GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE

Apresentação em tema: "GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE"— Transcrição da apresentação:

1 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade Teorema do Limite Central 1 – Independentemente da forma da distribuição inicial, a distribuição amostral de médias aproxima-se à Normal, quando a dimensão da amostra aumenta 2 – Se a distribuição de origem for Normal ( X~N(μ,σ2)) a distribuição amostral será normal mesmo quando a dimensão da amostra é pequena Uma outra distribuição importante definida em termos de distribuição normal é a distribuição (qui-quadrado). Se X1,X2,…,Xn são variáveis normal e independentemente distribuídas de média zero e variância igual a um, então a variável segue uma distribuição com n graus de liberdade. A distribuição é assimétrica com média igual a n e variância igual a 2n. Se X1,X2,…,Xn for uma amostra de uma distribuição N(μ,σ2), então será uma variável com (n-1) graus de liberdade Como tem-se ou seja , a distribuição amostral de será uma quando a distribuição de origem é Normal Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

2 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade Outra distribuição importante é a distribuição t-Student. Se X e são variáveis independentemente distribuídas segundo, respectivamente, a Normal e a então é distribuída segundo uma t-Student com k graus de liberdade. A distribuição t- Student tem média igual a zero e variância igual a k/(k-2) com k>2. Se k→∞ , t→ N(0,1) INFERÊNCIA ESTATÌSTICA Nos exemplos dados sobre as diversas distribuições era suposto que se conheciam os parâmetros de um determinado processo o que, na vida real é, praticamente, impossível. O que acontece, em geral, é que tais parâmetros não são conhecidos, nem constantes, pois é lógico que mudem ao longo do tempo. Há, no entanto, métodos que permitem estimar tais parâmetros e resolver problemas de inferência com eles relacionados. Geralmente uma amostra aleatória é analisada e certas estatísticas são calculadas. Aplica-se o termo “estatística” a qualquer função dos dados amostrais que não contenha parâmetros desconhecidos. A amostra tem necessariamente de ser aleatória para ser representativa da população sobre a qual se pretendem fazer inferências. Os métodos usados de Planeamento e Controlo da Qualidade apoiam-se, essencialmente, em conceitos de inferência estatística Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

3 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade DISTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS Se várias amostras forem extraídas da mesma população e se, para cada uma delas se calcular uma mesma “estatística”, obtem-se uma distribuição de valores dessa estatística designada por DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL. Uma das distribuições mais importantes em Controlo da Qualidade é a distribuição amostral das médias. Se X for uma variável aleatória normalmente distribuída com média μ e variância σ2, a distribuição de médias de amostras de dimensão n será também normal com média igual a μ e variância igual a Geralmente é designado por “erro padrão”. Nos casos em que σ (desvio padrão da população) é desconhecido, este pode ser estimado a partir do desvio padrão amostral. Em controlo da qualidade assume-se, geralmente, que a distribuição de médias é normal. Se X1,X2,…,Xn for uma amostra aleatória de uma distribuição N(μ,σ2) e se a média e variância amostrais forem calculadas para essa amostra, então e portanto Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

4 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade DISTRIBUIÇÔES AMOSTRAIS A distribuição de SNEDECOR, mais conhecida por distribuição F (em homenagem a Fisher), também se baseia num processo Normal. Se e forem duas variáveis independentes, então está distribuída segundo F com u graus de liberdade no numerador e v graus de liberdade no denominador. Considerem-se duas populações Normais, com médias μ1 e μ2 e variâncias σ21 e σ22. Se forem retiradas duas amostras, uma de cada população x11,x12,…,x1n e x21,x22,…,x2n e se as variâncias amostrais forem calculadas (s21 s22) então Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

5 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade INTERVALOS DE CONFIANÇA Para se estimar um determinado parâmetro é necessário determinar-se um ESTIMADOR que deve obedecer às seguintes condições: O valor esperado do estimador deve ser o parâmetro a ser estimado, isto é, o estimador deve ser não tendencioso A variância do estimador deve ser mínima Se o estimador é uma estatística que conduz a um só valor numérico, diz-se que o estimador é pontual. No entanto, pode sempre associar-se ao estimador um certo intervalo de confiança onde o verdadeiro valor do parâmetro a ser estimado tem uma certa probabilidade de estar contido, de forma a que onde é o parâmetro que se pretende estimar é o estimador de h a estatística calculada a partir de dados amostrais e 1-α o nível de confiança, sendo α o nível de significância A precisão do estimador é tanto maior quanto menor for o intervalo de confiança correspondente, isto é, quanto maior for o nível de confiança e também é maior quanto maior for a dimensão da amostra. Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

6 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade INTERVALOS DE CONFIANÇA O intervalo de confiança acima é bilateral pois tanto o limite inferior como o superior estão especificados. Há, no entanto, casos em que só um limite é considerado, obtendo-se então um intervalo unilateral. Alguns dos intervalos mais utilizados são seguidamente apresentados: Intervalo de Confiança da média com variância conhecida Considere-se a variável X, com média desconhecida μ e variância conhecida σ2. Supondo que uma amostra aleatória de dimensão n é extraída e que se obtém as observações x1,x2,…,xn o intervalo bilateral com 100(1-α)% de confiança para a média μ será dado por: onde é a média amostral e é o valor da normal reduzida correspondente a α/2. Por exemplo se α=5% será α/2=2,5%, ou seja, a área correspondente a α/2 será igual a 0,025. Da tabela da distribuição normal reduzida obtem-se z=1,96 -zα/2 zα/2 α/2=0,025 Como resultado do Teorema do Limite Central a equação anterior é usada independentemente da forma da distribuição da variável X Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

7 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade INTERVALOS DE CONFIANÇA Intervalo de Confiança da média de uma distribuição normal com variância desconhecida Seja X~N( μ, σ2), desconhecendo-se qual a média e o desvio padrão. Neste caso será onde é o valor da distribuição de t-Student com n-1 graus de liberdade. Por exemplo se α=5% e n=16, obtem-se da tabela da distribuição de Student, Intervalo de Confiança da variância de uma distribuição normal Considere-se uma variável X~N( μ, σ2), com média variância desconhecidas. Se s2 for a variância amostral calculada a partir de uma amostra de dimensão n, o intervalo de confiança bilateral para a variância é dado por onde é o valor da distribuição correspondente a um determinado nível de significância. Por exemplo, se for α=5% e n=16 será e Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

8 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade Intervalo de Confiança da diferença de duas médias com variâncias conhecidas Considerem-se duas variáveis aleatórias com médias μ1 e μ2 e variâncias conhecidas σ21 e σ22. Retirem-se duas amostras e calculem-se as médias amostrais. O intervalo de confiança da diferença de duas médias, μ1 - μ2 é dado por médias das amostras e σ21 e σ22 variâncias respectivas Intervalo de Confiança da diferença de médias de duas distribuições normais com variâncias desconhecidas Considerem-se duas variáveis X1~N( μ1, σ12) e X2~N( μ2, σ22) em que tanto as médias como as variâncias são desconhecidas. Se se considerarem duas amostras de dimensões n1 e n2 e se se calcularem as médias e variâncias amostrais, o intervalo de confiança para a diferença das duas médias será Onde Sp é o desvio padrão combinado calculado por Assumindo que as variâncias das duas populações não são significativamente diferentes Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

9 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade Intervalo de Confiança do quociente entre variâncias de duas distribuições normais Considerem-se duas variáveis X1~N( μ1, σ12) e X2~N( μ2, σ22) em que tanto as médias como as variâncias são desconhecidas. O intervalo de confiança bilateral para o quociente das duas variáveis é dado por Onde é o valor da distribuição F com u e v graus de liberdade. Por exemplo, se n1=n2=10 e α=5% ter-se-á e Intervalo de Confiança do parâmetro p da distribuição Binomial Uma estimativa pontual do parâmetro p da distribuição Binomial é dada por onde x é o número de sucessos e n a dimensão da amostra. Se n é grande e p 0,1 a aproximação da Binomial à Normal pode ser feita e o intervalo de confiança do parâmetro p será: De modo análogo se pode estabelecer um intervalo de confiança para a diferença de dois parâmetros p1 e p2 Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

10 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade TESTES DE HIPÓTESES Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre os parâmetros de uma distribuição; tal afirmação tem de ser testada a fim de se conhecer a validade dos pressupostos feitos. A hipótese que se pretende testar é a chamada “HIPÓTESE NULA” (H0) en quanto que a alternativa é chamada “HIPÓTESE ALTERNATIVA” (H1). Há determinadas etapas a seguir quando se faz um teste: Especificar a hipótese nula Dentro da hipótese feita, determina-se a lei seguida por um determinado parâmetro θ e o seu valor em especificações de projecto Considera-se um determinado nível de significância α, geralmente pequeno, e define-se um determinado intervalo de não rejeição ou região crítica, para a variação do parâmetro. O intervalo de não rejeição pode ser bilateral ou unilateral TESTE UNILATERAL À DIREITA TESTE BILATERAL α α/2 1-α α/2 1-α Intervalo ou região de Não rejeição Intervalo ou região de Não rejeição Região de rejeição Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre

11 GESTÃO E GARANTIA DA QUALIDADE
Planeamento e Controlo da Qualidade TESTES DE HIPÓTESES Retira-se, aleatoriamente, uma amostra e determina-se o Valor da Estimativa do Parâmetro: se o valor estimado está dentro do intervalo de não rejeição não há evidência para se rejeitar a hipótese nula para um nível de confiança de 100(1-α)% se o valor não está dentro do intervalo, rejeita-se a hipótese nula para o nível de significância α e aceita-se a hipótese alternativa Há dois tipos de erros que se podem cometer quando se faz um teste estatístico: o erro do tipo I que consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira ou o erro do tipo II que consiste em não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. As probabilidades de ocorrência destes dois tipos de erro são designadas por: α = P {Erro do Tipo I} = P {Rejeitar H0/ H0 é verdadeira} β = P {Erro do Tipo I} = P {Não Rejeitar H0/ H0 é falsa} A potência do teste (probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa) é dada por (1- β). Em Controlo da Qualidade α é designado por Risco do Produtor (por exemplo, a probabilidade de um lote de peças boas ser rejeitado) e β por Risco do Consumidor (probabilidade do consumidor adquirir um lote mau). São seguidamente apresentados alguns testes de hipóteses habitualmente usados em aplicações de Controlo da Qualidade. Curso de Engenharia Industrial e da Qualidade – 5º ano 1º semestre