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Prof. Dr. Adolpho Walter Pimazoni Canton
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo Amostragem Prof. Dr. Adolpho Walter Pimazoni Canton
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Censo
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O Censo é um levantamento de informações relacionadas a todos os elementos de uma determinada população.
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De acordo com o IBGE: A palavra censo vem do latim census e quer dizer "conjunto dos dados estatísticos dos habitantes de uma cidade, província, estado, nação". O Censo é a única pesquisa que visita todos os domicílios brasileiros.
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Na Roma Antiga era realizado o censo para mapear os proprietários de terras e determinar o pagamento dos impostos.
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População
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População A população é formada por todas as observações do universo de referência. O tamanho da população será denotado por N.
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Algumas populações são consideradas finitas e outras populações são consideradas infinitas.
Populações finitas são aquelas que podem ser quantificadas numericamente. Populações infinitas são aquelas que não podem ser quantificadas numericamente.
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Exemplos de população finita
Os clientes do Banco Itaú. Os alunos da Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo.
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Exemplos de população infinita
As Populações infinitas são geradas por um processo contínuo em que os elementos da população são gerados indefinidamente. O número de bactérias em uma colônia de bactérias. O número de habitantes do planeta.
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Amostra
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Alguns métodos Probabilisticos de Amostragem
Amostra Aleatória Simples Amostra Aleatória Sistemática Amostra Aleatória Estratificada
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Amostra Aleatória Simples
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Determinação do Tamanho da Amostra para estimação de MÉDIA considerando uma Amostragem Aleatória Simples
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Qual o valor de n ? Para a obtenção do valor de n é necessário definir a confiança a ser utilizada. Geralmente considera-se 95 % de confiança. A média amostral possui distribuição Normal quando são selecionados pelo menos 30 elementos. Desta forma, o valor que gera uma confiança de 95 % será obtido por meio da Distribuição Normal Padrão (Z=1,96). 1,96 -1,96 95 %
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Qual o valor de n ? Caso o objetivo seja considerar 90 % de confiança o valor obtido por meio da distribuição Normal Padrão é Z=1,64. 1,64 -1,64 90 %
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Qual o valor de n ? Para a obtenção do valor de n é necessário definir a margem de erro (ME) do estudo. A margem de erro (ME) é a diferença esperada entre o valor do parâmetro populacional e o valor obtido com a média amostral
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Qual o valor de n ? Exemplo de margem de erro Considere a afirmação:
Uma pesquisa indica que o ganho mensal médio dos habitantes de uma comunidade é R$ 1200,00 com uma margem de erro de R$ 200,00, para uma confiança de 95 %. Esta afirmação quer dizer que com 95 % de probabilidade o verdadeiro ganho mensal médio dos habitantes da comunidade pode ser um valor entre R$ 1.000,00 e R$ 1.400,00.
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Como a população da comunidade é finita e pretende-se estimar a média populacional o tamanho da amostra a ser retirada é dado pela expressão. Em que : ME é a margem de erro do estudo; Z é o valor da Distribuição Normal que fornece a confiança desejada; N é o tamanho da população; S2 é a variância estimada em uma amostra piloto.
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Deseja-se estimar o ganho mensal médio dos habitantes de uma determinada comunidade.
Seja N= o número de habitantes da comunidade que possuem ganho mensal. Considere que a margem de erro (ME) é R$ 100,00. Considere 95 % de confiança. Desta forma, o valor obtido por meio da Distribuição Normal Padrão é Z=1,96.
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Inicialmente deve-se extrair uma amostra piloto para obter o valor de S2.
Suponha que neste exemplo, foi extraída uma amostra piloto e originou um desvio padrão S=500. Desta forma, S2= O tamanho da amostra é dado por:
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Determinação do Tamanho da Amostra, para estimação de MÉDIA , para População Infinita considerando um amostra aleatória simples
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Quando a população é muito grande (infinita) e pretende-se estimar a média populacional o tamanho da amostra a ser retirada é dado pela expressão. Em que : ME é a margem de erro do estudo Z é o valor da Distribuição Normal que fornece a confiança desejada S2 é a variância estimada por uma amostra piloto.
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Amostra Aleatória Simples
Tamanho da Amostra Amostra Aleatória Simples
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Estimação de Proporção
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População Finita
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Para estimar a proporção amostral de pessoas com intenção em votar em um determinado candidato, por meio de uma amostra aleatória simples, o tamanho da amostra, considerando população finita, é dado por:
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População Infinita
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Tamanho da Amostra, para estimação de proporção, para População INFINITA, considerando uma amostra aleatória simples
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Quando a população é muito grande (infinita) e pretende-se estimar uma proporção, considerando a margem de erro máxima, o tamanho da amostra a ser retirada é dado pela expressão. Em que : ME é a margem de erro do estudo; Z é o valor da Distribuição Normal que fornece a confiança desejada.
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Amostra Aleatória Sistemática
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A amostragem aleatória sistemática é um esquema amostral em que os elementos são selecionados a partir de um critério que é aplicado a toda a população de forma sistemática.
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Pode-se por exemplo selecionar um elemento a cada dois elementos da população.
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Quando se deseja extrair uma amostra sistemática de tamanho n de uma população de tamanho N, deve-se amostrar um elemento a cada para daelementos da população.
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Exemplo: Deseja-se obter uma amostra sistemática de n=2.000
clientes de uma base de dados de N= clientes de uma empresa. Como deve-se selecionar sistematicamente de 6 em 6 clientes.
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Procedimento: Deve-se ordenar a base de dados populacional por algum critério. Por exemplo ordenar a base por idade, renda, tempo de relacionamento. 2. Deve-se selecionar aleatoriamente um elemento dos primeiros elementos da lista populacional. Suponha que entre os 6 primeiros elementos o elemento selecionado foi o terceiro. 3. De forma sistemática deve-se selecionar os elementos de 6 em 6 a partir do terceiro elemento. Sorteado Aleatoriamente entre os 6 primeiros
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Amostra Aleatória Estratificada
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População Finita
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Deve-se extrair uma amostra estratificada quando a população é composta por estratos.
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Gasto Médio de Famílias com Cartão de Crédito em um Supermercado
Exemplo Gasto Médio de Famílias com Cartão de Crédito em um Supermercado
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Suponha que deseja-se estimar o gasto médio com cartão de crédito dos clientes em um supermercado.
Suponha que a população é composta por três estratos. Considere o Estrato 1 os usuários do Mastercard, o Estrato 2 os usuários do Visa e o Estrato 3 os usuários do American Express.
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Suponha que a população é composta por:
Estrato 1 N1= usuários do cartão Mastercard Estrato 2 N2= usuários do cartão Visa Estrato 3 N3=2.000 usuários do American Express
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A população de clientes é distribuída da seguinte forma:
W1 W2 W3
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Para estimar o gasto médio com cartão de crédito dos clientes no supermercado suponha que o gerente de Marketing retirou uma amostra estratificada de n=1.500 clientes distribuída da seguinte forma Amostra do Estrato 1 n1=705 usuários do cartão Mastercard Amostra do Estrato 2 n2=617 usuários do cartão Visa Amostra do Estrato 3 n3=178 usuários do American Express
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Com base na amostra obteve-se o valor gasto médio:
Amostra do Estrato 1 - n1=705 Gasto médio = R$ 650,00 Amostra do Estrato 2 - n2=617 Gasto médio = R$ 450,00 Amostra do Estrato 3 - n3=178 Gasto médio = R$ 1250,00
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O estimador da média populacional, calculado por meio da amostragem estratificada, é dado por:
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A Tabela apresenta o peso de cada estrato e a média amostral do gasto médio do cliente em cada estrato. A média populacional estimada é dado por:
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Neste exemplo pode-se concluir que em média os clientes gastam com o cartão de crédito R$ 650,00.
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Alguns clientes gastam no cartão de crédito mais do que R$ 650,00 e outros gastam menos do que R$ 650,00. Qual o desvio padrão do gasto em cartão de crédito ?
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Para cada estrato pode-se obter a variância e o desvio padrão do gasto do cliente.
Amostra do Estrato 1 Variância = R$ 2.500,00 Desvio padrão = R$ 50,00 Amostra do Estrato 2 Variância = R$ 6.400,00 Desvio padrão = R$ 80,00 Amostra do Estrato 3 Variância = R$ ,00 Desvio padrão = R$ 110,00
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A variância de é dada por:
O desvio padrão é obtido por meio da raiz quadrada da variância.
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A variância de é dada por: 1,89 + 4,22 + 2,33 = 8,44
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A variância de = 8,44 O desvio padrão de =
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A estimativa por intervalo, com 95 % de confiança, para a média populacional é dada por:
(desvio padrão de )
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A estimativa por intervalo, com 95 % de confiança, para o gasto médio dos clientes é dada por:
(desvio padrão de ) Com 95 % de confiança, para o verdadeiro gasto médio dos clientes está entre 644,31 e 655,69.
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Tamanho da Amostra, para estimação de MÉDIA , para População Finita considerando um amostra aleatória estratificada
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Alocação Proporcional
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, d é a margem de erro, , D é o desvio padrão da média
O tamanho da amostra a ser retirada quando a população é finita, considerando três estratos, é dado pela expressão. Em que : , d é a margem de erro, , D é o desvio padrão da média Z é o valor da Distribuição Normal que fornece a confiança desejada; N é o tamanho da população e N1, N2, N3 é o tamanho dos estratos na população; são as variâncias amostrais dos estratos a serem estimadas por uma amostra piloto.
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O tamanho da amostra a ser retirada em cada estrato, quando a população é finita, é dado pela expressão. Em que : N é o tamanho da população; n é o tamanho da amostra; N1, N2, N3 é o tamanho dos estratos na população;
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Tamanho da Amostra, para estimação de MÉDIA , para População Finita e Infinita considerando um amostra aleatória estratificada
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Alocação de Neyman
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O tamanho da amostra a ser retirada quando a população é finita, considerando três estratos, é dado pela expressão. d é a margem de erro Em que : , d é a margem de erro, , D é o desvio padrão da média Z é o valor da Distribuição Normal que fornece a confiança desejada; N é o tamanho da população e N1, N2, N3 é o tamanho dos estratos na população; são as variâncias amostrais dos estratos a serem estimadas por uma amostra piloto.
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O tamanho da amostra a ser retirada em cada estrato, quando a população é finita, é dado pela expressão. Em que : N é o tamanho da população; n é o tamanho da amostra; N1, N2, N3 é o tamanho dos estratos na população;
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1 - Considere uma instituição financeira que deseja obter o tamanho da amostra para estimar a renda de pessoas economicamente ativas de dos 3 maiores municípios de São Paulo. Considere uma precisão de R$ 500,00. Considerar a alocação de Neyman e obter o tamanho da amostra para cada municipio. Considerar uma margem de erro de 90 %.
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População Infinita
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O estimador da média populacional, calculado por meio da amostragem estratificada, é dado por:
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A variância de é dada por:
O desvio padrão é obtido por meio da raiz quadrada da variância.
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Amostragem Estratificada
para Proporção População Finita
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Estimativa da Proporção
Em que Nh: é o número de elementos do estrato h da população; N = número total de elementos do universo de referência; ph = proporção amostral o estrato h;
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Intervalo de Confiança
ESTIMATIVA DA VARIÂNCIA DA PROPORÇÃO ESTIMATIVA DO DESVIO PADRÃO DA PROPORÇÃO Intervalo de Confiança
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Alocação Proporcional
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d é a margem de erro
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Alocação de Neyman
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