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Estatística Aula 19 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado.

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1 Estatística Aula 19 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de Assis

2 Aula 19 Margem de Erro e Erro Padrão da Média Margem de Erro e Erro Padrão da Média Introdução a intervalos de confiança Introdução a intervalos de confiança Cálculo do tamanho da amostra para Cálculo do tamanho da amostra para Média Média

3 Introdução a intervalos de confiança Introdução a intervalos de confiança Vimos pelo teorema central do limite se tomarmos amostras de tamanho n grande surge uma distribuição amostral das médias e X ~ N (, 2 /n) _ No caso dos alunos, cada amostra de 5 alunos (n = 5) é uma estimativa pontual do valor da população (N = 87 alunos) Média das médias = = 1,7098, quando n Mais perto de Mais longe de

4 X ~ N (, 2 /n) _ cada média amostral é uma estimativa pontual Introdução a intervalos de confiança Introdução a intervalos de confiança

5 Vamos falar agora de outra abordagem estimativa intervalar ou intervalo de confiança (IC) Valor da população = Valor da amostra + Faixa Parâmetro Estimativa pontual IC Margem de erro Introdução a intervalos de confiança Introdução a intervalos de confiança

6 E - E + IC Nível de confiança Introdução a intervalos de confiança Introdução a intervalos de confiança

7 Interpretação do IC Introdução a intervalos de confiança Introdução a intervalos de confiança Se um n o infinito de amostras aleatórias for coletado e um IC de 95% (ou 90% ou 80%...) para for calculado a partir de cada amostra, então 95% (ou 90% ou 80%...) desses intervalos conterão o valor verdadeiro de (nosso caso ) Na prática, tomamos uma amostra de tamanho conveniente e dizemos há 95% de chance de que o IC de nossa amostra conter ( em nosso caso)

8 NC = 1 - Introdução a intervalos de confiança Introdução a intervalos de confiança /2 Estamos confiantes 100. (1 – )% de que estará no IC

9 X ~ N (, 2 /n) _ Margem de erro e erro padrão da média Nível de confiança (NC) probabilidade que nos diz o quanto estamos confiantes de que estará no IC Se NC for de 95% estamos confiantes 95 % de que estará na faixa Erro Padrão da Média

10 X ~ N (, 2 /n) _ Margem de erro e erro padrão da média O que é o score? Vimos que A Distribuição amostral das médias se aproxima da curva normal para n suficientemente grande (n > 30), da forma seguinte Logo podemos utilizar a curva normal padrão com a variável reduzida z score = z ou ainda score = z c

11 NC = 1 - /2 Estamos confiantes 100. (1– )% de que estará no IC Margem de erro e erro padrão da média -z c zczc NCzczc 90%1,645 95%1,960 99%2,575

12 Exemplo: uma pesquisa foi realizada para se estimar a renda média familiar, em uma população com desvio padrão de R$ 50,00. Para isto tomou uma amostra de 80 famílias. A média nesta amostra foi de R$ 500,00. Adotou-se 95% de NC. Pergunta-se: Margem de erro e erro padrão da média a)Qual a estimativa pontual da média populacional? b) Qual a margem de erro da pesquisa? c) Qual o IC?

13 a) b) Margem de erro e erro padrão da média - E < µ < + E Com 95% de confiança c) ,96 < µ < ,96 489,04 < µ < 510,96

14 Exemplo: Se o desvio padrão da estatura dos alunos do Ctec é de 0,09 m, qual a média populacional com o NC de 90%, tomando uma amostra de 30 alunos e média amostral de 1,71? Margem de erro e erro padrão da média

15 Estimação da média para desconhecido Atenção Para Preciso de Para Preciso de Então substituo por s (desvio padrão amostral) Esta troca gera problemas se a amostra for pequena n pequeno

16 Se substituirmos por outro o efeito será uma má estimação de para n pequeno Usaremos para compensar amostras pequenas a Distribuição t de Student Estimação da média para desconhecido Como é esta distribuição (comparando com a curva normal padrão)...

17 Ela é diferente para tamanhos de amostras diferentes Ela tem a mesma forma geral da DN padrão, mas é mais larga com pequenas amostras Distribuição t de Student

18 Mas o desvio padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho amostral e é maior que 1 À medida que n aumenta, a ela se aproxima da DN padrão Distribuição t de Student Ela também tem uma média de t = 0

19 Uso da tabela da curva t 1)Tem que ser dado o valor de n e o NC 2)Em seguida calcula-se o número de graus de liberdade gl = n - 1 3)Pegar o valor de t c Distribuição t de Student

20 Exemplo: pesquisa para se estimar a renda média familiar. Tomou-se uma amostra de 80 famílias. A média nesta amostra foi de R$ 800,00 e o desvio padrão foi de R$ 100,00. Adotou-se 95% de NC. Pergunta-se: a)Qual a estimativa pontual da média populacional? b) Qual a margem de erro da pesquisa? c) Qual o IC? Estimação da média para desconhecido

21 a) b) Com 95% de confiança c) 800 – 22,25 < µ < ,25 777,75 < µ < 822,25 Número de graus de liberdade: gl = n – 1 = 79 curva t : 2 caudas 0,05, t c = 1,99 Estimação da média para desconhecido

22 Tabela da distribuição t de Student

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25 Cálculo do tamanho da amostra n Quando planejamos uma pesquisa, fazemos o inverso: Adotamos E e calculamos n População Infinita População Finita n 5% N Pode-se adotar o desvio padrão amostral para se determinar n depois, deve-se calcular a E verdadeira

26 Estatística Aula 19 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de Assis


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