0,5 1 Evento certamente não ocorrerá ocorrerá Máxima incerteza Evento impossível Evento certo

24 Propriedades Básicas Dado algum processo (ou experimento) com n resultados mutuamente excludentes (eventos), E1, E2,. . ., En , à probabilidade de cada evento Ei é atribuído um valor numérico não-negativo. A soma das probabilidades de resultados mutuamente excludentes é igual a 1.

25 Propriedades Básicas Exemplo
Ache a probabilidade de que, quando um casal tem 3 filhos, exatamente 2 deles sejam meninos. Suponha que meninos (M) e meninas (F) sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra criança 1º 2º Resultados possíveis 3º menino-menino-menino menino-menino-menina menino-menina-menino menino-menina-menina menina-menino-menino menina-menino-menina menina-menina-menino menina-menina-menina M M Espaço amostral M M M M M

26 Propriedades Básicas Exemplo
Ainda no exemplo anterior, qual a probabilidade de não nascer exatamente 2 meninos? 1º 2º Resultados possíveis 3º menino-menino-menino menino-menino-menina menino-menina-menino menino-menina-menina menina-menino-menino menina-menino-menina menina-menina-menino menina-menina-menina M M Espaço amostral M M M M M

27 Propriedades Básicas Regra da Adição Evento composto Notação
Estamos interessados na probabilidade de que ou o evento A ocorre ou o evento B ocorre (ou ambos ocorrem) com um único resultado de um experimento Palavra – chave  ou Evento composto É qualquer evento combinando 2 ou mais eventos simples Notação P(A ou B ) = P(evento A ocorrer ou o evento B ocorrer ou ambos ocorrem)

28 Propriedades Básicas Regra da Adição
Amostra de ervilhas, semelhante ao experimento de Mendel Quantas delas têm vagem verde ou flor roxa?

29 P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Propriedades Básicas Regra da Adição Ao calcular a probabilidade da ocorrência do evento A ou da ocorrência do evento B, ache o no total de maneiras em que A pode ocorrer e o no total de maneiras em que B pode ocorrer, mas ache o total de modo que nenhum resultado seja contado mais de uma vez Regra da Adição formal P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

30 P(Ei  Ej) = P(Ei) + P(Ej) - P(Ei  Ej)
Propriedades Básicas Teorema da adição Se Ei e Ej são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos Ei e Ej é igual a adição das probabilidades de Ei e Ej, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto Ei e Ej. P(Ei  Ej) = P(Ei) + P(Ej) - P(Ei  Ej)

31 Propriedades Básicas Regra da Adição
Ao invés de decorar uma fórmula, pense ... e calcule da forma seguinte Ache a soma do no de maneiras como o evento A pode ocorrer e o no de maneiras como o evento B pode ocorrer, somando de tal forma que cada resultado seja contado apenas uma vez. P(A ou B) é igual a esta soma dividida pelo no total de resultados do espaço amostral

32 P(A  B) = P(A) + P(B) Propriedades Básicas Regra da Adição
Esta regra é simplificada sempre que os eventos A e B não podem ocorrer simultaneamente, de modo que P(A ∩ B) se torna zero P(A  B) = P(A) + P(B)

33 Propriedades Básicas Considere dois eventos mutuamente excludentes, Ei e Ej. A probabilidade de ocorrência de Ei ou Ej é igual à soma das probabilidades individuais:

34 Estatística Aula 09 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 09 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de Assis