Uma Apresentação do Sistema GAP – Laboratório II

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1 Uma Apresentação do Sistema GAP – Laboratório II
Professores: Osnel Broche Cristo e Anliy Sargeant Monitor: Junior Assis Barreto Bernardes

2 Listas: Revisão gap> L : [6,8,9];; # Elementos entre colchetes e separados por vírgula. gap> Append(L, [2]);; # Concatena a segunda lista passada no final da primeira. gap> Add(L, true); # Adiciona o elemento no final da lista. gap> L[3]; # Acesso a determinada posição da lista. 9

3 Listas: Revisão gap> List([1,2,3], x -> x^3); [1,8,27]
gap> Length(L); # Retorna a quantidade de elementos da lista. 5 gap> Position(L, 8); # Retorna a posição que o elemento passado ocupa na lista. 2

4 Conjuntos Os conjuntos são definidos no GAP como listas densas (sem buracos) e sem repetições, cujos elementos obedecem uma certa ordem que, no caso dos números inteiros, deve ser crescente. gap> IsSet([1,2,3,4]); true gap> IsSet([1,,2,,3,4]); false

5 Conjuntos gap> IsSet([3,2,1]); false gap> IsSet([1,2,2,3]);
gap> AsSet([1,,3,2,,]); [1,2,3] gap> IsSet([“a”, “b”, “c”]); true gap> IsSet([“c”, “b”, “a”]);

6 Conjuntos Conjuntos Heterogêneos:
gap> IsSet(["a",4,true,3,0,false,8/9,"b",-6]); false gap> AsSet(["a",4,true,3,0,false,8/9,"b",-6]); [ -6, 0, 8/9, 3, 4, true, false, "a", "b" ]

7 Conjuntos Existem funções para adicionar e remover elementos obedecendo as restrições dos conjuntos: gap> S := [2,3,7,11];; gap> AddSet( S, 5 ); gap> S; [ 2, 3, 5, 7, 11 ] gap> RemoveSet(S,7); [ 2, 3, 5, 11 ]

8 Álgebra dos Conjuntos As operações União, Interseção e Diferença já estão definidas no sistema. gap> B := [1,2,3];; gap> A := [1,5,6];; gap> Union (A,B); [1, 2, 3, 5, 6] gap> Intersection (A,B); [1] gap> Difference(A,B); [5, 6] gap> Difference(B,A); [2, 3]

9 Álgebra dos Conjuntos Quando as listas passadas não estão nas condições necessárias para representarem conjuntos, o próprio sistema faz uma conversão interna para executar as operações: gap> C := [1,2,,,3,3,,2];; gap> D := [,1,,1,,,5,6,5,6];; gap> Union(D,C); [1, 2, 3, 5, 6] gap> Intersection(D,C); [1] gap> Difference(D,C); [5, 6] gap> Difference(C,D); [2, 3]

10 Álgebra dos Conjuntos gap> P := [-7, 1, true, "b", "o"];
gap> Q := [0, false, true, "o"]; [ 0, false, true, "o" ] gap> Union(P,Q); [ -7, 0, 1, true, false, "b", "o" ] gap> Intersection(P,Q); [ true, "o" ] gap> Difference(P,Q); [ -7, 1, "b" ] gap> Difference(Q,P); [ 0, false ]

11 Relações entre Conjuntos
Igualdade gap> [1,2,3] = [3,2,1]; false gap> IsEqualSet([1,2,3],[3,2,1]); true gap> IsEqualSet([1,2,3],[1,2,2,3]); gap> IsEqualSet([1,2,3],[1,2,3,4]); gap> IsEqualSet(["a",true,8],[8,true,"a"]); Gap> IsEqualSet([1,2,,3],[1,2,3]);

12 Relações entre Conjuntos
Subconjunto gap> IsSubset(Rationals,Integers); #Obs: A ordem é se o segundo é subconjunto do primeiro. true gap> IsSubset([1,2,3,4], [2,3,5]); false gap> IsSubset([1,2,3],[2,1]); gap> IsSubset([1,2,,2,3,4,,,5,],[2,1]); gap> IsSubset([1,2,,2,3,4,,,5,],[2,1,2,,5]);

13 Relação Especial Pertinência (Entre elemento e conjunto)
gap> 3 in Integers; true gap> 2/8 in Integers; false gap> 1 in [1,2,3]; gap> [1] in [1,2,3]; gap> [1] in [[1],[2],[3]]; gap> 1 in [[1],[2],[3]];

14 Relações Uma relação binária em A é definida como um subconjunto do produto cartesiano de A com A: gap> A := [1,2,3]; gap> Cartesian(A,A); [ [ 1, 1 ], [ 1, 2 ], [ 1, 3 ], [ 2, 1 ], [ 2, 2 ], [ 2, 3 ], [ 3, 1 ], [ 3, 2 ], [ 3, 3 ] ] gap> IsBinaryRelation([[1,1],[2,2],[3,3]]); Error, no method found! For debugging hints type ?Recovery from NoMethodFound Error, no 1st choice method found for `IsEndoGeneralMapping' on 1 arguments called from <function>( <arguments> ) called from read-eval-loop Entering break read-eval-print loop ... you can 'quit;' to quit to outer loop, or you can 'return;' to continue

15 Relações A função IdentityBinaryRelation(n) gera a relação dada pelo diagonal do conjunto dos inteiros de 1 até n: gap> R1 := IdentityBinaryRelation(3); <equivalence relation on <object> gap> Source(R); #Conjunto gap> <object> gap> List(Source(R)); [1 ,2 ,3] gap> List(UnderlyingRelation(R)); #Elementos [ Tuple( [ 1, 1 ] ), Tuple( [ 2, 2 ] ), Tuple( [ 3, 3 ] ) ]

16 Relações gap> R2 := IdentityBinaryRelation(Integers);
A função IdentityBinaryRelation também pode ser aplicada a outros conjuntos: gap> R2 := IdentityBinaryRelation(Integers); IdentityMapping( Integers ) gap> Source(R2); Integers gap> List(Source(R2)); Error, resulting list would be too large (length infinity) called from …

17 Relações gap> R3 := EmptyBinaryRelation(4);
A função EmptyBinaryRelation(n) gera a relação vazia no conjunto dos inteiros de 1 até n: gap> R3 := EmptyBinaryRelation(4); Binary Relation on 4 points gap> List(Source(R3)); [ 1, 2, 3, 4 ] gap> List(UnderlyingRelation(R3)); [ ]

18 Relações A função EmptyBinaryRelation também pode ser aplicada a outros conjuntos: gap> R4 := EmptyBinaryRelation(Rationals); <general mapping: Rationals -> Rationals > gap> Source(R4); Rationals gap> List(Source(R4)); Error, resulting list would be too large (length infinity) called from gap> List(UnderlyingRelation(R4)); [ ]

19 Relações A função BinaryRelationByElements(A, R) gera a relação R do conjunto A: gap> A := [1,2,3];; gap>BinaryRelationByElements(A,[[1,1],[2,2],[3,3]]); Error, <S> and <R> must be domains called from GeneralMappingByElements( d, d, elms ) called from <function>( <arguments> ) called from read-eval-loop Entering break read-eval-print loop ... you can 'quit;' to quit to outer loop, or you can 'return;' to continue

20 Relações Como definir relações no sistema usando a função BinaryRelationByElements(A, R) ? Primeiramente deve-se definir o conjunto A , para o sistema o domínio A usando a função Domain: gap> A := Domain([1,2,3]);; 20

21 Relações 2) Depois define-se os elementos da relação R, isto é os pares de elementos relacionados por R, para o sistema as tuplas usando a função Tuple: gap>R := [Tuple([1,1]),Tuple([2,2]),Tuple([3,3])]; 3) Por fim, define-se a relação em si: gap> RR := BinaryRelationByElements (A, R);

22 Relações: Propriedades
gap> IsReflexiveBinaryRelation(R1); true gap> IsReflexiveBinaryRelation(R2); gap> IsReflexiveBinaryRelation(R3); false gap> IsReflexiveBinaryRelation(R4); gap> IsReflexiveBinaryRelation(RR);

23 Relações: Propriedades
gap> A := Domain(["a","b"]); <object> gap> R :=[Tuple(["a","b"])]; [ Tuple( [ a, b ] ) ] gap> R5 := BinaryRelationByElements(A,R); <general mapping: <object> -> <object> > gap> IsBinaryRelation(R5); true gap> IsReflexiveBinaryRelation(R5); false

24 Relações: Propriedades
gap> IsTransitiveBinaryRelation(R1) true gap> IsTransitiveBinaryRelation(R3) gap> IsTransitiveBinaryRelation(R4) gap> IsTransitiveBinaryRelation(RR) gap> IsTransitiveBinaryRelation(R5);

25 Relações: Propriedades
gap> IsSymmetricBinaryRelation(R1); true gap> IsSymmetricBinaryRelation(R2); gap> IsSymmetricBinaryRelation(R3); gap> IsSymmetricBinaryRelation(R4); gap> IsSymmetricBinaryRelation(RR); gap> IsSymmetricBinaryRelation(R5); false

26 Relações: Propriedades
gap> B := Domain(["a","b"]); <object> gap> R :=[Tuple(["a","b"]), Tuple(["b","a"])]; [ Tuple( [ a, b ] ), Tuple( [ b, a ] ) ] gap> R6 := BinaryRelationByElements(B,R); <general mapping: <object> -> <object> > gap> IsBinaryRelation(R6); true gap> IsSymmetricBinaryRelation(R6);

27 Relações: Propriedades
gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R1); true gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R2); gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R3); gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R4); gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(RR); gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R6); false

28 Funções (Mappings) Função é um caso particular de relação. Assim, está definida analogamente no sistema: gap> S := Domain([1,2,3]); <object> gap> R := Domain([1,2,3,4,5]); gap> elms := [Tuple([1,5]),Tuple([3,4])]; [ Tuple( [ 1, 5 ] ), Tuple( [ 3, 4 ] ) ] gap> F := GeneralMappingByElements(S,R,elms); <general mapping: <object> -> <object> >

29 Funções (Mappings) Outra maneira de definir:
gap> B := Domain([1,2,3]); gap> G := MappingByFunction(B,Integers,x->x^2); MappingByFunction( <object>, <object>, function( x ) ... end ) gap> UnderlyingRelation(G); <object> gap> List(last); [ Tuple( [ 1, 1 ] ), Tuple( [ 2, 4 ] ), Tuple( [ 3, 9 ] ) ]

30 Funções: Propriedades
gap> IsSurjective(F); false gap> IsSurjective(G); gap> IsInjective(G); true gap> IsInjective(F); gap> IsBijective(F); gap> IsBijective(G);

31 Funções: Propriedades
gap> F := Domain([-1,-2,-3]); <object> gap> H := MappingByFunction(Integers,F,x -> x^2); MappingByFunction( <object>, <object>, function( x ) ... end ) gap> IsInjective(last); false gap> IsBijective(H);

32 Funções: Propriedade gap> A := Domain(["a","b","c"]);
<object> gap> B := Domain(["a","b","c"]); gap> R :=[Tuple(["a","b"]), Tuple(["b","a"]), Tuple(["c","c"])]; [ Tuple( [ a, b ] ), Tuple( [ b, a ] ), Tuple( [ c, c ] ) ] gap> F2 := GeneralMappingByElements(A,B,R); <general mapping: <object> -> <object> >

33 Funções: Propriedades
gap> List(UnderlyingRelation(F2)); [ Tuple( [ a, b ] ), Tuple( [ b, a ] ), Tuple( [ c, c ] ) ] gap> IsInjective(F2); true gap> IsSurjective(F2); gap> IsBijective(F2);

34 Funções (Programação)
gap> cubo := x -> x^3; function( x ) ... end gap> cubo(5); 125 function ([argumentos f, argumentos g]) local identicador local f, identicador local g; instruções; end;

35 Funções (Programação)
gap> fat := function(n) > local f,i; # Variaveis locais > f := 1; > for i in [1 .. n] do > f := f*i; > od; > return f; # Retorno da função. > end;

36 Funções (Programação)
gap> fatorial := function(n) > if n = 0 then > return 1; > else > return n*fatorial(n-1); #Chamada recursiva, também presente no GAP. > fi ; > end;