Métodos Estatísticos Aplicados às Ciências Biológicas - 7ª aula -

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1 Métodos Estatísticos Aplicados às Ciências Biológicas - 7ª aula -

2 Motivação Arumalla et al., 2012

3 Inferência Estimação Testes de hipótese

4 Em uma pesquisa eleitoral, considere o candidato “A” Denomine por  a proporção de pessoas que votarão em “A” na eleição. Denomine por p a proporção de pessoas no levantamento de opinião (amostra) que expressam intenção de voto em “A”.

5 População: todas as pessoas aptas a votar Amostra: eleitores que participaram da pesquisa eleitoral  : característica de interesse da população (parâmetro) p: correspondente característica na amostra (estatística ou estimador)

6 Este é um problema de estimação Na apresentação dos resultados é fornecida uma medida de incerteza: margem de erro Observação: Neste exemplo, no dia da eleição,  será conhecido. Porém, isto não ocorre em outras aplicações, de uma forma geral.

7 Exemplo 1 Um fabricante de próteses afirma que seu processo de fabricação produz 90% de peças dentro das especificações. O IPEM deseja investigar se este processo de fabricação ainda está sob controle. Foi selecionada uma amostra aleatória de 100 itens e observada a proporção itens satisfatórios

8 Exemplo 2 - Um fabricante de cigarros afirma que seus cigarros contêm, em média, não mais que 30 mg de nicotina. Uma ONG anti-tabagismo não concorda com essa afirmação, e colhe uma amostra aleatória de 81 cigarros dessa marca para contestar a afirmação

9 Hipótese estatística: afirmação sobre um parâmetro da população Os parâmetros e valores especificados nas hipóteses nula e alternativa dependem do objetivo e características o estudo

10 Parâmetro de interesse: proporção de itens dentro das especificações na população (  ) Hipóteses H 0 :  =0,90 H 1 :  <0,90 hipótese nula hipótese alternativa No exemplo 1:

11 H 0 :  = 30 H 1 :  > 30 Parâmetro de interesse: média da quantidade de nicotina em um cigarro Hipóteses: onde  é a média de nicotina / cigarro hipótese nula hipótese alternativa

12 Dois tipos de erros podem ser cometidos: Erro de tipo I:rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira Erro de tipo II: não rejeitar H 0 quando H 0 é falsa P(erro de tipo I) =  P(erro de tipo II) =   : nível de significância do teste Em um teste de hipótese,  é fixado

13 Para testar uma hipótese: fixamos o nível de significância . Em geral  =0,05 consideramos uma amostra da população em estudo calculamos o valor da estatística de teste apropriada rejeitamos ou não a hipótese H 0 O conjunto de valores que levam à rejeição de H 0 é denominado região crítica ou região de rejeição

14 Os conceitos sobre testes de hipótese apresentados são gerais, e são válidos para testes sobre diferentes parâmetros. Nesta aula vamos nos concentrar, de uma forma geral, em testes sobre as médias de variáveis com distribuição normal

15 Teste sobre a média de uma população (1 amostra) Suponha que X seja uma variável aleatória com distribuição N ( ,  2 ) H 0 :  =  0 H 1 :  0 Hipóteses:  0 : valor padrão de interesse

16 Procedimento: A partir de uma amostra de tamanho n, calcular a média amostral e o desvio padrão amostral s; Calcular o valor da estatística de teste: Se H 0 é verdadeira, então t 0 tem distribuição t-Student com n-1 graus de liberdade

17 T 1 T 5 T 30 Z

18 Rejeitar H 0 se Para hipóteses alternativas unilaterais: H 1 :  <  0 Rejeitar H 0 se H 1 :  >  0 Rejeitar H 0 se ou seja, se t 0 pertence à região crítica do teste

19 Um procedimento alternativo seria, ao invés de verificar se o valor da estatística (t 0 ) pertence à região crítica, calcular do nível descritivo do teste (p-valor) p-valor: probabilidade de que a estatística do teste assuma um valor pelo menos tão extremo como o observado na amostra, quando H 0 é verdadeira

20 Se p< , H 0 é rejeitada Cálculo do p-valor H 0 :  =  0 H 1 :  0 p= 2 x P(T >| t 0 |) H 0 :  =  0 H 1 :  <  0 p= P(T < t 0 ) H 0 :  =  0 H 1 :  >  0 p=P(T>t 0 ) onde T tem distribuição t com n-1 graus de liberdade

21 Exemplo 2 : Um fabricante de cigarros afirma que seus cigarros contêm, em média, não mais que 30 mg de nicotina. Uma ONG anti-tabagismo não concorda com essa afirmação, e colhe uma amostra aleatória de 81 cigarros dessa marca para contestar a afirmação

22 Na amostra coletada, o conteúdo médio de nicotina foi 31,1 mg e desvio padrão de 3,7 mg. Esses resultados são suficientes para contestar a afirmação do fabricante? As hipóteses apropriadas são H 0 :  =30mg H 1 :  >30mg

23 Logo, ao nível de 5%, há evidências suficiente para concluir que a afirmação do fabricante está incorreta, ou seja, a contestação da ONG procede. Como t 0 >1,66, H 0 é rejeitada Excel: INVT

24 Cálculo do p-valor Excel: DISTT p=0,004

25 Como verificar a suposição de normalidade? Gráfico quantil-quantil

26 Comparação das médias de duas populações Quando temos mais de um grupo de observações é importante verificarmos se os dados são pareados ou se as amostras são independentes Observações pareadas: o mesmo indivíduo é observado em mais de uma vez indivíduos diferentes pareados segundo outra variável (idade, por exemplo )

27 Comparação de duas médias: amostras pareadas Estamos interessados na média das diferenças das observações individuais A vantagem do planejamento com pareamento é que na análise dos dados é considerada a variabilidade intra-indivíduos

28 Representação dos dados variável de interesse

29 A análise se reduz ao problema de uma amostra, na qual a variável a ser analisada é a diferença. A hipótese apropriada é H 0 :  d =0 H 1 :  d ≠0 Pode ser unilateral, dependendo do objetivo do estudo onde  d é a média da diferença na população

30 Exemplo (Fisher e van Belle, 1993)

31 Perfis individuais do Nº apnéias/ hora

32 Média da diferença = = 0,77 Desvio padrão da diferença = S = 0,52 Estatística de teste p<0,001 Intervalo de confiança de 95% para a média da diferença : [0,45 ; 1,08]

33 Comparação de duas médias: amostras independentes O objetivo é comparar as médias de uma variável em duas populações, com base em duas amostras independentes

34 N( 1, 2 )N( 2, 2 ) amostra 1: x 11, x 12,..., x 1n1 amostra 2: x 21, x 22,..., x 2n2

35 Hipóteses: H 0 :  1 =  2 H 1 :  1   2 Dependendo do objetivo do estudo a hipótese alternativa pode ser: H 1 :  1 <  2 ou H 1 :  1 >  2

36 Estatística para o teste onde são as médias das amostras 1 e 2, respectivamente, s 1 2 e s 2 2 são as variâncias das amostras 1 e 2, respectivamente Variância amostral combinada

37 Sob H 0, t 0 tem distribuição t-Student com n1+n2-2 graus de liberdade Para decidir pela rejeição ou não de H0: verificar se t 0 pertence à região crítica calcular o p-valor ou

38 Rejeitar H 0 se Para hipóteses alternativas unilaterais: H 1 :  1 <  2 Rejeitar H 0 se H 1 :  1 >  2 Rejeitar H 0 se ou seja, se t 0 pertence à região crítica do teste

39 Cálculo do p-valor H 0 :  1 =  2 H 1 :  1  2 p= 2 x P(T >| t 0 |) H 0 :  1 =  2 H 1 :  1 <  2 p= P(T < t 0 ) H 0 :  1 =  2 H 1 :  1 >  2 p=P(T>t 0 ) onde T tem distribuição t com n1+n2-2 graus de liberdade

40 Exemplo Em um estudo realizado para avaliar o efeito do tabagismo nos padrões de sono foram considerados dois grupos de indivíduos: Fumantes e Não fumantes. A variável observada foi o tempo, em minutos, que se leva para dormir.

41 Resumo dos dados

42 Gráfico de probabilidade normal (equivalente ao gráfico quantil-quantil)

43 Hipóteses: H 0 :  1 =  2 H 1 :  1   2  = 0,05 (fixado) s= 6,14 n1=n2=27n1+n2-2=25

44 1,71 0,05 ou: p<0,001

45 Portanto, o tempo médio no grupo dos fumantes é maior que nos não fumantes E se tivéssemos 3 grupos