1) Defina sequências numéricas.

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1 1) Defina sequências numéricas.
O diário do professor é composto pelos nomes de seus alunos. Esses nomes obedecem a uma ordem (são escritos em ordem alfabética), assim, essa lista de nomes (diário) é considerada uma sequência. Os dias do mês são dispostos no calendário obedecendo a certa ordem, que também é um tipo de sequência.

2 Esses e vários outros exemplos de sequência estão presentes em nosso cotidiano. Observando-os, podemos definir sequência como: Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem.

3 No estudo da matemática estudamos um tipo de sequência: a sequência numérica. Essa sequência que estudamos em matemática é composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem preestabelecida. Ao representarmos uma sequência numérica, devemos colocar seus elementos entre parênteses. Veja alguns exemplos de sequências numéricas:

4 • (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10.
• (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) é uma sequência de números pares positivos. • (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números naturais. • (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10. • (10, 15, 20, 30) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35.

5 Essas sequências são separadas em dois tipos:
• Sequência finita é uma sequência numérica na qual os elementos têm fim, como, por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35. • Sequência infinita é uma sequência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a sequência dos números naturais.

6 (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequência infinita.
Em uma sequência numérica qualquer, o primeiro termo é representado por a1, o segundo termo é a2, o terceiro a3 e assim por diante. Em uma sequência numérica desconhecida, o último elemento é representado por an. A letra n determina o número de elementos da sequência. (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequência infinita. (a1, a2, a3, a4, ... , an) sequência finita.

7 Portanto, a sequência será (11, 101, 1001, 10001, 100001).
Para obtermos os elementos de uma sequência é preciso ter uma lei de formação da sequência. Por exemplo: Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que an = 10n + 1, n N* a1 = = = 11 a2 = = = 101 a3 = = = 1001 a4 = = = 10001 a5 = = = Portanto, a sequência será (11, 101, 1001, 10001, ).

8 2) Defina o que é progressão aritmética
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.

9 (5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. a1 = 5 a2 = = 7 a3 = = 9 a4 = = 11 a5 = = 13 a6 = = 15 a7 = = 17

10 P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.
Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente. P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente. P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais. P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

11 Termo Geral de uma P.A Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que: a2 – a1 = r → a2 = a1 + r a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r … a n = a1 + (n – 1) . r

12 Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula: a n = a1 + (n – 1) . r Exemplo 1: Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3. an = a1 + (n – 1) . r a16 = (16 – 1) . 3 a16 = a16 = a16 = 35 O 16º termo de uma P.A é 35.

13 Soma dos termos de uma P.A finita
Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita. Sn = (a1 + an) . n 2

14 Exemplo 2: Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a 8 = 79. Retirando os dados: n = 8 Sn = 324 a 8 = 79 Sn = (a1 + an) . n 2 324 = (a1 + 79) . 8 = 8 a 648 = 8 a 16 = 8 a1 a1 = 2

15 Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
a n = a1 + (n – 1) . r 79 = 2 + (8 – 1) . r 79 = r 79 – 2 = 7r 77 = r 7 r = 11

16 3) Defina progressão geométrica
Progressão geométrica é uma seqüencia numérica que cresce ou decresce pelo produto por uma taxa constante. Nessa progressão, os seus termos a partir do segundo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada razão q.

17 Por exemplo: (1,2,4,8,16,32,64, ... ) essa seqüência é uma PG de razão igual a q = 2. (5,15,45,135,405, ... ) essa seqüência é uma PG de razão igual a q = 3. (2,1 ,1/2 ,1/4, 1/8, 1/16, ... ) essa seqüência é uma PG de razão igual a q = 1/2.

18 De uma maneira geral podemos definir uma progressão geométrica, assim:
Uma seqüência qualquer (a1,a2,a3, .... , an) será uma PG se, somente se, an = an – 1 . q com n > 1. E o cálculo da razão será realizado da seguinte forma: a2 = a3 = ... = an = ... = q a1 a an – 1

19 Dependendo dos termos que compor uma PG ela será classificada em:
Classificação da PG Dependendo dos termos que compor uma PG ela será classificada em: • PG crescente são aquelas que os valores dos termos vão crescendo. a 1 > 0 e q > 1, por exemplo: (1,2,4,8,16,32,64, ... ) a 1 < 0 e 0 < q < 1, por exemplo (-1 , -1/2, -1/4, ....) • PG decrescente são aquelas que os termos vão diminuindo. a 1 > 0 e 0 < q < 1, por exemplo: (64, 32, 16,8,... ) a 1 < 0 e q > 1, por exemplo: (-2,-4,-8,...)

20 • PG quase nula é uma PG que apenas o 1º elemento é diferente de zero.
• PG constante são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a razão é igual a q = 1. Por exemplo: (5,5,5,5,...,5) • PG oscilante é uma PG que os seus termos intercalam em negativos e positivos, ou seja, que a1 ≠ 0 e q < 0. • PG quase nula é uma PG que apenas o 1º elemento é diferente de zero. Por exemplo: (2,0,0,0,0,0, ... ) Fórmula do termo geral da PG

21 Considerando a PG (a1, a2, a3, ... , a n – 1 , an) e utilizando a definição de PG
an = an – 1 . q com n > 1 podemos encontrar a fórmula do termo geral da PG, desde que a1 ≠ 0 e q ≠ 0. a 2 = a1 . q a 3 = a2 . q a 4 = a3 . q an = a n – 1 . q an = a1 . qn – 1

22 Portanto, o termo geral da PG é calculado com a utilização da fórmula:
an = a1 . qn – 1

23 4) Cite exemplos da uitlização de P A e P G no cotidiano das pessoas.
É fácil encontrar exercícios sobre progressões que envolvam ao mesmo tempo a progressão geométrica e aritmética, ou seja, que em um mesmo exercício seja preciso utilizar os conceitos das duas progressões.

24 Veja um exemplo de como essa junção pode acontecer.
A seqüência (8 , 2 , a , b , ...) é uma P.G e a seqüência (b , 3/16 , c , ...) é uma P.A. a) Qual é o valor de c?

25 Primeiro é preciso levar em consideração a P.G.
(8 , 2 , a , b , ...) a sua razão será igual a q = 2/8 = 1/4, dessa forma é necessário prosseguir dizendo que: a : 2 = 1/4 → a = 1/2 a : b = 1/4 → 1/2 : b = 1/4 → b = 1/8

26 (b , 3/16 , c , ...) substituindo o valor de b na P.A teremos:
Com os valores de a e b, pode-se levar em consideração a P.A para que seja possível encontrar o valor do termo c. (b , 3/16 , c , ...) substituindo o valor de b na P.A teremos:

27 Com o valor da razão podemos dizer que:
(1/8 , 3/16 , c , ...), dessa forma, a razão dessa P.A será: r = 3/16 – 1/8 = 1/16. Com o valor da razão podemos dizer que: c – 3/16 = r c – 3/16 = 1/16 c = 1/16 + 3/16 c = 1/4

28 5) A soma dos termos de uma P A
Considere uma P.A. qualquer de razão r. (a1, a2, a3, a4, a5, ...) A soma dos n primeiros termos dessa P.A. será dada por:

29 a1 → é o primeiro termo da P.A.
Onde, a1 → é o primeiro termo da P.A. an → é último termo a ser somado na P.A. n → é o número de termos a serem somados na P.A. Exemplo 1. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. abaixo: (5, 8, 11, 14, 17, ...)

30 Solução: Note que para a utilização da fórmula da soma dos termos é necessário conhecer o valor de a1 e a20. Temos que a1 = 5; r = 8 – 5 = 3; n = 20;

31 Precisamos determinar qual é o 20º termo dessa P. A. , ou a20
Precisamos determinar qual é o 20º termo dessa P.A., ou a20. Para isso, iremos utilizar a fórmula do termo geral.

32 Agora, podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos da P
Agora, podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A.