Tema 1 – Lógica e Teoria dos Conjuntos

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1 Tema 1 – Lógica e Teoria dos Conjuntos
Proposições e valores lógicos . Um termo ou designação é uma expressão que nomeia ou designa um ente. . Uma proposição é toda a expressão p susceptível de ser verdadeira ou falsa. . O universo dos valores lógicos é {V, F} correspondente a verdade ou falsidade. . Duas proposições p e q dizem-se equivalentes quando e apenas quando p e q têm o mesmo valor lógico e escreve-se: p ⇔ q Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa, Princípio da não contradição Uma proposição é verdadeira ou a sua negação é verdadeira, Princípio do terceiro excluído

2 Equivalência Tabela de verdade
Consideremos, por exemplo, a proposição: A Maria vai à praia se e só se acordar cedo. Esta proposição é a composta das proposições: A Maria vai à praia. A Maria acorda cedo. Tabela de verdade A equivalência p ⇔ q entre duas proposições p e q é uma nova proposição que é verdadeira apenas no caso de p e q terem ambas o mesmo valor lógico.

3 Negação Tabela de verdade
Consideremos, por exemplo, a proposição: A Maria gosta de bolos. e a proposição: A Maria não gosta de bolos. A segunda proposição nega o que afirma a primeira. Tabela de verdade A negação de uma proposição é uma outra proposição que é verdadeira se a primeira proposição for falsa e é falsa se a primeira for verdadeira.

4 Conjunção Tabela de verdade Consideremos, por exemplo, a proposição:
A Maria gosta de bolos e o Manuel gosta de sandes. que resulta da ligação das proposições: A Maria gosta de bolos. O Manuel gosta de sandes. pela palavra e. Tabela de verdade A conjunção p Ʌ q de duas proposições p e q é uma proposição que é verdadeira se, e só se, p e q forem ambas verdadeiras.

5 Disjunção Tabela de verdade Consideremos, por exemplo, a proposição:
A Maria gosta de bolos ou a Maria gosta de sandes. que resulta da ligação das proposições: A Maria gosta de bolos. A Maria gosta de sandes. pela palavra ou. Tabela de verdade A disjunção p V q de duas proposições p e q é uma proposição que é falsa se, e só se, p e q forem ambas falsas.

6 Implicação Tabela de verdade Consideremos, por exemplo, a proposição:
Se a Maria acordar cedo, então vai à praia. Esta proposição é a composta das proposições: A Maria acorda cedo. A Maria vai à praia. Tabela de verdade A implicação p ⇒ q entre duas proposições p e q é uma nova proposição que é falsa se, e só se, o antecedente p é verdadeiro e o consequente q é falso.

7 2. Operações lógicas sobre proposições (Quadro Resumo)
. Uma tautologia é uma proposição que é verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições elementares que a constituem. . Uma contradição é uma proposição que é falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições elementares que a constituem.

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9 Tabelas de verdade Para demonstrar propriedades das operações com proposições , podem usar-se diferentes técnicas tais como: tabelas de verdade, argumentos que envolvam apenas as definições das operações, ou ainda, recorrendo a propriedades já verificadas. Como construir tabelas de verdade? As tabelas deverão ter tantas linhas quantas as necessárias para contemplar todas as possibilidades de sequência de valores lógicos para as proposições operandas ( portanto 2n linhas, sendo n o número de proposições operandas).

10 ( Número de proposições operandas: 2 → 22 linhas)
Exemplo ( Número de proposições operandas: 2 → linhas) Nas duas primeiras colunas, colocamos as combinações possíveis para os valores lógicos das proposições operandas p e q . Para preencher a coluna relativa a cada operação, utilizamos o conhecimento da tabela de verdade dessa operação e os valores lógicos de p e q constantes em cada linha. Neste exemplo, a identidade dos valores lógicos apresentados nas 3ª e 4ª colunas demonstra que a disjunção é comutativa.

11 ( Número de proposições operandas : 3 → 23 linhas)
Exemplo ( Número de proposições operandas : 3 → 23 linhas) A identidade dos valores lógicos apresentados nas 6ª e 7ª colunas demonstra a equivalência:

12 Propriedades da conjunção e disjunção:
Dadas as proposições p, q e r: . propriedade comutativa: 𝑝∧𝑞⟺𝑞∧𝑝 𝑒 𝑝∨𝑞⟺𝑞∨𝑝 . propriedade associativa : 𝑝∧𝑞 ∧𝑟⟺𝑝∧ 𝑞∧𝑟 𝑒 𝑝∨𝑞 ∨𝑟⟺𝑝∨ 𝑞∨𝑟 . propriedade distributiva da conjunção em relação à disjunção: 𝑝∧(𝑞∨𝑟)⟺(𝑝∧𝑞)∨(𝑝∧𝑟) . propriedade distributiva da disjunção em relação à conjunção: 𝑝∨(𝑞∧𝑟)⟺(𝑝∨𝑞)∧(𝑝∨𝑟) . elemento neutro da conjunção: 𝑝∧𝑉 ⟺𝑝 . elemento neutro da disjunção: 𝑝∨𝐹⟺𝑝 . elemento absorvente da conjunção: 𝑝∧𝐹⟺𝐹

13 . elemento absorvente da disjunção: 𝑝∨𝑉⟺𝑉
. idempotência da conjunção: 𝑝∧𝑝⟺𝑝 . idempotência da disjunção: 𝑝∨𝑝⟺𝑝 . Primeiras Leis de De Morgan: ∼ 𝑝∧𝑞 ⟺~𝑝∨∼𝑞 ∼(𝑝∨𝑞) ⟺∼𝑝∧∼𝑞

14 Propriedades da implicação.
Dadas as proposições p, q e r: . Relação da implicação com a disjunção: (𝑝⟹𝑞)⟺∼𝑝∨𝑞 . Negação da implicação: ∼(𝑝⟹𝑞)⟺𝑝∧∼𝑞 . Princípio da dupla implicação: (𝑝⟹𝑞)∧(𝑞⟹𝑝)⟺(𝑝⟺𝑞) . Implicação contrarrecíproca (Lei da conversão): (𝑝⟹𝑞)⟺(∼𝑞⟹∼𝑝) . Implicação é transitiva: 𝑆𝑒 𝑝⟹𝑞 𝑒 𝑞⟹𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑝⟹𝑟 Observação: Em qualquer sequência de operações lógicas, a menos que se utilizem parênteses, devem respeitar-se as seguintes prioridades: primeiro negação, seguindo-se as conjunções e as disjunções pela ordem que aparecem e, por fim, implicações e equivalências pela ordem que aparecem.

15 Nota: Dada a implicação 𝒂⟹𝒃, diz-se que: . 𝒃⟹𝒂 é a implicação recíproca . ~𝒂⟹~𝒃 é a implicação contrária . ~𝒃⟹~𝒂 é a implicação contrarrecíproca

16 3. Condições e conjuntos . Uma expressão designatória é uma expressão p(x) envolvendo uma variável x tal que, substituindo x por um objeto a, se obtém uma designação p(a). . Uma expressão proposicional ou condição é uma expressão p(x) envolvendo uma variável x, tal que, substituindo x por um objeto a, se obtém uma proposição p(a). . Domínio é o conjunto de valores que uma variável de uma expressão designatória ou de uma condição toma. . Quantificador universal: ∀ (lê-se “para todo/todos”) A proposição ∀𝑥, 𝑝(𝑥) é verdadeira quando e apenas quando se obtém uma proposição verdadeira para todos os valores de x. . Quantificador existencial: ∃(lê-se “existe pelo menos um”) Dada uma condição p(x), a proposição ∃𝑥:𝑝(𝑥) é verdadeira quando e apenas quando se obtém uma proposição verdadeira para pelo menos um valor de x.

17 Classificação de condições
A condição p(x) é universal se e só se a proposição ∀𝑥, 𝑝(𝑥) é verdadeira. A condição p(x) é possível se e só se ∃𝑥:𝑝(𝑥) é verdadeira. Se uma condição não é possível, então diz-se impossível. Propriedades Sejam c(x) uma condição qualquer, u(x) uma condição universal e i(x) uma condição impossível: 𝑐 𝑥 ∨𝑢 𝑥 ⟺𝑢 𝑥 𝑐 𝑥 ∨𝑖 𝑥 ⟺𝑐 𝑥 𝑐(𝑥)∧𝑢(𝑥)⟺𝑐(𝑥) 𝑐(𝑥)∧𝑖(𝑥)⟺𝑖(𝑥)

18 Segundas Leis de De Morgan
Para uma condição c(x): ∼ ∀ 𝑥 , 𝑝 𝑥 ⟺∃ 𝑥 : ~ 𝑝(𝑥) ∼ ∃ 𝑥 : 𝑝 𝑥 ⟺∀ 𝑥 , ~ 𝑝(𝑥) Classificação de condições num conjunto U . Dada uma condição p(x) e um conjunto U, ∀ 𝑥 , 𝑝 𝑥 ⇔∀ 𝑥, 𝑥 ∈𝑈⟹𝑝(𝑥) . Se a proposição ∀ 𝑥∈𝑈 , 𝑝(𝑥) for verdadeira, p(x) designa-se por condição universal em U. . Dada uma condição p(x) e um conjunto U, ∃ 𝑥 ∈𝑈: 𝑝 𝑥 ⟺∃𝑥 :𝑥∈𝑈∧ 𝑝 𝑥 . Se a proposição ∃ 𝑥 ∈𝑈: 𝑝 𝑥 for verdadeira, p(x) designa-se por condição possível em U e, caso contrário, por condição impossível em U.

19 Negação de uma condição
A negação de uma condição universal é uma condição impossível. A negação de uma condição impossível é uma condição universal. Dada uma condição p(x) e um conjunto U: ∼ ∀ 𝒙∈𝑼 , 𝒑 𝒙 ⟺∃ 𝒙∈𝑼: ~ 𝒑(𝒙) ∼ ∃ 𝒙 ∈𝑼: 𝒑 𝒙 ⟺∀ 𝑥∈𝑈 , ~ 𝑝(𝑥) Negação de uma implicação: Dadas as condições p(x) e q(x): ~ ∀𝑥 , 𝑝 𝑥 ⟹𝑞 𝑥 ⟺∃𝑥 :𝑝(𝑥)∧∼𝑞(𝑥) Conceito de condição suficiente e condição necessária Estar a chover ⟹ Haver nuvens (condição suficiente) (condição necessária)

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