ÁLGEBRA MATRICIAL.

Apresentação em tema: "ÁLGEBRA MATRICIAL."— Transcrição da apresentação:

1 ÁLGEBRA MATRICIAL

2  Matriz é um agrupamento retangular de elementos, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1.  O tamanho (ou dimensão) de uma matriz corresponde ao número de linhas e colunas existentes na matriz, por esse motivo denominada matriz (lê-se m por n) ou matriz de ordem .  Dada a matriz A do tipo , denomina-se o elemento ao componente da matriz que ocupar a linha i e a coluna j, onde . Continua

3 Continuação  Uma matriz é representada da seguinte maneira:

4 é denominada matriz coluna.
 Seja a matriz . Se m = 1 e n > 1, a matriz Se m > 1 e n = 1, a matriz é chamada matriz linha. é denominada matriz coluna. Continua

5 é dita matriz quadrada de ordem m.
Continuação c) Se m = n, a matriz é dita matriz quadrada de ordem m. Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz , tais que i = j. Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz , tais que i + j = n + 1. Continua

6 Matriz nula é a matriz em que todos os seus elementos são nulos.
Continuação Matriz diagonal é uma matriz quadrada, onde aij = 0 para , isto é, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. Matriz nula é a matriz em que todos os seus elementos são nulos. Notação: . Matriz identidade é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais são todos nulos. Notação: In, onde n indica a ordem da matriz.

7 aij = bij para todo i = 1, ... , m e todo j = 1, ... , n.
 Duas matrizes são iguais quando aij = bij para todo i = 1, ... , m e todo j = 1, ... , n.

8 ou adição da matriz A com a matriz B, e indicada por A + B, a
 Dadas duas matrizes , denomina-se soma ou adição da matriz A com a matriz B, e indicada por A + B, a matriz , tal que Definição: Dada a matriz matriz B, tal que A + B = 0. Notação: B = –A. . , chama-se matriz oposta de A a Definição: Dadas duas matrizes , denomina-se diferença da matriz A com a matriz B, e indicada por A – B, a matriz soma de A com a oposta de B (A – B = A + (–B)).

9 Operações com Matrizes:
Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem. Dadas as matrizes , e , calcule:

10  O produto de um escalar (ou número real) k pela matriz
, cuja notação é , é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por k .

11 , denomina-se transposta de A a matriz
 Dada a matriz , denomina-se transposta de A a matriz , tal que . Para determinar a matriz transposta da matriz A, basta trocar suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. A notação utilizada é .

12 , chama-se produto de A por B a matriz , tal que: onde:
 Dadas duas matrizes , chama-se produto de A por B a matriz , tal que: onde:

13 Exemplo

14  Uma matriz quadrada A, de ordem n, se diz inversível se existir uma matriz B, tal que . A matriz B é dita inversa de A. Uma matriz não inversível é denominada singular. Notação: B = A–1

15 Matriz Inversa: Sendo , determine det A = 12 – 10 det A = 2
O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Sendo , determine det A = 12 – 10 det A = 2

16 Indicamos o determinante da matriz por:
 O determinante de uma matriz é um escalar obtido dos elementos da matriz, mediante operações específicas. Os determinantes são definidos somente para matrizes quadradas. Indicamos o determinante da matriz por:

17  O determinante da matriz
é dado por:

18 Ex:

19  O determinante da matriz
é dado por:

20 matrizes de 3a ordem. Continua
 A Regra de Sarrus é utilizada, unicamente, para determinantes de matrizes de 3a ordem.  Repetimos, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas dessa matriz.  Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as setas situadas na direção da diagonal principal: a11a22a33; a12a23a31;a13a21a32.  Os termos precedidos pelo sinal “–” são obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com as setas situadas na direção da diagonal secundária: –a13a22a31; –a11a23a32;–a12a21a33. Continua

21 Continuação  Observe o esquema a seguir:

22 Determinante de uma matriz de 3ª ordem
(Regra de Sarrus) Ex:

23 Menor Complementar (Dij)
É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento aij considerado. Ex. Sendo , calcule D12 det = det = 13 D12 = 13

24 Cofator Ex. Dada a matriz , calcule C21

25 Determinantes Propriedades

26 Casos em que um determinante é igual a ZERO:
Ex: 1) 2) • Quando todos os elementos de uma fila são nulos

27 • Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
Casos em que um determinante é igual a ZERO: 3) 4) • Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

28 Casos em que um determinante é igual a ZERO:
5) 6) • Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

29 Outras propriedades: Ex: 1) 2)

30 Outras propriedades: Ex: 1) 2) • O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal

31 Outras propriedades: Ex: 1) 2) • Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal

32 Outras propriedades: Ex: 1) 2) • Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no

33 Outras propriedades: Ex: 1) 2) onde n é a ordem de A

34 Outras propriedades: Ex:

35 Ex: • det(A-1)=1/detA

36 Teorema Fundamental de Laplace
O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ C ∙ C ∙ C ∙ C34 C33 = (-1)(3+3) ∙ D33 = 1 ∙ ( ) = 7 C33 = (-1)6 ∙ -20 -6 1 32

37 Teorema Fundamental de Laplace
O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ C ∙ C ∙ C ∙ C34 C34 = (-1)(3+4) ∙ D34 = - 1 ∙ ( ) = -17 C34 = (-1)7 ∙ -4 -10 16 15

38 Teorema Fundamental de Laplace
O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ C ∙ C ∙ C ∙ C34 D = 2 ∙ ∙ (-17) D = 14 – 17 D = - 3

39 Ex. Cálculo o determinante da matriz A.

40 Equações Lineares UM POUCO DA HISTÓRIA
Imagem disponibilizada por Andrejj/public domain Gottfried W. Leibniz Arthur Cayley Imagem disponibilizada por Scewing/public domain UM POUCO DA HISTÓRIA Documentos históricos comprovam que antigas civilizações orientais, como babilônica e a chinesa, já trabalhavam com equações lineares. Já o interesse dos matemáticos ocidentais pelo tema aprofundou-se apenas no século XVII, a partir de um artigo do alemão Gottfried W. Leibniz ( ), que estabeleceu condições para associar o sistema de equações lineares a um determinante. Em 1858, o matemático inglês Arthur Cayley ( ) notabilizou-se ao tratar de sistemas lineares representando, em forma de matrizes, os dados extraídos de sistemas de equações.

41 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES LINEARES
A aplicação de equações e sistemas lineares é fundamental na resolução de problemas que envolvem equações com muitas incógnitas. Problemas desse tipo se apresentam por exemplo, na distribuição de energia elétrica, no gerenciamento das linhas de telecomunicações e na logística para transporte de mercadorias em uma região.

42 Acompanhe a situação a seguir
Luísa foi ao caixa eletrônico sacar R$ 100,00 de sua conta. Se o caixa havia apenas notas de R$ 10,00, R$ 20,00, e R$ 50,00, de quantas maneiras ela pode ter efetuado o saque? Esse tipo de problema que pode ser expresso por meio de equação linear. Chamando de x o número de células de R$ 10,00, y o número de células de R$ 20,00 e z o número de células de R$ 50,00, podendo associar essa situação à equação 10x + 20y + 50z = 100. A equação 10x + 20y + 50z = 100 é chamada equação linear.

43 MATEMÁTICA Matrizes: Operações Equações Lineares
De maneira geral, se 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ,…, 𝑎 𝑛 , 𝑏 são constantes reais e 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ,…, 𝑥 𝑛 são variáveis reais, uma equação linear é do tipo. 𝑎 1 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑥 2 + 𝑎 3 𝑥 3 +…+ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 =𝑏 MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ,…, 𝑥 𝑛 nsão as incógnitas; 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ,…, 𝑎 𝑛 são os coeficientes; 𝑏 é o termo independente.

44 Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos.
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares x, y e z são as incógnitas; 4, 9 e 8 são os coeficientes; 40 é o termo independente;

45 MATEMÁTICA Matrizes: Operações Soluções de uma equação linear x = 1
Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40 x = 1 y = 4 z = 0 = 40 (Verdadeira) MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações x = 3 y = 2 z = 1 ≠ 40 (falsa)

46 MATEMÁTICA Matrizes: Operações Sistemas Lineares
Um sistema de 𝑚 equações lineares com 𝑛 incógnitas (𝑚,𝑛≥1) é conjunto de 𝑚 equações lineares, cada uma delas com 𝑛 incógnitas, consideradas simultaneamente. Um sistema linear se apresenta do seguinte modo 𝑆: 𝛼 11 𝑥 1 +…+ 𝛼 1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝛽 1 𝛼 21 𝑥 1 +…+ 𝛼 2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝛽 2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝛼 𝑚1 𝑥 1 +…+ 𝛼 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝛽 𝑚 . MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações Uma solução do sistema acima é uma 𝑛 - upla 𝑏 1 ,…, 𝑏 𝑛 de números reais que é solução de cada uma das equações do sistema. Se 𝛽 𝑖 =0,1≤𝑖≤𝑚, chamamos 𝑆 de homogêneo.

47 Forma Matricial 𝛼 11 𝛼 12 … 𝛼 1𝑛 𝛼 21 𝛼 22 … 𝛼 2𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛼 𝑚1 𝛼 22 … 𝛼 𝑚𝑛 · 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝛽 1 𝛽 2 ⋮ 𝛽 𝑚 𝐴 𝑋 𝐵

48 Regra de Cramer Se o sistema linear 𝐴𝑋=𝐵 é tal que 𝐴 é 𝑛×𝑛 é invertível, então a solução do sistema é dada por 𝑥 𝑗 = det( 𝐴 𝑗 det(𝐴 , 1≤𝑗≤𝑛, em que 𝐴 𝑗 é a matriz que se obtém de 𝐴 substituindo-se a sua 𝑗-ésima coluna por 𝐵.

49 Soluções de um sistema linear por Cramer
𝐴 1 Soluções de um sistema linear por Cramer 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −2 −2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = −4 −𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 A= 1 −3 1 −2 −3 −1 −1 2 −1 𝐴 −1 = 5 −1 6 −1 0 −1 −7 1 −9 𝐴 1 = −2 −3 1 −4 −3 −1 1 2 −1 𝐴 2 = 1 −2 1 −2 −4 −1 −1 1 −1 𝐴 3 = 1 −3 −2 −2 −3 −4 −1 2 1

50 Escalonamento Método de Eliminação de Gauss (Seção 4) A matriz Inversa e escalonamento (Seção 5)