INTRODUÇÃO AO CÁLCULO CONJUNTOS NUMERICOS.

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1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO CONJUNTOS NUMERICOS

2 CONJUNTOS Em matemática, o conceito de conjunto é considerado primitivo e não se dá uma definição deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se logicamente como um termo não definido.

3 Um conjunto se pode entender como uma coleção ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto são chamados membros ou elementos do conjunto. Exemplo: Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas

4 NOTAÇÃO Todo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maiúsculas A, B, C, ..., seus elementos se separam mediante ponto e vírgula. Exemplo: O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim: L = {a; b; c; ...; x; y; z}

5 Na teoria de conjuntos não precisa repetir os elementos, por exemplo:
O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }. Ao número de elementos que tem um conjunto Q chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se representa por n(Q). Exemplo: A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) = B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) = 5 3 ÍNDICE

6 RELAÇÃO DE PERTENÊNCIA
Para indicar que um elemento pertence a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertence a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10} ... se lê 2 pertence ao conjunto M ... se lê 5 não pertence ao conjunto M

7 DETERMINAÇÃO DE CONJUNTOS
Há duas formas de determinar um conjunto, por Extensão e por Entendimento. I) POR EXTENSÃO É aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto. Exemplos: O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20. A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }

8 B = {-9; -7; -5; -3; -1 } II) POR ENTENDIMENTO
B) O conjunto de números negativos ímpares maiores que -10. B = {-9; -7; -5; -3; -1 } II) POR ENTENDIMENTO É aquela forma mediante a qual se dá uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto. Exemplo: P = {os números dígitos } Se pode entender que o conjunto P está formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

9 Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito } se lê “P é o conjunto formado pelos elementos x tal que x é um dígito”. Exemplo: Expressar por extensão e por entendimento o conjunto de dias da semana. Por Extensão: D = {segunda; terça; quarta; quinta; sexta; sábado; domingo } Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana }

10 DIAGRAMAS DE VENN Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn ( ) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada. T M A 7 6 (2;4) (5;8) 8 o 4 e a (7;6) 5 i (1;3) 1 u 3 9 2 ÍNDICE

11 CONJUNTOS ESPECIAIS CONJUNTO VAZIO
É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { } A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “ Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } P = { x / }

12 É o conjunto que tem um só elemento.
CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um só elemento. Exemplos: F = { x / 2x + 6 = 0 } ; G = CONJUNTO FINITO É o conjunto com limitado número de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x2 = 4 }

13 S = { x / x é um número par } ; CONJUNTO INFINITO Exemplos:
É o conjunto com ilimitado número de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 } ; S = { x / x é um número par } CONJUNTO UNIVERSAL É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U Exemplo: O universo ou conjunto universal de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS.

14 RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
INCLUSÃO Um conjunto A está incluso em outro conjunto B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B. NOTAÇÃO : Se lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA : B A

15 PROPRIEDADES: I) Todo conjunto está incluido em si mesmo. II) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. III) A está incluido em B ( ) equivale a dizer que B contém A ( ) IV) Se A não está incluido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( ) V) Simbolicamente:

16 CONJUNTOS COMPARÁVEIS
Um conjunto A é COMPARÁVEL com outro conjunto B se entre esses conjuntos existe uma relação de inclusão. A é comparável com B se A U B = B U A Exemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } e B = { 2; 4 } A Observe que B está incluso em A, portanto, A e B são COMPARÁVEIS 1 5 4 3 2 B

17 IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos. Exemplo: A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 } Resolvendo a equacão de cada conjunto se obtém em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B Simbolicamente :

18    CONJUNTOS DISTINTOS
Dois conjuntos são distintos quando não têm elementos comuns. REPRESENTACÃO GRÁFICA : Como podemos observar os conjuntos A e B não têm elementos comuns, portanto são CONJUNTOS DISTINTOS  B A 7 9 4  6 5 3 2 1 8 

19 CONJUNTO DE CONJUNTOS É um conjunto cujos elementos são conjuntos.
Exemplo: F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} } Observe que os elementos do conjunto F também são conjuntos. {a} é um elemento do conjunto F então {a} F É correto dizer que {b} F ? NÃO Porque {b} é um elemento do conjunto F, o correto é {b} F

20 CONJUNTO POTÊNCIA O conjunto potência de um conjunto A denotado por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Exemplo: Seja A = { m; n; p } Os subconjuntos de A são: {m}, {n}, {p}, {m;n}, {m;p}, {n;p}, {m;n;p}, Φ Então o conjunto potência de A é: P(A) = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; Φ } QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTÊNCIA DE A ?

21 Observe que o conjunto A tem 3 elementos e seu conjunto potencia ou seja P(A) tem 8 elementos.
PROPRIEDADE: Dado um conjunto A cujo número de elementos é n, então o número de elementos de seu conjunto potência é 2n. Exemplo: Dado o conjunto B ={ x / x é um número par e 5 < x < 15 }. Determinar o cardinal de P(B).

22 CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5; ....}
Números Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;....} Números Racionais (Q) Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2; ....} Números Irracionais ( I ) I = {...; ;....} Números Reais ( R ) R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3; ....} Números Complexos ( C ) C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3; ....}

23 CONJUNTOS NUMÉRICOS C R Q I Z N

24 CONJUNTOS NUMÉRICOS EXEMPLOS:
Expressar por extensão os seguintes conjuntos: A ) B ) C ) D ) E )

25 UNIÃO DE CONJUNTOS A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 Exemplo:
O conjunto “A unão B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos. Exemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

26 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA UNÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis U U B A B A AUB AUB U A B Se A e B são conjuntos disjuntos

27 PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS
1. A U A = A 2. A U B = B U A 3. A U Φ = A 4. A U U = U 5. (AUB)UC = AU(BUC) 6. Se A U B = Φ  A = Φ e B = Φ

28 INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
O conjunto “A intersecção B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B. Exemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

29 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis U U B A B A A  B A  B = B U A B Se A e B são conjuntos disjuntos A  B = Φ

30 PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
1. A  A = A 2. A  B = B  A 3. A  Φ = Φ 4. A  U = A 5. (A  B)  C =A (B  C) 6. A U (B  C) =(A U B)  (A U C) A  (B U C) =(A  B) U (A  C)

31 DIFERENÇA DE CONJUNTOS
O conjunto “A menos B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Exemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

32 A - B = B - A ? O conjunto “B menos A” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Exemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

33 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis U U B A B A A - B A - B U A B Se A e B são conjuntos disjuntos A – B = A

34 DIFERENÇA SIMÉTRICA A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 Exemplo:
O conjunto “A diferença simétrica B ” que se representa é el conjunto formado por todos os elementos que pertencem a (A - B) ou (B - A). Exemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4

35 Também é correto afirmar que:
A - B B - A A B

36 COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
Dado um conjunto universo U e um conjunto A, se chama complemento de A ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A. Notacão: A’ ou AC Simbolicamente: A’ = U - A Exemplo: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} e A = {1; 3; 5; 7; 9}

37 U A A 8 2 3 1 7 A’ = {2; 4; 6; 8} 5 9 6 4 PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO 1. (A’)’ = A 4. U’ = Φ 2. A U A’ = U 5. Φ’ = U 3. A  A’ = Φ

38 PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 PROBLEMA 4 PROBLEMA 5 FIM

39 SOLUÇÃO Dados os conjuntos: A = { 1; 4; 7; 10; ... ; 34}
B = { 2; 4; 6; ...; 26} C = { 3; 7; 11; 15; ...; 31} a) Expressar B e C por entendimento b) Calcular: n(B) + n(A) c) Achar: A  B , C – A 1 SOLUÇÃO

40 Primeiro analisemos cada conjunto Os elementos de A são:
... A = { 1+3n / nZ / 0  n  11} n(A) = 12 Os elementos de B são: ... B = { 2n / nZ / 1  n  13} n(B) = 13

41 a) Expressar B e C por entendimento
Os elementos de C são: ... C = { 3 + 4n / nZ / 0  n  7 } n(C) = 8 a) Expressar B e C por entendimento B = { 2n / nZ / 1  n  18} C = { 3+4n / nZ / 0  n  7 } b) Calcular: n(B) + n(A) n(B) + n(A) = = 25

42 c) Achar: A  B , C – A A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}
Sabemos que A  B é formado pelos elementos comuns de A e B, então: A  B = { 4; 10; 16; 22 } Sabemos que C - A é formado pelos elementos de C que não pertencem a A, então: C – A = { 3; 11; 15; 23; 27 }

43 Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 } Determinar se é verdadeiro ou falso: a) Φ  G b) {3}  G c) {{7}; 10}  G d) {{3}; 1}  G e) {1; 5; 11}  G 2

44 Observe que os elementos de A são:
1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11 Então: é VERDADEIRO porque Φ está incluso em todos os conjuntos a) Φ  G .... b) {3}  G ... é VERDADEIRO porque {3} é um elemento de G c) {{7}; 10}  G ... é FALSO porque {{7};10} não é elemento de G d) {{3}; 1}  G ... é FALSO e) {1; 5; 11}  G ... e VERDADERO

45 3 Dados os conjuntos: P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }
M = { x/4N / -4 < x < 21 } T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 } a) Calcular: M - ( T – P ) b) Calcular: Pot(M – T ) c) Calcular: (M U T) – P

46    Analisemos cada conjunto: P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }
– 1 + 3 x x + 3 = 0  x = -3 Observe que xZ , então: (2x-1)(x+3)=0 P = { -3 } M = { x/4N / -4 < x < 21 } Como x/4  N então os valores de x são: 4; 8; 12; 16; 20 porém os elementos de M se obtêm dividindo x entre 4, portanto : M = {1; 2; 3; 4; 5 }

47 T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 } Igualamos cada fator a zero e calculamos os valores de x x – 4 = 0  x = 4 x2 – 9 = 0  x2 = 9  x = 3 ou x = -3 Portanto: T = { -3; 3; 4 } a) Calcular: M - ( T – P ) T – P = { -3; 3; 4 } - { -3 }  T – P = {3; 4 } M - (T – P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 } M - (T – P)= {1; 2; 5 }

48 b) Calcular: Pot( M – T ) M – T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 } M – T = {1; 2; 5 } Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5}; {1;2}; {1;5}; {2;5}; {1;2;5}; Φ } c) Calcular: (M U T) – P M U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U { -3; 3; 4 } M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 } (M U T) – P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 } (M U T) – P = {1; 2; 3; 4; 5 }

49 Expressar a região sombreada em termos de operações entre os conjuntos A, B e C.
4 A B C A B C SOLUÇÃO

50 A B B A [(AB) – C] A C C B B [(BC) – A] A C [(AC) – B] C U U

51 = B Observe como se obtém a região sombreada A C A B C
Toda a zona de amarelo é AUB A zona de verde é AB Então, restando se obtém a zona que se vê na figura: (AUB) - (AB) Finalmente, lhe agregamos C e se obtém: = [ (AUB) - (AB) ] U C ( A  B ) U C

52 Segundo as preferências de 420 pessoas que assistem os canais A, B ou C se observa que 180 assistem o canal A, e 240 assistem o canal B e 150 não assistem o canal C, os que assistem pelo menos 2 canais são 230. Quantos assistem os três canais? 5

53 O universo é: 420 Assistem A: 180 Assistem B: 240 Não assistem C: 150
Então, se assistem o canal C: 420 – 150 = 270 B (I) a + e + d + x = 180 A (II) b + e + f + x = 240 e a b (III) d + c + f + x = 270 x Fato: Assistem por lo menos dos canales 230, entonces: (IV) d + e + f + x = 230 d f c C

54    Sabemos que: a + b + c + d + e + f + x = 420 230
então: a + b + c = 190 Somamos as equações (I), (II) e (III) (I) a + e + d + x = 180 (II) b + e + f + x = 240 (III) d + c + f + x = 270 a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690   190 230 x =690  x = 40 Isto significa que 40 pessoas assistem os tres canais