Princípio Fundamental da Contagem (Regra do Produto) Exemplo

Apresentação em tema: "Princípio Fundamental da Contagem (Regra do Produto) Exemplo"— Transcrição da apresentação:

1 Princípio Fundamental da Contagem (Regra do Produto) Exemplo
ANÁLISE COMBINATÓRIA . Ramo da Matemática que estuda técnicas de contagem de elementos, sequências e conjuntos. Princípio Fundamental da Contagem (Regra do Produto) Exemplo Num restaurante uma refeição é composta por: (Entrada, Prato, Sobremesa) e existem 8 entradas diferentes, 5 pratos diferentes e 10 sobremesas distintas. Quantas refeições diferentes podemos fazer? Resp: E_ _P_ __S_ 8 x x = 400 Para quantos automóveis funciona o atual sistema de matrículas? Resp: A A L L A A 10 x 10 x 23 x 23 x 10 x 10 =

2 Definição (Princípio Fundamental de contagem):
Quando é necessário realizar k escolhas sucessivas, em que na primeira há n1 alternativas, na segunda há n2 alternativas, …, e na escolha de ordem k há nk alternativas, então o número total de alternativas é dado por: n1 x n2 x … x nk Exercícios Manual, volume 1, página 62 (55, …, 58)

3 2. Arranjos completos (ou com repetição)
Exemplo Considera o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos números diferentes de 3 algarismos se pode fazer? Resp: ____ ____ ____ 5 x x = = 𝐴′ 3 Definição Dado um conjunto com n elementos, o número total de sequências com p elementos, repetidos ou não, escolhidos de entre os n elementos, representa-se por: 𝑛 𝐴′ 𝑝 = n x n x … x n = 𝑛 𝑝 p vezes Exercícios Manual, volume 1, página 64 (59, 60 e tarefa 12)

4 3. Arranjos simples (sem repetição)
Exemplo Considera o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos números diferentes de 3 algarismos diferentes se pode fazer? Resp: ____ ____ ____ 5 x x = 𝐴 3 Definição Dado um conjunto com n elementos, o número total de sequências com p elementos distintos, escolhidos de entre os n elementos, representa-se por: 𝑛 𝐴 𝑝 = n x (n-1) x (n-2) x … x (n – (p – 1)) (p ≤ n)

5 Noção de Fatorial (!) n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1 = produto de todos os números inteiros menores ou iguais a n. 1! = 1 0! = 1 (convenção) Exercícios - manual, volume 1, página 66 (61, 62) Resolve as seguintes equações: a) x! = 72(x – 2)! b) 12x! = (x + 2)! – 5(x + 1)! Caso particular dos Arranjos Simples – Permutações Exemplo Quantos números diferentes de 5 algarismos diferentes se podem fazer com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}? Resp: ___ ____ ____ ____ _____ 5 x x 3 x 2 x = 5 ! = 120

6 Definição (Permutação)
Dado um conjunto com n elementos, todos distintos, chama-se Permutação de n elementos a toda a sequência que podemos formar com esses n elementos e representa –se : Pn = n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1 Nota 1 Nova fórmula para os Arranjos Simples 𝑛 𝐴 𝑝 = 𝑛! 𝑛 −𝑝 ! Nota 2 Permutações com objetos iguais (indistinguíveis) O número de permutações com repetição de n elementos, dos quais n1 são repetidos, n2 são repetidos, …, nk são repetidos, é dado pela expressão: 𝑛! 𝑛 1 × 𝑛 2 ×… × 𝑛 𝑘 Exercícios, Manual, volume 1, página 67 (63 a 65), página 68 (66, 67), página 69 e 70 (todos)

7 4. Combinações Apenas conta conjuntos, isto é, não interessa a ordem como se escolhe os elementos, Apenas quais os elementos que fazem parte do conjunto. Exemplo Quantos subconjuntos de 2elementos se podem formar com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4} Resp: {1, 2} {2, 3} {3, 4} {1, 3} {2, 4} {1, 4} 6 subconjuntos

8 Definição Dado um conjunto de n elementos chama – se Combinação dos elementos desse conjunto, a qualquer dos seus subconjuntos. Representa – se por: Nota: Numa Combinação não existem elementos repetidos, e nem se altera quando se escrevem os elementos por outra ordem. Nota 1 Quando se pretende arrumar objetos diferentes – Arranjos Simples Quando se pretende arrumar objetos iguais - Combinações Exercícios: Manual, volume 1, páginas 71 a 73 (68 a 76) Tarefas 15, 16, 17 e 18

9 Nota 2 Relação entre Combinações, Arranjos Simples e Permutações Aplicações da Análise Combinatória ao Cálculo de Probabilidades Manual, volume 1, página 86 a 89, tarefas 20, 21, 22 e 23 Ficha de Trabalho Resolve as seguintes equações: