Série: Processos Estocásticos

Apresentação em tema: "Série: Processos Estocásticos"— Transcrição da apresentação:

1 Série: Processos Estocásticos
O Processo de Poisson Disciplina: Métodos Matemáticos 1C Dennis S. Poisson, Sceaux, France

2 PROCESSO DE POISSON 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO 7 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

3 Processo de Contagem Muitos fenômenos físicos são probabilisticamente descritos pelo mesmo processo de formação de uma fila. Os clientes chegam aleatoriamente e independentemente um do outro a uma taxa normalmente constante de  clientes/segundo. 1 2 3 . k 4 t N N(0)=0 P1 =t P+ de 1 em t = 0 Dt -> 0

4 Processo Aleatório de Contagem {Nt, 0 t+}
a. a variável aleatória de contagem Nt assume unicamente valores inteiros não negativos e N0  0 b. o processo aleatório de contagem {Nt, 0 t+} tem estacionaridade e incrementos independentes. c. d.

5 onde  é uma constante positiva e onde 0(t) é uma função de t a qual vai a zero mais rapidamente que t, i.é., onde 0(t) é uma função tal que (1) Um processo aleatório o qual satisfaz as hipóteses (a) a (d) é chamado um Processo de Contagem de Poisson e, como vamos mostrar, o número de eventos que ocorre em um dado intervalo de tempo tem uma Distribuição de Probabilidade de Poisson.

6 Das propriedades c e d tiramos que
(2)

7 Vamos agora determinar a distribuição de probabilidade da
variável aleatória de contagem Nt. Consideremos o intervalo (0,t+t] e dividamos ele em dois conforme figura abaixo: t t+t t Introduzimos a notação e

8 O evento condicional [Nt+t=k | Nt=j] é equivalente
ao evento [Nt+t - Nt = k-j] e então suas probabilidades são iguais, Por hipótese, o processo de contagem tem incrementos estacionários e então segue-se que As probabilidades de transição pj,k(t,t+t) dessa forma dependem unicamente do intervalo de tempo t, e escrevemos então que (3)

9 Usando este resultado em (4), subtraindo p0(t) de ambos os
Consideremos a probabilidade de que nenhum evento ocorra no intervalo (0,t+t]. Esta situação ocorre quando nenhum evento ocorre no intervalo (0,t] e nem no (t,t+t]. Intervalos não sobrepostos => incrementos v.a’s independentes: (4) Segue-se (2) e (3) que Usando este resultado em (4), subtraindo p0(t) de ambos os lados e dividindo por t, teremos

10 Passando o limite  t  0, tem-se
como a equação diferencial para probabilidade de que nenhum evento ocorra em um intervalo de duração t. Sua solução é, notando que segue-se

11 Tendo obtido p0(t) vamos determinar pk(t) para k  1.
Começando de N0=0, Nt+ t pode tornar-se igual a um inteiro k de diversas formas: pode ser que não aconteça nenhum evento no intervalo (0,t] e k eventos no (t,t+t]; pode acontecer um evento no intervalo (0,t] e k-1 no (t,t+t]; etc. Dessa forma, podemos escrever (5) pois são eventos mutuamente exclusivos.

12 Determinação de pk(t) 0 j k-2, Passo A. Mostrar que se 0 j k-2, então Logo,

13 Passo B. Mostrar que Como vimos em (5) assim Como vimos no Passo A. 0 j k-2,

14 assim Lembrando que e que teremos que

15 Subtraindo pk(t) em ambos os lados, dividindo por  t e
tomando o limite,

16 Passo C. Para k=1 temos que mas, como provado anteriormente assim

17 K=2 mas, como visto, assim

18 K=3 (idêntico) mas, como vimos assim

19 Logo, por indução finita,
Portanto, a variável aleatória contínua Nt tem uma distribuição de probabilidade de Poisson. Pode-se mostrar que E[Nt]=var[Nt]= t

20 PROCESSO DE POISSON 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO 7 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

21 3- Tempos de Chegada Freqüentemente é necessário se estudar o tempo requerido para que um dado número de eventos k ocorra , assim como contar o número de eventos que ocorrem em um dado intervalo de tempo t. Chamaremos então o tempo de ocorrência tk do k-ésimo evento de tempo de chegada do k-ésimo. Chamaremos a variável aleatória que representa a distribuição dos possíveis valores dos tempos de chegada de Tk. 1 2 3 . k 4 t N t1 t2 tk+1 tk N(t)

22 Determinar a relação entre a função distribuição de probabilidade do tempo
de chegada do k-ésimo evento, Tk, e a variável aleatória de contagem Nt : Por definição O evento [Tk  t] é equivalente a [Nt > k-1], e dessa forma têm a mesma probabilidade. Assim: Escrevendo o resultado acima em termos das correspondentes funções distribuição de probabilidade, teremos que (6) Resultado válido para qualquer processo de contagem desde que N0=0.

23 Vamos aplicar o resultado anterior ao caso do processo de contagem
de Poisson. Como visto quando {Nt,0 t<+ } é um processo de contagem de Poisson. Dessa forma, para k 1, Usando o resultado (6), segue-se então que para t 0 para t<0

24 PROCESSO DE POISSON 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO 7 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

25 4- Tempos entre chegadas
Tendo considerado os tempos de chegada Tk de um um processo de contagem aleatório {Ni, 0 t<+ }, vamos agora estudar algumas das propriedades estatísticas dos intervalos entre sucessivos tempos de chegada. Chamaremos as durações destes intervalos Zk de intervalos entre chegadas, onde ,para k=2,3,4,... t t1 t2 tk-1 tk z1 z2 zk

26 A seqüência de intervalos entre chegadas forma dessa forma um
processo aleatório de parâmetro discreto com variável aleatória contínua {Zk, k=1,2,3,...}. Vamos agora determinar a função distribuição de probabilidade do K-ésimo intervalo entre chegadas, Zk, em termos da distribuição de probabilidade da variável aleatória de contagem Nt. Para isto vamos primeiro determinar a probabilidade Segue-se, da definição de intervalo entre chegadas, que o evento [Zk>z] e [Tk - Tk-1>z] são equivalentes

27 (7) Suponha que o valor observado de Tk-1 é tk-1.
O evento [TK>Tk-1+z|Tk-1=tk-1] ocorre iff o processo de contagem não incrementar durante o intervalo (tk-1,tk-1 + z]: Desde que os eventos são equivalentes, eles têm probabilidades iguais. Obtemos então o resultado Dessa forma, segue-se que (7)

28 Se o processo de contagem é estacionário, então segue-se que
a probabilidade no lado direito da equação anterior é uma função unicamente de z; em particular, pois, por hipótese, N0 = 0. A função distribuição condicional no lado esquerdo de (7) é dessa forma independente do valor particular de k, e temos finalmente que para todo k=1,2,3,... Como este resultado é independente do valor do índice k, segue-se que se o processo de contagem é estacionário, então os vários intervalos entre chegadas terão todos a mesma função distribuição de probabilidade.

29 PROCESSO DE POISSON [ Parte II ]
1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 6- PROCESSO DE POISSON FILTRADO 7 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

30 5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS
1º Passo: Suponha que exatamente k eventos de um processo de Poisson ocorrem em um intervalo de duração t. Em outras palavras Nt = k, onde Nt é uma variável aleatória de Poisson. Se particionarmos (0,t] em M subintervalos adjacentes para os instantes de tempo t’0, t’1, t’2,..., t’M, considerando: E definindo: Temos a situação de partição representada a seguir:

31 Podemos escrever: Não há relação a priori entre os tempos em que os eventos ocorrem (tk) e os instantes da partição t’m.

32 2º Passo: Número de eventos que ocorrem em um subintervalo: Segue que: Exatamente k eventos ocorreram no intervalo (0,t].

33 A probabilidade condicional conjunta de km eventos ocorrerem durante o intervalo (m), m = 1,2,..., M, considerando a hipótese de que k eventos ocorrem durante o intervalo inteiro é:

34 Incrementos estacionários e independentes, vem:
O número de eventos  Distribuição de Poisson. Assim, podemos reescrever (2) e o denominador de (1): Levando os resultados acima em (1):

35 Obtemos a probabilidade condicional conjunta:

36 3º Passo: Particionamento suficientemente bom  apenas um evento ocorra em cada subintervalo. Nesse caso, cada um dos k subintervalos terá apenas um evento ocorrendo em sua duração, ou seja: Não ocorrerá nenhum evento em cada um dos M-k subintervalos restantes:

37 Reindexaremos os k subintervalos, de modo que o subintervalo (j) contenha o j-ésimo evento a ocorrer. O tempo de ocorrência do j-ésimo evento é o tempo de chegada tj, ficamos apenas com a probabilidade condicional conjunta de ocorrência dos eventos [tj  (j)], j = 1, 2, ..., k:

38 4º Passo: k eventos ocorrem durante [0,t], o mesmo resultado pode ser obtido assumindo que os tempos de chegada tj são as estatísticas de ordem dos tempos de evento (ou tempos de chegada não-ordenados).  Variáveis aleatórias mutuamente independentes  Uniformemente distribuída em [0,t] Podemos indexar os objetos que causam eventos particulares pelos inteiros 1, 2, ..., k e denotar como ui o tempo de evento que o objeto i leva para que um evento de interesse ocorra.

39 TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS
Não garantia a priori que #i gere o i-ésimo evento a ocorrer (em ordem)  não garantia ui = ti. Objetos Tempos de Evento de Chegada

40 5º Passo: Seja Uj a v.a. da distribuição dos valores dos ui empíricos, dizemos que as v.a’s Ti são as estatísticas de ordem das v.a’s Uj . Em seguida assumimos:  Variáveis aleatórias mutuamente independentes  Uniformemente distribuídas em [0,t] Estamos assumindo que dado Nt = k, os Uj são mutuamente independentes e:

41 Como os Uj são v.a’s independentes:
Existem k! diferentes conjuntos de tempos de eventos [uj, i = 1, 2,..., k] que poderiam gerar um conjunto particular de tempos de chegada. Daí:

42 TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS
Retornando aos k subintervalos (j) da eq.(3), a probabilidade de um T1 cair em um subintervalo (1), de duração 1 , que T2 caia num subintervalo (2), de duração 2 , e assim sucessivamente é dada pela f.d.p condicional conjunta escrita em (4), ou seja: Esse resultado é idêntico ao obtido em (3), completando nossa prova. Q.E.D

43 PROCESSO DE POISSON 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO 7 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

44 6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO
Definição Suponha que excitamos aleatoriamente um operador linear com um processo de Poisson. Isto é, o processo aleatório que descreve o fenômeno de interesse, [Xt , 0  t <+] pode ser escrito:  uj gera h(t- uj) em um tempo t  Nt descreve o nº de eventos que ocorreram em(0,t]  Uj são os TCNO dos eventos que ocorreram em(0,t] Temos o chamado Processo de Poisson Filtrado.

45 PROCESSO DE POISSON FILTRADO
Valor Esperado de Xt : A média condicional E[Xt | Nt = k] é obtida tomando a média da soma: com relação aos tempos de chegada não-ordenados U1, U2, ..., Uk.

46 Resultados anteriores nos dão:

47 Ficando: Fazendo u = t-uj : Substituindo (2) em (1), chegamos à esperança de Xt : Q.E.D

48 PROCESSO DE POISSON FILTRADO
Distribuição de Xt : Analogamente: Onde:

49 Substituindo o resultado acima em:

50 PROCESSO DE POISSON FILTRADO
Relembrando a expansão da função exponencial em séries de potências: Q.E.D

51 PROCESSO DE POISSON 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 6 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO 7 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

52 7- PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO
Dado um Processo de Poisson Filtrado, [Xt , 0  t <+], formamos um novo processo [Zt , 0  t <+] selecionando aleatoriamente apenas alguns dos eventos básicos. Isto é, se:  Têm P[Yj =1] = p e P[Yj =0] = 1-p = q  Mutuamente independentes  Independentes dos Uj’s O processo particionado é um Processo de Poisson Filtrado com taxa p vezes a taxa do processo básico.

53 Valor Esperado do novo processo Zt :
A esperança condicional E[Zt | Nt = k] é obtida tomando a média de ambas as v.a’s U1, U2, ..., Uk e as v.a’s Y1, Y2, ..., Yk.

54 Substituindo (2) em (1):

55 Pelo resultado anterior E[Zt] = p E[Xt], ou seja, o valor esperado depois do particionamento aleatório é simplesmente p vezes o valor esperado antes do particionamento. Q.E.D