MEDIDAS DE DISPERSÃO Profa Ana Clara Guedes. MEDIDAS DE DISPERSÃO Observe os dois quadros abaixo e compare a Dispersão dos pontos azuis, em torno do ponto.

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1 MEDIDAS DE DISPERSÃO Profa Ana Clara Guedes

2 MEDIDAS DE DISPERSÃO Observe os dois quadros abaixo e compare a Dispersão dos pontos azuis, em torno do ponto vermelho (referencial). Pode-se notas que existe maior dispersão dos pontos no quadro A do que no quadro B. QUADRO A QUADRO B

3 MEDIDAS DE DISPERSÃO Chamamos de Dispersão (ou variabilidade) de um conjunto de dados maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação (em geral a média aritmética). Sejam os conjuntos: CONJUNTO A: 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MÉDIA CONJUNTO B: 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MÉDIA O conjunto A apresenta menor variação que o conjunto B.

4 Para visualizar a importância das medidas de dispersão, observe o exemplo a seguir. ALUNONOTASMÉDIA Antônio55555 João64546 José105550 Pedro10 500 Imagine que quatro alunos tenham feito cinco provas, todas com valor máximo 10 pontos. Os resultados estão apresentados abaixo. Calcule a nota média de cada aluno.

5 Observe que todos ao alunos obtiveram média igual a 5, mas a variação das notas não é a mesma. ALUNONOTASMÉDIA Antônio555555 João645465 José1055505 Pedro10 5005 Observe que: As notas de Antônio não variaram As notas de João variaram menos do que as notas de José As notas de Pedro variaram mais do que as notas de todos os outros Você pôde fazer esta “análise visual” porque os conjuntos são pequenos. Mas, e quando forem grandes conjuntos?? E mesmo pequenos conjuntos, mas com valores grandes??

6 Abaixo apresentamos os salários de 25 funcionários (5 de cada loja), escolhidos aleatoriamente entre todos os funcionários de 4 Grandes Lojas: Você seria capaz de, visualmente, indicar qual conjunto de dados tem maior dispersão? LOJASALÁRIOS Casa América62768572312151374 Loja da Economia60075092812131380 Rei da Cozinha614753111512181299 Espaço da Casa6187888138151370

7 As medidas de dispersão (também chamadas medidas de variação) servem para calcular a dispersão dos dados em relação à sua média. São três as medidas que veremos aqui: 1. Variância 2. Desvio Padrão 3.Coeficiente de Variação

8 VARIÂNCIA A Variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética. Usamos o símbolo s² para variância de uma amostra. Usamos o símbolo  ² para variância de uma população. Usando o Excel, calcule a variância das notas dos 5 alunos (acompanhe os passos a seguir).

9 Acompanhe o passo-a-passo: 1. Inserir os dados

10 2. Calcular a média aritmética de cada aluno

11 2. Resultados da média aritmética de cada aluno

12 3. Calcular a variância de cada aluno

13 3. Resultados da variância de cada aluno

14 ALUNONOTASMÉDIAVar Antônio5555550 João6454651 José105550512,5 Pedro10 500525 Vamos comparar os valores da variância com as observações que tínhamos: As notas de Antônio não variaram (a variação é nula) As notas de João variaram menos do que as notas de José (a variação das notas é menor para João) As notas de Pedro variaram mais do que as notas de todos os outros (a variação das notas de Pedro é a maior) A interpretação da variância se faz comparando os valores encontrados para cada conjunto. Quanto maior o valor da variância, maior é a variação dos dados. E vice-versa. Continuando a tabela das notas:

15 OBSERVAÇÃO: A variância tem a desvantagem de ser apresentada não na unidade de medida dos dados, mas sim no quadrado da unidade!! Assim, se a variável é “número de irmãos” a variância terá unidade “Número de irmãos ao quadrado”. Ou, se a variável for “tempo gasto em minutos para realização de um experimento” a variância terá unidade “minutos ao quadrado”! Do ponto de vista prático, isto é um inconveniente! Por causa disto foi desenvolvida outra medida: o desvio-padrão!

16 DESVIO PADRÃO O Desvio Padrão é a raiz quadrada da Variância. Usamos o símbolo s para desvio padrão de uma amostra. Usamos o símbolo  para desvio padrão de uma população. Usando o Excel, podemos calcular o desvio padrão a partir da função “raiz quadrada” ou a partir da função “desvpad” (acompanhe os passos a seguir).

17 Acompanhe o passo-a-passo: 1. Cálculo do Desvio Padrão

18 2. Resultados do Desvio Padrão

19 ALUNONOTASMÉDIAVarDesv Pad Antônio55555500 João64546511 José105550512,53,5 Pedro10 5005255 A análise do desvio padrão se faz da mesma forma que a da variância, comparando os valores encontrados para cada conjunto. Quanto maior o valor do desvio padrão, maior é a variação dos dados. E vice-versa. Continuando a tabela das notas:

20 OBSERVAÇÃO: O fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita seu emprego quando desejamos comparar a variabilidade de dois ou mais conjuntos de unidades de medidas diferentes. Além disto, um desvio padrão igual a 2 pode ser considerado pequeno para um conjunto cuja média é 200, mas pode ser relativamente grande para um conjunto cuja média é igual a 5. Para controlar as limitações do desvio padrão, definimos uma medida a dispersão expressa em porcentagem, chamada de Coeficiente de Variação.

21 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Como podemos comparar a variação destes conjuntos de dados (duas variáveis) se as unidades de medidas são diferentes? Seria como perguntar: “quem é maior: 5cm ou 2Kg?”. Para estes casos, usamos o Coeficiente de Variação como medida de variação. É comum apresentar o Coeficiente de Variação em porcentagem. Para isto basta multiplicar o resultado por 100! MédiaDesvio Padrão Estatura (cm)1755 Peso (Kg)682 Suponhamos os seguintes resultados dos dados de alturas e pesos de 150 indivíduos:

22 Como o valor do CV é maior para os pesos, dizemos que os indivíduos analisados apresentam maior variação nos pesos do que nas idades. MédiaDesvio PadrãoC V Estatura (cm)17552,86% Peso (Kg)6822,94% Cálculo do Coeficiente de Variação:

23 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil, São Paulo: Saraiva, 2001. VIEIRA, Sônia. Introdução à bioestatística, 3.ed., Rio de Janeiro: Elsevier, 1980.