Probabilidade e universos possíveis Roberto Imbuzeiro Oliveira (IMPA)

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1 Probabilidade e universos possíveis Roberto Imbuzeiro Oliveira (IMPA)

2 Elon Lages Lima

3 O jogo das três portas Monty Hall

4 Adivinhe a porta Há três portas para escolher
Duas delas te levam à morte, a outra à liberdade

5 Jogo em três partes Você escolhe uma porta ao acaso.
Eu abro uma das outras duas portas e te mostro que ela leva morte. Aí você tem a opção de ficar com a porta que já escolheu ou trocar de porta.

6

7 ? &

8

9 Espere! Tenho uma dica para você!

10 Esta porta aqui é ruim!

11 E agora? Você quer continuar com a porta que escolheu?

12 Ou quer trocar?

13 Qual a chance de acertar se eu trocar?
Ou quer trocar? Qual a chance de acertar se eu trocar?

14 https://priceonomics

15 A mulher mais inteligente do mundo acertou,
mas muita gente errou a resposta.

16 Qual é o princípio fundamental da Probabilidade?
Imagem:

17 Eventos disjuntos são universos distintos!

18 Propósitos desta aula Lembrar o que é Probabilidade, do ponto de vista matemático. Lembrar o que são eventos disjuntos e porque são úteis. Exercitar o conceito em problemas. Falar de dois jogos que envolvem acaso e decisões.

19 Axiomas da Probabilidade
Axiomas da Probabilidade Os Dois Mandamentos

20 Axiomas da Probabilidade
Ω=espaço amostral Um conjunto (aqui finito ou enumerável) cujos elementos correspondem aos possíveis resultados de um experimento probabilístico. 𝑃 = probabilidade Função que atribui a cada elemento 𝜔∈Ω um número real entre 0 e 1, de modo que: 𝜔∈Ω 𝑃 𝜔 =1

21 Exemplo: cara e coroa Ω={H,T} 𝑃 = probabilidade
Experimento: jogamos uma moeda. O resultado pode ser cara (H) ou coroa (T). 𝑃 = probabilidade Moeda justa: 𝑃 𝐻 =𝑃 𝑇 = 1 2 Viés para cara: 𝑃 𝐻 > 1 2 >𝑃(𝑇)

22 Exemplo: dado de seis faces
Ω={1,2,3,4,5,6} Experimento: jogamos um dado. O resultado pode ser um número qualquer de 1 a 6. 𝑃 = probabilidade Dado sem viés: 𝑃 1 =…=𝑃 6 = 1 6

23 Eventos e suas probabilidades
Evento: um subconjunto 𝐸⊂Ω. Ou seja, é um conjunto de resultados possíveis para nosso experimento, que pode conter resultado nenhum (𝐸=∅), todos os resultados (𝐸=Ω) ou algo intermediário. Probabilidade de um evento: a soma das probabilidades os resultados que pertencem ao evento. 𝑃 𝐸 = 𝜔∈𝐸 𝑃(𝜔)

24 Probabilidade total 𝑃 𝛀 = 𝜔∈𝛀 𝑃 𝜔 =𝟏 pelo axioma que diz que a soma das probabilidades de todos os elementos é 1.

25 𝑃 ∅ = 𝜔∈∅ 𝑃 𝜔 =𝟎 porque o conjunto vazio não tem elementos.
Probabilidade nula 𝑃 ∅ = 𝜔∈∅ 𝑃 𝜔 =𝟎 porque o conjunto vazio não tem elementos.

26 Perguntas para a turma Por que 𝑃 𝐸 ∈[0,1] para qualquer evento 𝐸⊂Ω?
Por que, dados quaisquer dois eventos 𝐴,𝐵⊂Ω, A⊂𝐵⇒𝑃 𝐴 ≤𝑃(𝐵)?

27 Outros eventos Ω={1,2,3,4,5,6} 𝑃 = probabilidade
Evento: o resultado do lançamento do dado é um número menor ou igual a 2. 𝐸={1,2} 𝑃 = probabilidade Dado sem viés: 𝑃 𝐸 =𝑃 1 +𝑃 2 = 1 3

28 Exemplos: dado de seis faces
Ω={1,2,3,4,5,6} Evento: o resultado do lançamento do dado é par. 𝐸={2,4,6} 𝑃 = probabilidade Dado sem viés: 𝑃 𝐸 =𝑃 2 +𝑃 4 + 𝑃 6 = 1 2

29 Resultados distintos e eventos disjuntos
Resultados distintos: cada resultado 𝜔∈Ω corresponde a uma ”possível realidade”. Só um resultado acontece ”de verdade”. Eventos disjuntos: são classes separadas de realidades possíveis. Ou seja, eventos disjuntos são mutuamente excludentes. Definição formal: dois eventos 𝐸,𝐹⊂Ω são ditos disjuntos se não possuem resultados (elementos) em comum, ou seja, 𝐸∩𝐹= ∅.

30 Eventos disjuntos no diagrama
Ω−(𝐸∪𝐹) 𝐸 𝑬∪𝑭 𝐹 Ω

31 Disjuntos = mutuamente excludentes
𝐸 𝐹 Ω

32 Uniões de eventos disjuntos
Probabilidade de 𝑬∪𝑭 quando 𝑬 e 𝑭 são eventos disjuntos: 𝑃 𝐸∪𝐹 =𝑃 𝐸 +𝑃 𝐹 Demonstração: usamos apenas as definições e o fato que 𝑬∩𝑭=∅. 𝑃 𝐸∪𝐹 = 𝜔∈𝐸∪𝐹 𝑃 𝜔 = 𝜔∈𝐸 𝑃 𝜔 + 𝜔∈𝐹 𝑃 𝜔

33 Um corolário Probabilidades de eventos complementares somam 1: 1=𝑃 𝐸 +𝑃 Ω−𝐸 Demonstração: segue do resultado anterior e dos seguintes fatos. Ω=𝐸∪ Ω−𝐸 ,𝑐𝑜𝑚 𝐸∩ Ω−𝐸 =∅ 𝑃 Ω =1

34 E eventos não disjuntos?
Princípio da inclusão-exclusão: dados dois eventos 𝐴,𝐵⊂Ω, 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃(𝐴∩𝐵) Se quisermos usar eventos disjuntos: 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴−𝐵 +𝑃 𝐵−𝐴 +𝑃(𝐴∩𝐵) As duas fórmulas dão sempre no mesmo!

35 Eventos não disjuntos 𝐴 − 𝐵 𝐵 −𝐴 𝐴 B 𝐴∩𝐵

36 Um é para esquentar, outro é mais difícil.
Dois problemas Um é para esquentar, outro é mais difícil.

37 Aplicação a um problema
Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a 1ª carta ser uma dama e a 2ª ser de copas. (do livro de Morgado et al., ”Análise Combinatória e Probabilidade”)

38 O espaço de probabilidade
Ω = 𝐭𝐨𝐝𝐨𝐬 𝐨𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐞𝐬 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐨𝐬 𝝎=(𝝎 𝟏 ,𝝎 𝟐 ) 𝐝𝐞 𝐜𝐚𝐫𝐭𝐚𝐬 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐢𝐧𝐭𝐚𝐬 𝐝𝐨 𝐛𝐚𝐫𝐚𝐥𝐡𝐨 𝐜𝐨𝐦𝐮𝐦 Experimento: são escolhidas duas cartas de um baralho de 52 cartas, sem reposição. 𝑃 = probabilidade Escolha uniforme: 𝑃 𝜔 = 1 52 𝑥 51 para todos 𝜔∈Ω.

39 O evento que queremos Queremos: a probabilidade de a 1ª carta ser uma dama e a 2ª ser de copas. 𝐴={(𝜔 1 ,𝜔 2 )∈𝛺 :𝜔 1 dama e 𝜔 2 de copas} Precisamos calcular a probabilidade de 𝐴. No fundo, queremos contar #A.

40 Como contar 𝐴={𝜔=(𝜔 1 ,𝜔 2 )∈𝛺 :𝜔 1 dama e 𝜔 2 de copas} 𝐴=𝐸∪𝐹, onde: 𝐸= 𝜔∈𝛺 :𝜔 1 dama de copas e 𝜔 2 alguma de copas e 𝐹={ω∈𝛺 :𝜔 1 dama sem ser de copas 𝑒 𝜔 2 de copas} Eventos disjuntos!

41 Como contar (II) 𝐸= 𝜔∈𝛺 :𝜔 1 dama de copas e 𝜔 2 alguma de copas tem 12 elementos. 𝐹={ω∈𝛺 :𝜔 1 dama sem ser de copas 𝑒 𝜔 2 de copas} tem 3 x 13 = 39 elementos. Total = 51 elementos ⇒𝑷 𝑨 = 𝟓𝟏 𝟓𝟏𝒙 𝟓𝟐 = 𝟏 𝟓𝟐 .

42 Outro problema Problema: Considere sucessivos lançamentos de uma moeda justa até a primeira vez que ocorrem três resultados iguais consecutivos (HHH ou TTT). Prove que a chance de uma sequência alternada de três resultados (THT ou HTH) ocorrer antes dos três iguais é de exatamente 50%.

43 Não é tão fácil definir que espaço queremos
Ω=espaço amostral Um conjunto (aqui finito ou enumerável) cujos elementos correspondem aos possíveis resultados de um experimento probabilístico. 𝑃 = probabilidade Função que atribui a cada elemento 𝜔∈Ω um número real entre 0 e 1, de modo que: 𝜔∈Ω 𝑃 𝜔 =1

44 Qual espaço amostral? Considere sucessivos lançamentos de uma moeda justa até a primeira vez que ocorrem três resultados iguais consecutivos (HHH ou TTT). Espaço amostral: Ω contem todas as sequências finitas de H e T que param na primeira vez em que ocorre um HHH ou TTT. Exemplos: 𝐻𝑇𝑇𝐻𝐻𝑇𝐻𝑇𝑇𝐻𝐻𝐻∈Ω, mas 𝑇𝑇𝑇𝐻𝐻𝑇𝑇𝑇∉Ω

45 Que probabilidades? Considere sucessivos lançamentos de uma moeda justa até a primeira vez que ocorrem três resultados iguais consecutivos (HHH ou TTT). Probabilidades: a moeda é justa, logo cada 𝝎∈Ω tem probabilidade que é ½ elevado ao comprimento de 𝝎. Exemplo: 𝑃 𝐻𝑇𝑇𝑇 = e 𝑃 𝐻𝑇𝑇𝐻𝐻𝑇𝐻𝑇𝑇𝐻𝐻𝐻 =

46 Mas por que soma 1? Pergunta: Por que sabemos que, lançando muitas vezes a moeda justa, algum dia vamos tirar HHH ou TTT? Ou seja, porque temos certeza que dá para parar com HHH ou TTT em tempo finito? Resposta: A chance de não tirarmos três resultados HHH ou TTT a cada três lançamentos é ¾, logo a chance de não tirar HHH ou TTT depois de 3k lançamentos é no máximo 3 4 𝑘 , que vai a 0 quando k cresce.

47 Esboço de solução Eventos disjuntos: chame de ruim um elemento do espaço amostral (que portanto termina com HHH ou TTT) sem antes ter THT ou HTH. Chame de R o conjunto (evento) de todos os elementos ruins. Então 𝑅=𝑅 3 ∪𝑅 4 ∪𝑅 5 ∪… Os termos na união são os conjuntos 𝑅(𝑘) de sequências ruins de k lançamentos. 𝑅 3 = 𝐻𝐻𝐻,𝑇𝑇𝑇 , 𝑅 4 = 𝑇𝐻𝐻𝐻,𝐻𝑇𝑇𝑇 , 𝑅 5 = 𝐻𝐻𝑇𝑇𝑇,𝑇𝑇𝐻𝐻𝐻 ,…

48 De volta às três portas Nossa solução.

49 Lembre as regras Você escolhe uma porta ao acaso
Eu abro uma das outras duas portas e te mostro que ela leva morte. Aí você tem a opção de ficar com a porta que já escolheu ou trocar de porta.

50 O que há de diferente aqui?
O problema envolve aleatoriedade e também uma escolha (trocar ou ficar). O espaço de probabilidade dará conta da aleatoriedade.

51 Definindo o espaço de probabilidade
Ω={(1,1), (1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)} Experimento: eu escolho a posição a da porta boa. Você escolhe a posição b tentando adivinhar qual é a porta boa. 𝑃 = probabilidade Escolha uniforme: 𝑃 𝜔 = 1 9 para todos 𝜔∈Ω.

52 Como falar da escolha? Estamos diante de duas ”realidades” (ou dois ”universos”) possíveis: Ou você acertou a porta de primeira Ou você errou a porta de primeira Só um destes ”universos” é o verdadeiro Trocar é bom ou ruim dependendo do ”universo” em que você está!

53 Dois universos possíveis
A={(1,1), (2,2),(3,3)} Evento: acertou de primeira! Se você soubesse disso, escolheria não trocar. 𝑃 𝐴 = 1 3 E={(1,2), (2,1),(1,3),(3,1), (2,3),(3,2)} Evento: errou na primeira! Se você soubesse disso, escolheria trocar. 𝑃 𝐸 = 2 3 Decido de acordo com o mais provável! Mas eu não sei onde estou!

54 Chance 1/3 de acertar a porta da liberdade de primeira

55 Quem troca fica livre com chance 2/3 !
Quer trocar? Quem troca fica livre com chance 2/3 !

56 Quem não troca fica livre com chance 1/3 (universo 1)!
Quer trocar? Quem não troca fica livre com chance 1/3 (universo 1)!

57 Afinal, quer trocar ou não?
SIM!

58 Adivinhem como eu pintei suas testas
Bônus track

59 Como é o jogo Amanhã de manhã vocês serão fuzilados
Antes, pintaremos uma bolinha branca ou preta na testa de cada um, ao acaso Ninguém verá a própria testa

60 Como é o jogo (II) Antes de atirarmos, vocês ficarão em roda para uma oração Depois daremos um tiro para o alto. É o sinal para que todos digam suas últimas palavras ao mesmo tempo.

61 Como é o jogo (III) Se CADA UM DE VOCÊS disser como última palavra a cor que leva na testa, e se todos falarem AO MESMO TEMPO, a execução será suspensa. No entanto, se uma única pessoa errar, ou se vocês trapassearem…

62 Qual espaço amostral? Espaço amostral: se há n pessoas, Ω contem todas as 2n sequências de b (branco) e p (preto) que podem descrever as testas das pessoas Exemplos (com n=12) 𝑏𝑝𝑏𝑝𝑏𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑏∈Ω 𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏𝑝𝑏𝑝𝑏∈Ω

63 Qual probabilidades? Probabilidades: suporemos que as sequências de p e b são equiprováveis: 𝑃 𝜔 =1/ 2 𝑛 para cada 𝜔∈Ω. Exemplo (com n=12) 𝑃 𝑏𝑝𝑏𝑝𝑏𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = =𝑃(𝑝𝑝𝑝𝑝𝑏𝑏𝑏𝑏𝑝𝑏𝑝𝑏)

64 Com n=1 teria chance 50% de sobreviver

65 E se forem muitas pessoas?
Cada um por si? Não: chance muito baixa de sobrevivência! Como eles podem se coordenar? Um ponto: cada um vê a cor dos outros (não a própria)

66 Nova ideia fundamental
Estamos diante de duas ”realidades” (ou dois ”universos”) possíveis: Ou o número total de pontos brancos (incluindo o seu) é ímpar Ou o número total de pontos brancos (incluindo o seu) é par Só um destes ”universos” é o verdadeiro Se vocês soubessem se total é par ou ímpar, poderiam ganhar o jogo

67 Se eu sei que o total de brancos é ímpar
Qualquer um consegue descobrir sua cor sabendo que o total de brancos é ímpar e vendo as cores dos outros. ?

68 Se eu sei que o total de brancos é ímpar
Qualquer um consegue descobrir sua cor sabendo que o total de brancos é ímpar e vendo as cores dos outros. 😀

69 Se eu sei que o total de brancos é ímpar
Qualquer um consegue descobrir sua cor sabendo que o total de brancos é ímpar e vendo as cores dos outros. ?

70 Se eu sei que o total de brancos é ímpar
Qualquer um consegue descobrir sua cor sabendo que o total de brancos é ímpar e vendo as cores dos outros. 😀😀

71 Dois universos possíveis
A= {𝝎∈𝛀 𝐜𝐨𝐦 𝐧𝐨.𝐩𝐚𝐫 𝐝𝐞 𝐛 ′ 𝐬} Veremos que 𝑃 𝐴 = 1 2 I= {𝝎∈𝛀 𝐜𝐨𝐦 𝐧𝐨.í𝐦𝐩𝐚𝐫 𝐝𝐞 𝐛 ′ 𝐬} Veremos que 𝑃 𝐼 = 1 2 Cardinalidades são iguais por bijeção (troque 1ª cor)! Mas eu não sei onde estou!

72 Chutamos juntos! Decidimos chutar juntos que o número total de pontos brancos é ímpar (ou par) Se o chute deu certo, cada um descobre sua cor olhando para as cores dos outros Chance de acerto geral = 50% Imagem:

73 Slides em breve em http://w3.impa.br/~rimfo/
Obrigado! Slides em breve em