CÁLCULO NUMÉRICO Aula 2 – Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) e Teoria dos Erros.

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Aula 2 – Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) e Teoria dos Erros

2 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Identificar os conceitos básicos de programação estruturada: Estruturas sequenciais; Estruturas seletivas; Estruturas repetitivas. Teoria dos Erros.

3 PROGRAMAÇÃO ESTRUTURADA
A decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas; Objetivo é simplificar o problema para facilitar o entendimento de todos os procedimentos; Melhorar a confiabilidade e simplificar a manutenção do programa; São três as estruturas básicas: sequenciais, seletivas e repetitivas.

4 ESTRUTURAS BÁSICAS: SEQUENCIAL – nesta estrutura, cada ação segue a outra ação, sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra. Pseudocódigo Tarefa a ser realizada ( ) Início Executar tarefa 1; Executar tarefa 2; Executar tarefa 3; Fim TAREFA 1 TAREFA 3 TAREFA 2

5 ESTRUTURAS BÁSICAS: Exemplo: Dois números naturais devem ser somados e depois subtraídos. Após isto, os resultados devem ser divididos: Tarefa 1: Somar A e B (S = A + B); Tarefa 2: Subtrair A e B (D = A – B); Tarefa 3: Dividir S por D. Pseudocódigo Tarefa a ser realizada ( ) Início Valores de A e B S = A+B; D = A-B; F = S/D; Fim

6 ESTRUTURAS BÁSICAS: SELETIVA - nesta estrutura avalia-se a condição (SE) e, a partir desta saída, executa-se a TAREFA 1 (SIM) ou a TAREFA 2 (NÃO). Pseudocódigo Tarefa a ser realizada ( ) Início Se condição A; Então executar tarefa 1; Se não; Executar tarefa 2; Fim Se TAREFA 2 TAREFA 1 Condição A N S

7 ESTRUTURAS BÁSICAS: Exemplo: Determinar o módulo da diferença de dois números naturais: Condição: A maior que B ? SIM: Tarefa 1: Executar A - B Não: Tarefa 2: Executar B - A. Pseudocódigo Tarefa a ser realizada ( ) Início Se A > B; Então Módulo = A – B; Senão; Módulo = B – A; Fim

8 ESTRUTURAS BÁSICAS: REPETITIVA - nesta estrutura há uma sequência de instruções (iterações) que se repetem um determinado número de vezes ou até que uma condição seja satisfeita. TAREFA 1 Condição A N S Pseudocódigo Tarefa a ser realizada ( ) Início Enquanto condição A; Executar tarefa 1; Fim Enquanto;

9 ESTRUTURAS BÁSICAS: Exemplo: Seja o número natural A >1. Extrair a raiz quadrada de A até que seja menor que 1,02. Pseudocódigo Tarefa a ser realizada ( ) Início Enquanto A > 1,02; Executar RAIZ(A); Fim enquanto; Fim.

10 TEORIA DOS ERROS. As resoluções numéricas levam, via de regra, a valores aproximados. Desta forma, é importante que seja definida a precisão desejada para este valor aproximado. Exemplo: Valor exato = 0,200; Valor aproximado = 0,220 (método dos trapézios com quatro intervalos).

11 ORIGEM DOS ERROS Erro no modelo - Um modelo matemático raramente oferece uma representação exata dos fenômenos reais (condições que simplificam o problema de forma a torná-lo tratável). Porém este procedimento nos leva a cometer erro na solução final. Este erro é considerado inicial do problema, exteriores ao processo de cálculo.

12 ORIGEM DOS ERROS Erro no dados - Os dados podem ser medidos experimentalmente, e, portanto, aproximados, pois os meios de medição também não são precisos. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final. Este erro é considerado inicial do problema, exteriores ao processo de cálculo.

13 Sejam dois valores x exato e x aproximado .
ORIGEM DOS ERROS Sejam dois valores x exato e x aproximado . Define-se erro absoluto como o módulo da diferença entre estes dois valores, isto é: Erro absoluto =  x exato – x aproximado  Define-se erro relativo como a razão entre o erro absoluto e o módulo do valor exato, isto é: Erro relativo = Erro absoluto / x exato

14 ORIGEM DOS ERROS Quando recorremos a uma calculadora ou a um computador para resolver numericamente um dado problema matemático, dois tipos de erro podem surgir: Erros de arredondamento: as máquinas, de capacidade limitada, não conseguem representar todos os números reais; Erros de truncatura: surgem sempre que se substitui um problema contínuo por um discreto, ou quando se substitui um processo de cálculo com um número infinito de operações, por outro com um numero finito.

15 REGRA DE ARREDONDAMENTO
● Frações de 0, a 0, são simplesmente eliminadas; 3,49 ≈ ,43 ≈ 2, , ≈ 1,73 ● Frações maiores de 0, a 0, são eliminadas, mas o algarismo a ser arredondado aumenta 1 unidade; 3,688 ≈ 3, ,6501 ≈ 5,7 ● Se a fração a ser eliminada é exatamente 0, , então o algarismo a ser arredondado, só aumentará de 1 unidade caso torne-se um algarismo par. 3,5 ≈ ,5 ≈ ,6500 ≈ 5, ,7500 ≈ 9,8

16 EXEMPLOS. Exemplo: Considere a seguinte integral definida Seu valor exato é 0,200. Utilizando o método dos trapézios com quatro intervalos encontramos o seguinte valor aproximado : 0,220. Determine: O erro absoluto; O erro relativo.

17 SOLUÇÃO. a) Erro absoluto =  x exato – x aproximado  Erro absoluto =  0,200 – 0,220 =  - 0,020 = 0,020 b) Erro relativo = Erro absoluto / x exato Erro relativo = 0,020/0,200 = 0,1

18 PROPAGAÇÃO DE ERROS. Considere a função de duas variáveis f(x,y). Sua expansão de Taylor, sem os termos superiores é: Ou ainda:

19 PROPAGAÇÃO DE ERROS - SITUAÇÕES PARTICULARES
Considere a função f(x,y) = x + y e erros de x e y: Ex e Ey Considere a função f(x,y) = x.y e erros de x e y: Ex e Ey

20 RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: Os conceitos básicos de programação estruturada: Estruturas sequenciais; Estruturas seletivas; Estruturas repetitivas. Teoria dos Erros.