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Estatística Aula 11 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado.

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1 Estatística Aula 11 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

2 Aula 11 Regra da Multiplicação Regra da Multiplicação Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Independência de Eventos Independência de Eventos

3 Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Estamos interessados na probabilidade de o evento A ocontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em uma segunda prova Palavra – chave e Notação P(A e B ) = P(evento A ocorrer na primeira prova e evento B ocorrer na segunda prova)

4 Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Exemplo: Supor que em um teste temos duas questões: a 1ª é verdadeiro ou falso e a 2ª possui 5 alternativas (a, b, c, d, e). Qual a probabilidade de que, se uma pessoa responde aleatoriamente as ambas as questões, a 1ª resposta esteja certa e a 2ª resposta esteja certa? Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c Queremos P(V e c)

5 Propriedades Básicas Regra da Multiplicação 1ª 2ª Resultados possíveis V V e e a a b b c c d d VaVbVcVdVe Espaço amostral F F e e a a b b c c d d FaFbFcFdFe 2 x 5 = 10

6 Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Se vocês prestaram a atenção P(V) P(c) P(V e C) = P(V). P(c) Acertar a 2ª questão depende de ter acertado a 1ª ? Este problema foi resolvido com o auxílio de um diagrama de árvore porque o no de resultados possíveis não foi muito grande

7 Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Pelo menos 1... Pelo menos um é equivalente a um ou mais Ache a probabilidade de que, entre várias provas, pelo menos uma forneça um resultado especificado O complementar de se obter pelo menos um de um item particular é não se obter qualquer item daquele tipo

8 Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Pelo menos 1... Exemplo: Ache a probabilidade de uma casal ter, pelo menos, 1 menina entre 3 crianças. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança seja independente do sexo de qualquer outro irmão ou irmã Seja A = pelo menos 1 das 3 crianças é menina Evento complementar: = não obter pelo menos 1 menina em 3 crianças = todas as 3 crianças são meninos = menino, menino, menino menino-menino-menino menino-menino-menina menino-menina-menino menino-menina-menina menina-menino-menino menina-menino-menina menina-menina-menino menina-menina-menina

9 Para achar a probabilidade de pelo menos um de alguma coisa, calcule a probabilidade de nenhum, então subtraia o resultado de 1 Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Pelo menos 1... P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum)

10 Probabilidade Condicional Como será que a probabilidade de um evento muda Como será que a probabilidade de um evento muda após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos leva à idéia de probabilidade condicional leva à idéia de probabilidade condicional A idéia de probabilidade condicional está intimamente A idéia de probabilidade condicional está intimamente relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento Uma probabilidade condicional nada mais é do que Uma probabilidade condicional nada mais é do que uma probabilidade calculada não mais a partir do uma probabilidade calculada não mais a partir do espaço amostral inteiro E, e sim a partir de um espaço amostral inteiro E, e sim a partir de um subconjunto de E subconjunto de E

11 Probabilidade Condicional Suponha uma população com N indivíduos Suponha uma população com N indivíduos Suponha dois eventos: Suponha dois eventos: A: o indivíduo é do sexo feminino A: o indivíduo é do sexo feminino B: o indivíduo é daltônico B: o indivíduo é daltônico Pode-se definir as probabilidades Pode-se definir as probabilidades P(A) = N f / N P(A) = N f / N P(B) = N d / N P(B) = N d / N Poderíamos estar interessados em saber a probabilidade de Poderíamos estar interessados em saber a probabilidade de ser daltônico dentro da população feminina ser daltônico dentro da população feminina ou seja: P(B|A) = N df / N f ou seja: P(B|A) = N df / N f dividindo os dois lados por N: dividindo os dois lados por N: Motivação

12 Probabilidade Condicional A B A B Espaço amostral E A B A B Na probabilidade condicional, A faz o papel do espaço amostral E Motivação

13 Qual a Prob. de que a 1ª tenha vagem verde e 2ª amarela? Probabilidade Condicional Exemplo da genética Se 2 ervilhas são escolhidas aleatoriamente sem reposição...

14 Probabilidade Condicional Exemplo da genética 1ª seleção: Há 14 ervilhas, 8 das quais têm vagem verde 2ª seleção: Restam 13 ervilhas, 6 das quais têm vagem amarela

15 Probabilidade Condicional O ponto chave é que temos que ajustar a probabilidade do 2º evento para refletir o resultado do 1º evento A probabilidade para o 2º evento B tem que levar em conta o fato de que o 1º evento A já ocorreu P (B | A) lê-se P de B dado A Notação P(A e B) = P(A). P(B|A)

16 Probabilidade Condicional Ao calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela a probabilidade do evento B, mas certifique- se de que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A Formal P(A B) = P(A). P(B|A)

17 Probabilidade Condicional Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, chama-se P(B | A) a probabilidade condicional de B dado A (ou probabilidade de B condicionada a A) definida pela expressão Definição Analogamente:(com P(B) > 0)

18 Probabilidade Condicional Se A e B são disjuntos: A B Caso geral: B A Se B A : U A B Se A B : U B A

19 Probabilidade Condicional Uma vez que: e e Temos: Logo:

20 Esse resultado é também conhecido como Teorema da Multiplicação Este teorema nos permite escrever uma probabilidade condicional em termos da probabilidade condicional inversa, o que é útil quando uma delas for difícil de calcular Em particular: Probabilidade Condicional

21 Exemplo 1 Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior, 20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de diploma do curso superior e microempresários. Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que ele tem diploma de curso superior. Sejam os eventos: A = { pessoa tem diploma de curso superior } A = { pessoa tem diploma de curso superior } B = { pessoa é um microempresário } B = { pessoa é um microempresário }

22 Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente. Então: Probabilidade Condicional Exemplo 1 P( A ) = 40/50, P( B ) = 20/50 e P( A B ) = 10/50 Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se que ela tem diploma de curso superior A probabilidade deste evento é diferente da probabilidade da pessoa ser microempresária, visto que agora o espaço amostral não consiste mais nas 50 pessoas originais, mas apenas naquelas que possuem diploma de curso superior

23 Probabilidade Condicional Exemplo 1 A probabilidade condicional de que uma pessoa seja microempresária sabendo-se que ela tem diploma de curso superior é dada por: O exemplo mostra que devemos olhar para as 10 pessoas na interseção dentre as 40 pessoas com diploma de curso superior O nosso espaço amostral, ao calcular a probabilidade condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso superior, e não mais às 50 pessoas do grupo original Observações

24 Probabilidade Condicional Exemplo 2 Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa: 35 são homens e fumantes, 35 são homens e fumantes, 28 são homens e não fumantes, 28 são homens e não fumantes, 17 são mulheres e fumantes, 17 são mulheres e fumantes, 20 são mulheres e não fumantes. 20 são mulheres e não fumantes. Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ser fumante, considerando que ele seja homem? acaso ser fumante, considerando que ele seja homem?

25 Probabilidade Condicional Exemplo 2 Sejam os eventos: Sejam os eventos: A = { o funcionário é fumante } A = { o funcionário é fumante } B = { o funcionário é homem } B = { o funcionário é homem }

26 Probabilidade Condicional Exemplo 2 Note que, quando definimos que o evento B correu (o funcionário é homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A (o funcionário é fumante) O novo universo passa a ser o próprio evento B

27 Probabilidade Condicional Exemplo 2 Utilizando o número de elementos de cada conjunto: P(A | B) = 35/63 = 0,556 Ou empregando a expressão da definição: P(B) = 63/100 = 0.63 P(A B) = 35/100 = 0.35 P(A | B) = P(A B)/P(B) = 0,35/0,63 = 0,556

28 Probabilidade Condicional Exemplo 3 Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser 8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado. Sejam os eventos: A = { a soma das duas faces é 8 } B = { ocorre face 3 no primeiro dado } Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36 A = { (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) } B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) } (3;5)

29 Independência de Eventos Dois eventos A e B são independentes quando se verifica: e Portanto, se A e B são eventos independentes vale:

30 Independência de Eventos Dois eventos são independentes se qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira: 1)P(AB) = P(A) 2)P(BA) = P(B) 3)P(A B) = P(A). P(B)

31 Probabilidade Condicional Exemplo 4 A tabela abaixo descreve a história de 84 amostras de ar, com base na presença de duas moléculas raras. Faça A denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 1 e B denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 2. Calcule P(B) e P(BA). Molécula 1 NãoSim Molécula 2 Não3224 Sim1612

32 Probabilidade Condicional Exemplo 4 Resposta: P(B) = 28 / 84 = 0,333 P(A) = 36 / 84 = 0,428 P(BA) = P(A B)/P(A) = (12/84) / (36/84) = 12/36 = 0,333 P(A B) = P(A). P(B) = (36/84).(28/84) = 0,142 P(A B) = 12/84 = 0,142

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