Professor: Cezar Augusto Pereira dos Santos

Apresentação em tema: "Professor: Cezar Augusto Pereira dos Santos"— Transcrição da apresentação:

1 Professor: Cezar Augusto Pereira dos Santos
OTIMIZAÇÃO ECONÔMICA Professor: Cezar Augusto Pereira dos Santos

2 PLANO AULA TEMA: Simplex por Formulação Matemática; PONTOS:
A formulação Matemática subjacente ao Método Simplex para resolução de problemas de Programação Linear; A construção do Tableau de resolução matemática do método Simplex;

3 Simplex por Formulação Matemática
Nosso Objetivo: Determinar as áreas de soja e algodão a serem plantadas. Variáveis: Representação Matemática do Modelo: X1: número de hectares de soja a serem plantados; X2: número de hectares de algodão a serem plantados; 2 X1 + 4 X2 ≤ 80 3 X1 + 1 X2 ≤ 60 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Max Z = 100 X X2 Sujeito a

4 Simplex por Formulação Matemática
Na formulação matemática do modelo Simplex é necessário acrescentar as chamadas “Variáveis de Folga” (slack) para transformar inequações em equações; Importante: para a equação (1), se S1 vale zero, o resultado a ser esperado para a expressão 2 X1 + 4 X2 + S1 deve totalizar “80”; Z X X2 = 0 (equação 0); 2 X1 + 4 X2 + S1 = 80 (equação 1) 3 X1 + 1 X2 + S2 = 60 (equação 2)

5 Simplex por Formulação Matemática
Caso S1 seja maior que zero, a expressão 2 X1 + 4 X2 + S1 deve valer menos “80”, o que efetivamente caracteriza a “FOLGA” na restrição; O sistema representado pelas equações (0), (1), e (2) pode ser resolvido a partir de uma Solução Inicial, inicialmente localizada na origem; Esta solução localizada na origem implica que X1 e X2 valem zero e, consequentemente, S1 e S2 valem, respectivamente, “80”e “60”;

6 Simplex por Formulação Matemática
As variáveis S1 e S2, que assumem, assim, valores não nulos, são chamadas de Variáveis Básicas, ou seja, fazem parte da chamada “BASE” do modelo de PL; Como fazemos para identificar as variáveis que compõem a Base? Devemos observar quais delas respeitam a característica da Matriz Identidade nas equações representativas das restrições do problema; Deve conter um número de variáveis que seja igual ao número de restrições do problema

7 Simplex por Formulação Matemática
Para o nosso exemplo as equações podem ser reescritas como: A primeira solução viável pode ser representada pela base (S1 e S2); Z X X2 + 0 S1 + 0 S2 = 0 (equação 0); 2 X1 + 4 X2 + 1S1 + 0 S2 = 80 (equação 1) 3 X1 + 1 X2 + 0 S1 + 1S2 = 60 (equação 2)

8 Simplex por Formulação Matemática
Em relação a função objetivo, as variáveis (X1 ; X2) estão associadas aos valores (0 ; 0); e as variáveis (s1 ; S2) estão associadas aos valores (80 ; 60); Com base no que foi exposto acima, o valor ótimo de Z é igual a zero; Para melhorar a qualidade da solução, mecanismos de “troca”, ou de “pivoteamento” ( de Gauss Jordan) entre as variáveis devem ser efetuados por meio dos passos a seguir:

9 Simplex por Formulação Matemática – Passos
1◦: Precisamos escolher a variável com maior contribuição a dar a função objetivo (a Z X1) – Selecionada para entrar na base; 2◦: Precisamos resolver as equações para X1 em ambas as restrições com as outras variáveis iguais a zero variável que deixa a base; 3◦: Qual restrição se tornará limitante primeiro? A que apresenta o menor valor para X1 Restrição 2 S2 é a variável que deixa base

10 Simplex por Formulação Matemática – Passos
Para restabelecer a matriz identidade, com a variável X1 incluída, o coeficiente para X1 deverá ser Zero na equação (0) e Zero na restrição (1) e ser 1 na equação (2); Precisamos multiplicar a equação 2a por 2 e o seu resultado será subtraído da equação (1); 2a 1a

11 Simplex por Formulação Matemática – Passos
Precisamos, na sequência, multiplicar a equação 2a por 100 e somar o resultado à equação (0) para encontrar a seguinte equação: Com isso, temos as novas equações, que confirmam as características da matriz identidade com relação a nova base (S1 ; X1); 0a (0) (1) Base: S1; X1 (2)

12 Simplex por Formulação Matemática – Passos
Uma vez que ainda existem contribuições positivas na função objetivo, os passos anteriores precisam ser repetidos (2◦ iteração); Generalizando o Método Simplex, um sistema de equações lineares pode ser representado no seguinte tableau: (0) (1) Base: X2 ; X1 (2)

13 Método Simplex - Generalizado

14 Método Simplex – Generalizado - Exemplo

15 Método Simplex – Generalizado - Exemplo
PASSOS: A) Solução Inicial: origem, representada pela base (S1 ; S2); B) Caminhar para uma melhor solução até que não exista mais valores positivos para Cj – Zj: Cálculo de Variável de Entrada: variável não Básica com maior Cj – Zj, que no nosso exemplo corresponde à variável X1; COLUNA PIVÔ: é a coluna referente à variável X1;

16 Método Simplex – Generalizado - Exemplo
C) Definição da variável de saída, ou seja, da variável básica que se tornará limitante primeiro: Precisamos estabelecer o valor ZERO para as outras variáveis e identificar a equação na qual a variável X1 assume o menor valor; Como é na segunda linha que a variável X1 assume o menor valor, a esta linha , à qual está associada a variável S2, é que se é dada a denominação de Linha Pivô;

17 Método Simplex – Generalizado - Exemplo
Elemento Pivô: é a célula correspondente à intersecção da linha pivô com a coluna pivô – para o nosso exemplo é o elemento “3”; Generalização: para se obter o Elemento Pivô, precisamos dividir cada pelo valor correspondente da coluna pivô e escolher o menor valor não negativo, ou seja, calcular o menor valor de

18 Método Simplex – Generalizado - Exemplo
D) Operações a serem realizadas nas linhas do Tableau para garantir a característica da matriz identidade para a nova base: E) Calcular os novos Zj; F) Calcular os novos Cj – Zj;

19 Método Simplex – G) Novo Tableau Correspondente

20 Método Simplex – G) Novo Tableau Correspondente
No Tableau anterior é possível observar as características da matriz para a nova base (S1 ; X1), à qual corresponde um valor de “2000”unidades para a função objetivo; Porém, como ainda existem valores positivos de Cj – Zj precisamos realizar uma nova iteração (Tableau a seguir); No novo tableau não há mais valores positivos de Cj – Zj, o que significa que não há mais possibilidades de se aumentar o valor da função objetivo; Chegamos a Solução Ótima;

21 Método Simplex –Tableau Final

22 REFERÊNCIAS CAIXETA-FILHO, J.V. Técnicas de Otimização Aplicadas a Sistemas Agroindustriais. 2 ed. São Paulo: Atlas, 2014. PRADO, D. S. do. Programação Linear. Nova Lima (MG): INDG Tecnologia e Serviços Ltda, 2010. SILVA, E. M. da… [et al.] 4 ed. Pesquisa operacional para os cursos de administração e engenharia: programação linear: simulação.São Paulo: Atlas, 2010.