Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 203 - ANO 2014 Intervalo de Confiança Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/

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1 Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 203 - ANO 2014 Intervalo de Confiança
Camilo Daleles Rennó

2 Intervalo de Confiança para 
distribuição desconhecida,  desconhecido, mas 2 conhecido Se : Se n for grande (ou seja, adotando-se o TLC): mesmo não se conhecendo a distribuição de X

3 Intervalo de Confiança para 
distribuição desconhecida,  desconhecido, mas 2 conhecido se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC) (Normal Padrão) - + valores mais freqüentes

4 Intervalo de Confiança para 
distribuição desconhecida,  desconhecido, mas 2 conhecido se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC) Z (Normal Padrão) - + -z z nível de significância nível de confiança IC para m

5 Intervalo de Confiança para 
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média m também desconhecida e variância s2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que - + 95% z -z 2,5% ? Como poderia obter intervalos de confiança mais estreitos, ou seja, com limites mais próximos da média verdadeira? 1,96 diminuindo-se o nível de confiança aumentando-se o tamanho da amostra

6 Como Interpretar o IC para ?
Suponha uma v.a. X normalmente distribuída com  = 10 e 2 = 4 Sorteia-se 50 valores aleatoriamente e calcula-se . Em seguida determina-se o IC para  com 95% de confiança, ou seja (O IC varia para cada amostra!!!) Interpretação: 95% dos possíveis IC obtidos a partir de uma amostra de tamanho 50, conterão de fato a verdadeira média   (ver IC.xls)

7 Distribuição 2 + + (lê-se qui-quadrado) g > 2 g  2
+ g > 2 + g  2 (lê-se: X tem distribuição qui-quadrado com g graus de liberdade) Propriedades: a) se , então b) se , então

8 Distribuição 2 +

9 Distribuição 2 +

10 Distribuição 2 Se Substituindo-se  por tem-se que
(perde-se 1 grau de liberdade) mas

11 Intervalo de Confiança para 2
2 + IC para 2

12 Intervalo de Confiança para 2
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média m e variância s2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a variância amostral. Construa um IC de 95% para s2 supondo que s2 = 2,34. + ? ? 12,40 39,36

13 Distribuição t de student
tg - + (lê-se: X tem distribuição t de student com g graus de liberdade) Propriedades: a) se e então b) se então

14 Distribuição t de student
- t +

15 Distribuição t de student
Se

16 Intervalo de Confiança para 
 e 2 desconhecidos T - + -t t IC para m

17 Intervalo de Confiança para 
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média m e variância s2 também desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral e a variância amostral. Construa um IC de 95% para m supondo que e s2 = 16. - + 95% t -t 2,5% ? 2,064

18 Inferência entre parâmetros de duas populações
Mesmo não se conhecendo as médias 1 e 2, seria possível verificar se elas são iguais a partir de seus valores amostrais? Se 1 e 2 são iguais, então 1 - 2 = 0. Mas quanto vale ?

19 Intervalo de Confiança para 1 - 2
desconhecidas, mas conhecidas Z - + z -z IC para m1 - m2

20 Intervalo de Confiança para 1 - 2
e desconhecidas (fazendo )

21 Intervalo de Confiança para 1 - 2
e desconhecidas

22 Intervalo de Confiança para 1 - 2
e desconhecidas

23 Intervalo de Confiança para 1 - 2
e desconhecidas - + t -t IC para m1 - m2 (atenção: t homocedástico)

24 Intervalo de Confiança para 1 - 2
e desconhecidas (considerando ) - + t -t IC para m1 - m2 (atenção: t heterocedástico)

25 Distribuição F (de Snedecor)
+ (lê-se: X tem distribuição F com g1 e g2 graus de liberdade) Propriedades: + a) se e então b) se então +

26 Distribuição F + F g1 g2

27 Distribuição F + F g1 g2

28 Distribuição F + F g1 g2

29 Distribuição F Se

30 Intervalo de Confiança para
e desconhecidas + F OBS: por exemplo, se 1 -  = 95% IC para

31 IC para 1 - 2 e Exemplo: duas v.a. quaisquer têm distribuições desconhecidas com médias e variâncias também desconhecidas. Retira-se uma amostra de cada população e calcula-se a média e a variância para cada amostra. Construa um IC de 95% para a razão entre variâncias e para a diferença entre médias supondo que + IC para ? As variâncias podem ser iguais? R: não há razão para discordar disso.  pode-se fazer o IC para m1 - m2 (homocedástico)

32 IC para 1 - 2 e Exemplo: duas v.a. quaisquer têm distribuições desconhecidas com médias e variâncias também desconhecidas. Retira-se uma amostra de cada população e calcula-se a média e a variância para cada amostra. Construa um IC de 95% para a razão entre variâncias e para a diferença entre médias supondo que - + 95% t -t 2,5% IC para m1 - m2 ? 1,997 m1 = m2?  m1 < m2

33 Intervalo de Confiança para proporção p
Numa urna, há N bolas, sendo K vermelhas e N – K azuis. Assim, pode-se dizer que K/N representa a proporção p de bolas vermelhas na urna (que por sua vez, representa a probabilidade de se selecionar uma bola vermelha desta urna). Mas se N e K são desconhecidos, como estimar p? Considere que n bolas são escolhidas ao acaso (com reposição), definindo-se Y como o número de bolas vermelhas entre as n selecionadas, qual a distribuição de Y? Y ~ Binomial Xi ~ Bernoulli p = P(Xi = 1) Proporção Amostral (se n é grande)

34 Intervalo de Confiança para proporção p
Z - + z -z IC para p

35 Intervalo de Confiança para p1 – p2
- + z -z IC para p1 – p2

36 Intervalos de Confiança (Resumo)
para  se 2 é conhecida se 2 é desconhecida para 2 para 1 - 2 se e são conhecidas se e são desconhecidas, mas para para p para p1 – p2

37 Intervalos de Confiança (Resumo)
para  se 2 é conhecida se 2 é desconhecida para 2 para p