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PublicouMarta Gesser Damásio Alterado mais de 6 anos atrás
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Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 204 - ANO 2017 Intervalo de Confiança
Camilo Daleles Rennó
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Intervalo de Confiança
Um parâmetro pode ser estimado através de um único valor (estimador pontual) X f(x) ? Qual a probabilidade de que tenha exatamente o valor de ? X1, X2, ..., Xn amostra (improvável) Uma alternativa é definir um intervalo de estimativas mais prováveis de acordo com a distribuição teórica da estatística (estimador), que é uma v.a. Para isso, é necessário conhecer esta distribuição
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Intervalo de Confiança para
amostra aleatória distribuição desconhecida, desconhecido, mas 2 conhecido Se : Se n for grande (ou seja, adotando-se o TLC): mesmo não se conhecendo a distribuição de X X f(x) ? X1, X2, ..., Xn amostra f( )
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Intervalo de Confiança para
distribuição desconhecida, desconhecido, mas 2 conhecido se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC) - + (Normal Padrão) valores mais freqüentes
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Intervalo de Confiança para
distribuição desconhecida, desconhecido, mas 2 conhecido se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC) Z (Normal Padrão) - + -z z nível de significância nível de confiança IC para m
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Intervalo de Confiança para
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média m também desconhecida e variância s2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que - + 95% z -z 2,5% ?
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Intervalo de Confiança para
- + z
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Intervalo de Confiança para
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média m também desconhecida e variância s2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que - + 95% z -z 2,5% ? Como poderia obter intervalos de confiança mais estreitos, ou seja, com limites mais próximos da média verdadeira? 1,96 diminuindo-se o nível de confiança aumentando-se o tamanho da amostra
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Como Interpretar o IC para ?
Suponha uma v.a. X normalmente distribuída com = 10 e 2 = 4 Sorteia-se 50 valores aleatoriamente e calcula-se . Em seguida determina-se o IC para com 95% de confiança, ou seja (O IC varia para cada amostra!!!) Através de simulações, foram gerados inúmeros IC, um para cada amostra... não contém ! Interpretação: 95% dos possíveis IC obtidos a partir de uma amostra de tamanho 50, conterão de fato a verdadeira média (ver IC.xls)
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Intervalo de Confiança para 2
Antes de construir o Intervalo de Confiança para 2, é preciso apresentar a distribuição Qui-quadrado, que é a base para a construção desse IC.
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Distribuição 2 + + (lê-se qui-quadrado) g > 2 g 2
+ g > 2 + g 2 (lê-se: X tem distribuição qui-quadrado com g graus de liberdade) Propriedades: a) se , então b) se , então
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Distribuição 2 +
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Distribuição 2 +
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Distribuição 2 amostra aleatória Se
(a distribuição da população deve ser normal!) Substituindo-se por tem-se que (perde-se 1 grau de liberdade) mas
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Intervalo de Confiança para 2
2 + IC para 2
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Intervalo de Confiança para 2
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média m e variância s2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a variância amostral. Construa um IC de 95% para s2 supondo que s2 = 2,34. + ? ?
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Distribuição 2 +
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Intervalo de Confiança para 2
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média m e variância s2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a variância amostral. Construa um IC de 95% para s2 supondo que s2 = 2,34. + ? ? 12,40 39,36
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Graus de liberdade De modo geral, pode-se entender “grau de liberdade” como o número de valores que, no final de um cálculo de uma estatística, estão “livres para variarem”, ou seja, que têm o comportamento de variáveis aleatórias. Por exemplo: deseja-se avaliar os desvios em torno da média a partir de uma amostra de 3 valores retirados de uma população normalmente distribuída. Amostra: ( é conhecida) Quais são os valores possíveis de serem obtidos nesta amostra? R: Neste caso, posso escolher “livremente” quaisquer 3 valores entre - e + -3,5 ? 0,5 100,9
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Graus de liberdade Agora, se é desconhecido e o substituímos por ...
Amostra: Como então Assim, ao se escolher os dois primeiros valores, o terceiro é necessariamente conhecido. Neste caso, perde-se 1 grau de liberdade -1,5 ? 0,1 1,4 As perdas de graus de liberdade acontecem sempre que um parâmetro é substituído por seu estimador
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Intervalo de Confiança para com 2 desconhecida
Para construir o Intervalo de Confiança para com 2 desconhecida, é necessário apresentar uma nova distribuição chamada t de Student.
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Distribuição t de Student
tg - + (lê-se: X tem distribuição t de Student com g graus de liberdade) Propriedades: a) se e então b) se então
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Distribuição t de Student
- t +
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Distribuição t de Student
amostra aleatória Se (a distribuição da população deve ser normal!) Lembrete:
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Intervalo de Confiança para com 2 desconhecida
e 2 desconhecidos T - + -t t IC para m
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Intervalo de Confiança para com 2 desconhecida
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média m e variância s2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral e a variância amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que e s2 = 16. - + 95% t -t 2,5% ?
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Distribuição t de Student
- t +
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Intervalo de Confiança para com 2 desconhecida
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média m e variância s2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral e a variância amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que e s2 = 16. - + 95% t -t 2,5% ? 2,064
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Intervalo de Confiança para proporção p
Numa urna, há N bolas, sendo K vermelhas e N – K azuis. Assim, pode-se dizer que K/N representa a proporção p de bolas vermelhas na urna (que por sua vez, representa a probabilidade de se selecionar uma bola vermelha desta urna). Mas se N e K são desconhecidos, como estimar p? Considere que n bolas são escolhidas ao acaso (com reposição), definindo-se Y como o número de bolas vermelhas entre as n selecionadas, qual a distribuição de Y? Y ~ Binomial(n, p) Xi ~ Bernoulli p = P(Xi = 1) Proporção Amostral (se n é grande)
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Intervalo de Confiança para proporção p
Z - + z -z IC para p
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Intervalos de Confiança (Resumo)
para se 2 é conhecida se 2 é desconhecida para 2 para p
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Intervalos de Confiança (Resumo)
Observações importantes: Os ICs são construídos a partir de uma estatística que relaciona o estimador pontual ao seu parâmetro; Para se conseguir ICs mais estreitos, conservando-se o mesmo nível de confiança, deve-se aumentar o tamanho da amostra; Caso o IC seja utilizado para verificar se o parâmetro para o qual o IC foi construído tem um determinado valor, deve-se aceitar qualquer valor presente dentro do intervalo, considerando o nível de confiança adotado; Ex: se o IC para for P(20,3 < < 43,8) = 95% pode ser 30? SIM* considerando 95% de confiança pode ser 21? SIM pode ser 45? NÃO “não se pode negar que ela seja 30” ou “não se pode afirmar que a verdadeira média não seja 30”
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