Algoritmos e Estrutura de Dados III

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1 Algoritmos e Estrutura de Dados III
Árvore AVL

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Contextualização As ABP estudadas têm uma séria desvantagem que pode afetar o tempo necessário para recuperar um item armazenado. A desvantagem é que o desempenho da ABP depende da ordem em que os elementos são inseridos. 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 6, 2, 5, 1, 7, 3 URI - DECC - Ciência da Computação

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Árvores AVL Nome com origem em seus inventores: Georgii Adelson-Velsky e Yevgeniy Landis; Publicaram um documento chamado: "Algoritmos para organização da informação“, em 1962; Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se: Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade. Para cada inserção ou exclusão no pior caso é de O(log n). URI - DECC - Ciência da Computação

4 Como reconhecer uma árvore desbalanceada?
Como saber se a árvore está desbalanceada ? Verificando se existe algum nodo “desregulado”. Como saber se um nodo está desregulado ? Subtraindo-se as alturas das suas sub-árvores. Fator de Balanceamento Por questões de eficiência, estas diferenças são pré-calculadas e armazenadas nos nós correspondentes, sendo atualizadas durante as operações. URI - DECC - Ciência da Computação

5 Fator de Balanceamento
Fator de Balanceamento de um nó: dado pelo seu peso em relação a sua sub-árvore fb = altura árvore direita – altura árvore esquerda O fator de balanceamento de uma folha é sempre 0 Um nó com fator balanceado pode conter 1, 0, ou -1 em seu fator; Fatbal = -1, quando a sub-árvore da esquerda é um nível mais alto que a direita. Fatbal = 0, quando as duas sub-árvores tem a mesma altura. Fatbal = 1, quando a sub-árvore da direita é um nível mais alto que a esquerda. Um nó com fator de balanceamento -2 ou 2 é considerada um árvore não-AVL requer um balanceamento por rotação ou dupla-rotação. URI - DECC - Ciência da Computação

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Propriedade da AVL Procurar manter todas as folhas mais ou menos na mesma altura de forma a respeitar o FB < 2 Ou seja, Para todo nó | altura(dir) - altura(esq) | < 2 URI - DECC - Ciência da Computação

7 Relembrando as definições...
Altura de uma árvore (também denominada profundidade) é a distância entre x e o seu descendente mais afastado. Mais precisamente, a altura de x é o número de passos do mais longo caminho que leva de x até uma folha somando um. Por definição a altura de uma árvore vazia é -1 E / \ D I / / \ B G K / \ / \ / A C F H J Altura dessa árvore é 3 Altura de I é 2 Altura de K é 1 Altura de J é 0 URI - DECC - Ciência da Computação

8 Exemplos de cálculos de FB
Inserção: 4, 2, 3, 6, 5, 1 e 7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 Inserção: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 -1 Inserção: 4, 1, 3, 6, 5, 2 e 7 +2 -1 URI - DECC - Ciência da Computação

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Operação: Inserção Inserção: 4, 6, 1, 7, 5, 3 e 2. -1 3 +2 Op. de balanceamento -1 2 1 1 Altura Fb URI - DECC - Ciência da Computação

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Operação: Remoção +1 Inserção: 4, 6, 2 e 7. +2 Op. de balanceamento Remover nó 2 +1 2 1 Altura Fb URI - DECC - Ciência da Computação

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Operações Adição e exclusão requerem que a árvore esteja balanceada, se a árvore não estiver balanceada é necessário seu balanceamento através da rotação ou dupla-rotação. URI - DECC - Ciência da Computação

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Rotação A operação básica em uma árvore AVL geralmente envolve os mesmos algoritmos de uma árvore de busca binária desbalanceada. A rotação na árvore AVL ocorre devido ao seu desbalanceamento uma rotação simples ocorre quando um nó está desbalanceado e seu filho estiver no mesmo sentido da inclinação. Uma rotação-dupla ocorre quando um nó estiver desbalanceado e seu filho estiver inclinado no sentido inverso ao pai URI - DECC - Ciência da Computação

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Tipos de Rotações Rotação Simples: Rotação a Esquerda Rotação a Direita Rotação Dupla: URI - DECC - Ciência da Computação

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Dicas a) Para identificar quando uma rotação é simples ou dupla deve-se observar os sinais dos FBs do nodo desbalanceado e do filho que gerou o desbalanceamento: • Sinal for igual, a rotação é simples • Sinal for diferente a rotação é dupla b) Se Fb for positivo (+) a rotação para à esquerda c) Se Fb for negativa (-) a rotação para à direita URI - DECC - Ciência da Computação

15 Rotação Simples à Direita
Inserção à esquerda de árvore desbalanceada à esquerda (bal = -1) Promover o elemento do meio através de um giro no sentido horário. URI - DECC - Ciência da Computação

16 Rotação Simples à Esquerda
Inserção à direita de árvore desbalanceada à direita (bal = +1) Promover o elemento do meio através de um giro no sentido anti-horário. URI - DECC - Ciência da Computação

17 Exemplo de Rotação Simples
Suponha que nós queiramos inserir o nó 3 na árvore inicial abaixo -1 -1 +1 -2 +1 Rotação a direita (nó 8) A inserção do nó 3 produziu um desbalanço no nó 8 verificado pelo FB = -2 neste nó. Neste caso, como os sinais dos FB são os mesmos (nó 8 com FB = -2 e nó 4 com FB = -1) significa que precisamos fazer apenas uma ROTAÇÃO SIMPLES. URI - DECC - Ciência da Computação

18 Rotação Dupla à Esquerda
- Inserção do elemento 20 (rotação simples à direita + rotação simples à esquerda) (rotação simples à direita + rotação simples à esquerda) URI - DECC - Ciência da Computação

19 Rotação Dupla à Direita
- Inserção do elemento 20 (rotação simples à direita + rotação simples à esquerda) (rotação simples à esquerda + rotação simples à direita) URI - DECC - Ciência da Computação

20 Exemplo de Rotação Dupla (1/2)
Suponha que queiramos inserir o nó 5 na árvore abaixo -1 -1 +1 -2 (a) -2 Observe que o nó 8 tem FB = -2 e tem um filho com FB = +1 (sinais opostos). Neste caso, o balanceamento é alcançado com duas rotações. Primeiro: (a) rotação simples sobre o nó 4 (com FB = +1) para a esquerda. URI - DECC - Ciência da Computação

21 Exemplo de Rotação Dupla (2/2)
-2 (b) +1 Logo após da rotação a esquerda: (b) rotaciona-se o nó 8 (FB = -2) na direção oposta (direita neste caso). URI - DECC - Ciência da Computação

22 Caso I: Rotação Simples
Suponha que inserimos os números 50, 40 e 30 em uma árvore. Obteremos então: A inserção novamente produziu um desbalanceamento. • Neste caso, como os sinais dos FB são os mesmos, significa que precisamos fazer apenas uma ROTAÇÃO SIMPLES à direita no nodo com FB -2. • No caso simétrico (nodo com FB 2) faríamos uma rotação simples à esquerda. URI - DECC - Ciência da Computação

23 Caso I: Rotação Simples
Após a rotação simples teremos: A árvore está balanceada dentro das propriedades de AVL. URI - DECC - Ciência da Computação

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Exemplo: Considerando a árvore abaixo: A árvore está balanceada, como podemos observar pelos Fb de cada nodo. São dois os possíveis casos de desbalancemento URI - DECC - Ciência da Computação

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Caso II: Rotação Dupla Ao inserir o número 5 na árvore teremos a seguinte árvore: O nodo 8 fica com o FB -2 e tem um filho com FB +1. Neste caso para manter o balanceamento devemos aplicar duas rotações, também denominada ROTAÇÃO DUPLA. Primeiro rotaciona-se o nodo com FB 1 para a esquerda. URI - DECC - Ciência da Computação

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Caso II: Rotação Dupla Logo rotaciona-se o nodo que possuía FB -2 na direção oposta, nesse caso a direita. URI - DECC - Ciência da Computação

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Caso II: Rotação Dupla • Os FB dos nodos voltaram a ficar dentro do esperado das árvores AVL. • O caso simétrico ao explicado acima acontece com os sinais de FB trocados, ou seja, um nodo com FB +2 com um filho com FB -1. Também utilizariamos uma rotação dupla, mas nos sentidos contrários, ou seja, o nodo com FB -1 seria rotacionado para a direita e o nodo com FB +2 seria rotacionado para a esquerda. URI - DECC - Ciência da Computação

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A descrição do algoritmo em pseudo-código para a construção de uma árvore AVL seria: Inserir o novo nodo normalmente Iniciando com o nodo pai do nodo recém-inserido, testar se a propriedade AVL é violada no novo nodo. Temos aqui 2 possibilidades: A condição AVL foi violada Execute as operações de rotação conforme for o caso (Caso I ou Caso II). Volte ao passo de Inserção. A condição AVL não foi violada. Se o nodo recém-testado não tem pai, ou seja, é o nodo raiz da árvore, volte para inserir novo nodo. URI - DECC - Ciência da Computação