Complexidade de Algoritmos

Apresentação em tema: "Complexidade de Algoritmos"— Transcrição da apresentação:

1 Complexidade de Algoritmos
DAS 5102 – Fundamentos da Estrutura da Informação Prof. Dr. rer. nat. Daniel D. Abdala

2 Objetivos Introduzir o conceito de análise de algoritmos;
Introduzir o conceito de complexidade assintótica; Explicar via exemplos como medir a complexidade de algoritmos; Explicar o conceito de complexidade média de melhor e de pior caso.

3 Plano de Aula Algoritmos Análise de Algoritmos Conceitos Básicos
Complexidade no Tempo e no Espaço Notação Assintótica

4 Conceitos Básicos – Algoritmos
Algoritmo – Ferramenta para resolução de problemas. Problemas são descritos via: Uma descrição de todos os seus parâmetros de entrada (INPUT) Um enunciado sobre que propriedades a solução deve satisfazer

5 Conceitos Básicos – Algoritmos
Exemplo : Problema de Ordenação Entrada : Seqüência L (a1, ..., aN) Saída : L’ (a1’, ..., aN’) que é uma permutação da entrada tal que a1’≤ a2’ ≤ ... ≤ aN’ Um Algoritmo é dito CORRETO se para todas as possíveis entradas ele termina com a respos- ta correta.

6 Algoritmos Eficiente - Motivação
Dois computadores PC (106 instr/s) SC (108 instr/s) Dois algoritmos de ordenação Alg1 – TAlg1 = 2N2 Alg2 – TAlg2 = 50NlogN Problema : Ordenar 106 números SC – PC –

7 Análise de Algoritmos Análise de algoritmos é uma disciplina da computa- ção que se preocupa em medir e analisar os recur- sos necessários por algoritmos para levar a termo sua execução.

8 Complexidade no Tempo e no Espaço (N)
Espacial – mede a quantidade de memória que o algoritmo requer para sua execução Temporal – mede o tempo, dada uma entrada de dados, que o algoritmo requer para produzir uma resposta (mais usado) As medidas de análise utilizadas devem conter as seguintes características: Ser independentes da tecnologia empregada (hardware e software); Modelo matemático simplificado que representa os fatores mais relevantes;

9 Complexidade no Tempo e no Espaço (N)
Temporal – função que relaciona o tamanho da entrada com o tempo de execução: t = f(N) Espacial – função que relaciona o tamanho da entrada com o espaço de armazenamento requerido: e = g(N)

10 Exemplo: Ordenação de Inteiros

11 Exemplo: Ordenação de Inteiros

12 Exemplo: Ordenação de Inteiros

13 Exemplo: Ordenação de Inteiros

14 Considerações Sempre que criamos um algoritmo, existem três perguntas que devem ser formuladas: O algoritmo é correto? Quanto tempo ele leva em função da entrada N? O problema pode ser resolvido de uma maneira melhor?

15 Notação Assintótica Também conhecida com notação O Definição:
(diz-se big O) Definição: Considere uma função f(n) não negativa para todos n>=0. Diz-se que f(n) é O(g(n)) e escrevemos f(n) = O(g(n)), se existem um inteiro n0 e uma cons- tante c>0, tais que para todo inteiro m>=n0, f(n) < c g(n). Em resumo: Podemos ignorar as constantes!

16 Classes de Complexidade
Designação Função Constante c Logarítmica log N Logarítmica quadrática log2N Linear N N log N Quadrática N2 Cúbica N3 Exponencial 2N

17 Exemplo: Tempo de execução
Considere a seguinte situação. O problema apresentado a seguir foi resolvido de cinco maneiras diferentes, resultando em cinco algoritmos (A1 ... A5). Tais algoritmos foram implementados utilizando diferentes níveis de complexidade computacional. Supondo que uma operação leva 1ms para ser executado, e dado Tk(n) sendo a complexidade, ou seja, o número de operações que o algoritmo efetua para N entradas. Quais serão os tempos de execução de cada um destes algoritmos?

18 Exemplo: Tempo de execução
N A1 T1(n) = n A2 T2(n) = n log n A3 T3(n)=n2 A4 T4(n)= n3 A5 T(n)=2n 1 0.001s 0.016 0.064s 0.256s 4s 16 0.016s 1m4s 32 0.032s 0.16s 1.0s 33s 46 dias 512 0.512s 9.0s 4m22s 1dia13h 10137 séculos Tempo de execução em função do tamanho da entrada

19 Exemplo Entrada : número N
Saída : número r representando a soma dos N primeiros inteiros.

20 Exemplo: Fibonacci A série tem a seguinte forma:
A função F(N) é definida por: Implementação recursiva (exponencial):

21 Exemplo: Fibonacci (1) sim! Ele é a implementação direta da definição
O algoritmo é correto? Quanto tempo ele leva em função da entrada N? O problema pode ser resolvido de uma maneira melhor? (1) sim! Ele é a implementação direta da definição (2) T(n) – número de passos computacionais Para n ≤ 2 Para n > 2 Note que

22 Exemplo: Fibonacci Quão demorada é a execução do algoritmo?
Fn ≈ 20,694n F200 –> T(200) ≥ F200 ≥2138 passos computacionais SC –> passos computacionais / segundo SC = 292 segundos (3) Existe uma maneira de se calcular números da série de Fibonacci de maneira mais eficiente? Lab!

23 Exemplo: Fibonacci Chamadas recursivas de fib1(n)

24 Pontos Chave Algoritmos são maneiras factíveis para solução de problemas numéricos, no entanto eles precisam ser analisados de modo a garantir sua eficácia; Análise de Algoritmos é uma disciplina que define uma maneira sistemática de avaliação de algoritimos; Complexidade no Tempo e no Espaço definem formas de estimarmos quanto tempo um programa demora para se executar em função de sua entrada assim como quanto espaço em disco ele requer; Notação Assintótica ou notação BigO é uma forma de indicar a tendência de crescimento do tempo de execução de algoritmos.

25 Para o Lar Última chance para entregar o exercício de nivelamento é dia 08/09 (prova 1)!; Ler o capítulo 0 (prólogo) do livro “Algorithms” (Dasgupta) para a prova; Procure na internet uma forma mais eficiente de calcular números fatoriais; Procure na internet uma forma mais eficiente de ordenação de números que a vista na aula.

26 Bibliografia S. Dasgupta, C. H. Papadimitriou, U. V. Vazirani. Algorithms, Chap. 0; R. Sedgewick, Addison-Wesley. Algorithms in C, Parts 1- 4: Fundamentals, Data Structures, Sorting, Searching, 3rd edition, 1997.