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Estatística Aula 15 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado.

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1 Estatística Aula 15 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

2 Aula 15 Distribuição Binomial Distribuição Binomial

3 Introdução Até o momento vimos: O que é um experimento aleatório e a função variável aleatória Variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas A partir delas podemos construir a distribuição de probabilidade e a função f(x) = P(X=x) f(x) função de probabilidade para v.a. discretas e função de densidade de probabilidade para v.a. contínuas A partir de agora vamos estudar distribuições de probabilidade consagradas Vimos o que é esperança matemática e variância para distribuições discretas Distribuição Binomial

4 Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: Temos 4 tentativas, independentes uma da outra A probabilidade de acertar uma questão (probabilidade de sucesso) é A probabilidade de não acertar uma questão qualquer (probabilidade de falha) é q = 1 – p = 0,80 Estas probabilidades permanecem constantes a cada questão (tentativa ou prova) Distribuição Binomial

5 Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: Chamando de x o número de sucessos (acertos de questões): P (X = 3) = 0,20. 0,20. 0,20. 0,80 = 0,2 3. 0,8 = 0,0064 ou 0,64% Esta resposta está errada! Não existe somente uma maneira de alguém acertar 3 questões! Distribuição Binomial

6 Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: Distribuição Binomial Q1 Q2 Q3 Q4 C C E E E E E E E E C C E E E E E E E E C C E E E E E E E E C C Existem 4 maneiras! P 1 (X = 3) = 0,0064 P 2 (X = 3) = 0,0064 P 3 (X = 3) = 0,0064 P 4 (X = 3) = 0,0064 P (X = 3) = 4. 0,0064 = 0,0256

7 Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: Distribuição Binomial O número total de permutações (arranjos) é 4 número total de arranjos de n itens quando x deles são idênticos entre si Para nosso caso

8 Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: Distribuição Binomial Caso típico de experimento aleatório binomial A fórmula da distribuição de probabilidade binomial é uma combinação da regra da multiplicação da probabilidade (eventos independentes) com a regra da contagem de arranjos de n itens quando x deles são idênticos entre si

9 É a mais famosa distribuição de probabilidade de v.a. Discreta responde à pergunta: Distribuição Binomial qual a probabilidade de haver x sucessos em n tentativas em um experimento aleatório? com: (a) número fixo de provas ou tentativas n; (b) provas que são independentes; (c) Cada prova deve ter todos os resultados classificados em 2 categorias (cara ou coroa, candidato A ou candidato B, marca A ou marca B, chuva ou não, ) (d) as probabilidades de sucesso (p) ou falha (q = 1 - p) devem permanecer constantes para cada prova.

10 Exemplo: Se 10% dos alunos são canhotos, qual a probabilidade de se obter exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes? Distribuição Binomial N o de tentativas fixo = 15 Resultados classificados em 2 categorias = canhoto ou destro p = 0,10 e q = 0,90

11 Distribuição Binomial Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X = n o de caras obtidas Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X = n o de caras obtidas Um tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X = n o de peças defeituosas nas próximas 25 peças produzidas Um tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X = n o de peças defeituosas nas próximas 25 peças produzidas Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula rara particular. Seja X = n o de amostras de ar que contêm a molécula rara nas próximas 18 amostras analisadas Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula rara particular. Seja X = n o de amostras de ar que contêm a molécula rara nas próximas 18 amostras analisadas De todos os bits transmitidos através de um canal digital de transmissão, 10% são recebidos com erros. Seja X = n o de bits com erro nos próximos 5 bits transmitidos De todos os bits transmitidos através de um canal digital de transmissão, 10% são recebidos com erros. Seja X = n o de bits com erro nos próximos 5 bits transmitidos Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja X = n o de nascimentos de meninas Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja X = n o de nascimentos de meninas Sabe-se que há a probabilidade de vazões médias diárias máximas anuais serem maiores que m 3 /s é de 1%. Seja X = n o de vezes em que este valor é superado nos próximos 10 anos Sabe-se que há a probabilidade de vazões médias diárias máximas anuais serem maiores que m 3 /s é de 1%. Seja X = n o de vezes em que este valor é superado nos próximos 10 anos Outros exemplos

12 Distribuição Binomial Em um experimento binomial, a variável aleatória X, Em um experimento binomial, a variável aleatória X, que é igual ao número de tentativas que resultam em que é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros p e n = 1, 2, 3, … parâmetros p e n = 1, 2, 3, … A função de probabilidade de X é: A função de probabilidade de X é: p = probabilidade de sucesso em cada tentativa n = número de tentativas f(x) = probabilidade de x sucessos em n tentativas

13 Distribuição Binomial onde representa o número de combinações de n objetos tomados x de cada vez, calculado como :

14 Distribuição Binomial Exemplo Suponha que 30% dos clientes de uma empresa de aviação civil têm por destino o exterior. Se sortearmos 10 clientes ao acaso, qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos estejam viajando para o exterior? Suponha que 30% dos clientes de uma empresa de aviação civil têm por destino o exterior. Se sortearmos 10 clientes ao acaso, qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos estejam viajando para o exterior? Portanto, a chance de que exatamente 4 indivíduos estejam viajando ao exterior é de aproximadamente 20%.

15 Distribuição Binomial Exemplo Um produto eletrônico possui 42 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito integrado seja defeituoso é de 0,02. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de que o produto opere? Um produto eletrônico possui 42 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito integrado seja defeituoso é de 0,02. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de que o produto opere? Se X designar os circuitos defeituosos, é necessário que X = x =0 para que o produto opere. Daí, p = 0,02, com n = 42.

16 Distribuição Binomial Exemplo Se historicamente a ocorrência de produtos defeituosos de Se historicamente a ocorrência de produtos defeituosos de um processo é p = 0,10, qual é a probabilidade de encontrar um processo é p = 0,10, qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso em uma amostra de tamanho n = 15? um produto defeituoso em uma amostra de tamanho n = 15?

17 Distribuição Binomial Exemplo Considerando uma amostra constituída por 10 pessoas observadas ao acaso, qual a probabilidade de a maioria das pessoas ser favorável ao governo?

18 Distribuição Binomial Temos um experimento binomial, para o qual n =10 e p = 0,7, admitindo-se que X é a v.a. associada ao número de pessoas favoráveis ao governo Exemplo P(X > 5) = f(6) + f(7) + f(8) + f(9) + f(10) P(X > 5) = 0,8497 f(x)

19 Distribuição Binomial Esperança Parâmetros da Distribuição Binomial: n, p. Variância Desvio padrão

20 Distribuição Binomial Demonstração Consideremos a v.a. de Bernoulli X, definida como Então,

21 Distribuição Binomial Demonstração Considerando os valores x 1, x 2, …, x n, referentes às n provas independentes: Como as provas são independentes, a variância de X é a soma das variâncias individuais. Logo:

22 Distribuição Binomial Simulações – Distribuição binomial

23 Distribuição Binomial Simulações – Distribuição binomial

24 Distribuição Binomial Simulações – Distribuição binomial

25 Distribuição Binomial Vê-se que: Vê-se que: Para p = 0,5, a forma da distribuição é simétrica Para p 0,5, a distribuição é assimétrica n=30, p=0,50 n=30, p=0,25n=30, p=0,75

26 Distribuição Binomial Fez-se a contagem de E. Coli em 10 amostras de água. As contagens positivas, expressas em centenas de organismos por 100 ml de água (10 2 /100ml), são 17, 21, 25, 23, 17, 26, 24, 19, 21 e 17, com média e a variância amostrais iguais a 21 e 10,6 respectivamente. Suponha que N represente o número total dos diferentes organismos presentes em cada amostra (número de tentativas) e que p represente a fração correspondente ao organismo E. Coli (probabilidade de sucesso). Se X denota o número de E. Coli (10 2 /100ml) em cada amostra, estimar P(X = 20). (adap. de Kottegoda e Rosso, 1997). Exemplo Solução: No caso presente, não conhecemos os verdadeiros valores numéricos da média e da variância populacionais. Entretanto, podemos estimá-los pelos valores amostrais de média e desvio padrão

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