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Estatística Aula 12 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado.

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1 Estatística Aula 12 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

2 Aula 12 Independência de Eventos (continuação) Independência de Eventos (continuação) Teorema de Bayes Teorema de Bayes Aplicações Aplicações

3 Independência de Eventos Se A e B são eventos independentes, a ocorrência de B Se A e B são eventos independentes, a ocorrência de B não traz qualquer informação adicional sobre A não traz qualquer informação adicional sobre A Informalmente falando, um evento não tem Informalmente falando, um evento não tem nada a ver com o outro! nada a ver com o outro!

4 Independência de Eventos Dois eventos A e B são estatisticamente independentes quando: Do contrário, A e B são eventos dependentes Do contrário, A e B são eventos dependentes Se P(A) e P(B) são ambos maiores que zero: Se P(A) e P(B) são ambos maiores que zero: P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)

5 Independência de Eventos E se A e B são mutuamente exclusivos... São também E se A e B são mutuamente exclusivos... São também independentes? independentes? Mas Suponha P(B) > 0 Suponha P(A) > 0 Mas

6 Independência de Eventos Então Então - Se P(A) e P(B) são estritamente positivos (>0) e A e B - Se P(A) e P(B) são estritamente positivos (>0) e A e B são eventos mutuamente exclusivos: são eventos mutuamente exclusivos: Então A e B NÃO SÃO estatisticamente independentes, pois P(A|B) = 0 P(A) e P(B|A) = 0 P(B) - Logo, se os eventos A e B são independentes e - Logo, se os eventos A e B são independentes e mutuamente exclusivos: mutuamente exclusivos: Pelo menos um deles tem probabilidade nula, pois é a única forma de P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)

7 Se P(A) = 0,35, P(B) = 0,8 e P(AB) = 0,28, A e B são Se P(A) = 0,35, P(B) = 0,8 e P(AB) = 0,28, A e B são independentes? independentes? Independência de Eventos Exemplo 1 P(A). P(B) = 0,35. 0,8 = 0,28 Como P(A). P(B) = P(AB), A e B são independentes Exemplo 2 Se P(A|B) = 0,4, P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6, os eventos A e B Se P(A|B) = 0,4, P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6, os eventos A e B são independentes? são independentes? Uma vez que P(A|B) P(A), os eventos não são independentes

8 Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem mutuamente excludentes, eles serão independentes? mutuamente excludentes, eles serão independentes? Independência de Eventos Exemplo 3 Se A e B são mutuamente excludentes, e admitimos que eles são independentes, então: P(A). P(B) = P(AB) = 0, pois pelo menos um deles tem probabilidade nula Mas.. Como P(A). P(B) = 0,04 0, os eventos A e B não são independentes

9 Exemplo 4 Independência de Eventos Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas em um Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas em um shopping-center com o objetivo de investigar a relação shopping-center com o objetivo de investigar a relação entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito. entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito. A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se: A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se: existe independência entre renda e posse de cartões existe independência entre renda e posse de cartões de crédito? de crédito?

10 Se existe independência entre as duas variáveis, então: Se existe independência entre as duas variáveis, então: P(A i B j ) = P(A i ).P(B j ) para todos i e j P(A i B j ) = P(A i ).P(B j ) para todos i e j Onde A i indica o nível de renda e B j o número de cartões de crédito Onde A i indica o nível de renda e B j o número de cartões de crédito Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMA Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMA célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes Independência de Eventos

11 Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que: Independência de Eventos P(renda abaixo de R$500 E nenhum cartão) = 260/1000 = 0,26 Mas: P(renda abaixo de R$500) = 330/1000 = 0,33 P(nenhum cartão) = 530/1000 = 0,53 Ora, como 0,33.0,53 = 0,17 (0,26), segue-se que as variáveis renda familiar e número de cartões de crédito são dependentes.

12 Partição do Espaço Amostral Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços E B1B1B1B1 B2B2B2B2 B3B3B3B3 B4B4B4B4 B5B5B5B5 Qual é o conjunto ? ? ? ?

13 Partição do Espaço Amostral Um conjunto de eventos {B i }, i = 1,..., n constitui uma partição Um conjunto de eventos {B i }, i = 1,..., n constitui uma partição do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a seguir: seguir: Os eventos que compõem uma partição são Os eventos que compõem uma partição são - mutuamente exclusivos e, - mutuamente exclusivos e, - quando unidos, englobam todo o espaço amostral - quando unidos, englobam todo o espaço amostral

14 E Partição do Espaço Amostral

15 Teorema da Probabilidade Total Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então: P(A U B) = P(A) + P(B) P(E 1 U E 2 U... U E k ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E k ) A B E1E1 E3E3 E2E2 E4E4

16 Teorema da Probabilidade Total E B A A B A Como posso escrever B? Como posso escrever P(B)?

17 Probabilidade Condicional P(AB) = P(A B) / P(B) P(A B) = P(AB).P(B) = P(BA).P(A) P(BA) = P(A B) / P(A) Teorema da Probabilidade Total Para uma situação representada pelo diagrama: AA B B A B = (B A) U (B A) P(B) = P(B A) + P(B A) = P(BA).P(A) + P(BA).P(A) Regra da probabilidade total para dois eventos quaisquer A e B

18 Teorema da Probabilidade Total Na fabricação de semicondutores, seja 0,10 a probabilidade de que um chip que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. A probabilidade é de 0,005 de um chip que não esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. Em uma corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto usando um desses chips venha a falhar? Faça F denotar o evento em que o produto falhe e faça A denotar o evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação. F evento em que o produto falhe; A evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação; A evento em que o chip não está exposto a altos níveis de contaminação P (FA) = 0,10 P (FA) = 0,005 P (A) = 0,20 P (A) = 0,80 P(F) = P (FA). P(A) + P (FA). P(A) = 0,10. 0,20 + 0,005. 0,80 = 0,024

19 Teorema da Probabilidade Total Para uma situação representada pelo diagrama: B = (B E 1 ) U (B E 2 ) U (B E 3 ) U (B E 4 ) E2E2 E1E1 E3E3 E4E4 B E 2 B E 1 B E 3 B E 4 B Regra da probabilidade total para eventos múltiplos quaisquer E 1, E 2,..., E k. P(B) = P(B E 1 ) + P(B E 2 ) P(B E k ) = P(BE 1 ). P(E 1 ) + P(BE 2 ). P(E 2 ) P(BE k ). P(E k )

20 Teorema da Probabilidade Total Continuando com o exemplo da fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade seja: - 0,1 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; - 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto; - 0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. Em corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips, falhe? H é o evento em que um chip seja exposto a níveis altos de contaminação; M é o evento em que um chip seja exposto a níveis médios de contaminação; L é o evento em que um chip seja exposto a níveis baixos de contaminação; P(F) = P(FH). P(H) + P(FM). P(M) + P(FL). P(L) P(F) = 0,10. 0,20 + 0,01. 0,30 + 0,001. 0,50 P(F) = 0,0235

21 Teorema da Probabilidade Total Considere um evento A e uma partição do espaço amostral Considere um evento A e uma partição do espaço amostral {B i }, i = 1,..., m. Para essa partição e esse evento, tem-se que: {B i }, i = 1,..., m. Para essa partição e esse evento, tem-se que: Ou ainda:

22 Teorema da Probabilidade Total Demonstração E

23 Tendo em vista que a interseção é distributiva em relação à união, Tendo em vista que a interseção é distributiva em relação à união, tem-se que: tem-se que: Como pois {Bi}, é uma partição, então:

24 Teorema da Probabilidade Total Dessa forma, os termos de são mutuamente exclusivos Dessa forma, os termos de são mutuamente exclusivos Portanto:

25 Thomas Bayes ( ) Teorema de Bayes no problema do semicondutor, no problema do semicondutor, podemos querer saber: se o chip podemos querer saber: se o chip semicondutor no produto falhar, qual semicondutor no produto falhar, qual a probabilidade de que ele tenha sido a probabilidade de que ele tenha sido exposto a altos níveis de exposto a altos níveis de contaminação? contaminação? antes queríamos saber qual a antes queríamos saber qual a probabilidade de falhar. probabilidade de falhar. Agora, falhando, queremos saber uma Agora, falhando, queremos saber uma probabilidade associada a uma origem probabilidade associada a uma origem da falha procurando saber a causa da falha procurando saber a causa

26 Teorema de Bayes iguais Considere uma partição do espaço amostral {B j }, j = 1,..., m, com Considere uma partição do espaço amostral {B j }, j = 1,..., m, com P(B j ) > 0 para todo j. Seja ainda A um evento com P(A) > 0 P(B j ) > 0 para todo j. Seja ainda A um evento com P(A) > 0 Da definição de probabilidade condicional: Da definição de probabilidade condicional: Pelo teorema da probabilidade total: Pelo teorema da probabilidade total:

27 Teorema de Bayes As probabilidades P(B j ) são conhecidas como probabilidades a priori, e indica um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação adicional As probabilidades P(B j ) são conhecidas como probabilidades a priori, e indica um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação adicional As probabilidades P(B j |A) são conhecidas como probabilidades a posteriori, e indica um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicinal obtida posteriormente. As probabilidades P(B j |A) são conhecidas como probabilidades a posteriori, e indica um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicinal obtida posteriormente. A expressão acima é conhecida como Teorema de de Bayes A expressão acima é conhecida como Teorema de de Bayes

28 Resumo Regra da adição Regra da adição E A B A B E A B Se A e B eventos mutuamente excludentes: P(A U B) = P(A) + P(B) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

29 Resumo Regra da multiplicação Regra da multiplicação Probabilidade condicional Probabilidade condicional P(A B) = P(A). P(B) estatisticamente independentes A B A B E A B A faz o papel do espaço amostral B faz o papel do espaço amostral

30 Resumo Teorema da probabilidade total Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Teorema de Bayes A P(B j ) > 0 para todo j. Seja A um evento com P(A) > 0 Partição do espaço amostral {B j }, j = 1,..., m

31 Teorema de Bayes Exemplo 1 Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção. A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C. Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B? Defeituosa dado que foi produzida pela máquina B Defeituosa | produzida pela máquina B d | B

32 Chamemos de B o evento fabricado pela máquina B, e de d o evento defeituosa Queremos, dessa forma, a probabilidade P(B|d) Teorema de Bayes Quais os conceitos utilizados até o momento? E i i intacta i = d A B C d

33 Teorema de Bayes E i A B C d A dA dA dA d B dB dB dB d C dC dC dC d

34 d Ad Ad Ad A d Bd Bd Bd B d Cd Cd Cd C d = (d A)U(d B)U(d C) P(d) = P(d A)+P(d B)+P(d C) = = P(d|A). P(A)+P(d|B). P(B)+ + P(d|C). P(C) Por outro lado:

35 Teorema de Bayes d Ad Ad Ad A d Bd Bd Bd B d Cd Cd Cd C

36 Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a probabilidade P(B|d): Teorema de Bayes Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir (origem do problema) de qualquer uma das três máquinas (e só de uma). Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes:

37 Teorema de Bayes Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes: Partição de interesse Somatório em todas as partições

38 Teorema de Bayes A visualização do problema é facilitada pela utilização do seu correspondente diagrama em árvore d A B C 0,40 0,35 0,25 i i i d d 0,02 0,98 0,01 0,99 0,03 0,97 Cada avanço por 1 ramo multiplicação Somam-se os resultados dos caminhos (avanços)

39 Teorema de Bayes Exemplo 2 Um transmissor de localização de emergência de uma aeronave (TLE) é um aparelho projetado para transmitir um sinal no caso de queda. A Altigauge Manufacturing Company faz 80% dos TLEs, a Bryant Company faz 15% deles, e a Chartair Company faz os outros 5%. Os TLEs feitos pela Altigauge têm taxa de defeituosos de 4%, os da Bryant têm taxa de defeituosos de 6%, e os da Chartair, taxa de 9% (o que ajuda a explicar por que a Chartair tem a menor fatia do mercado). (a)Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população original de todos os TLEs, ache a probabilidade de que tenha sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company; (b)Se um TLE é selecionado aleatoriamente e testado e se verifica que é defeituoso, ache a probabilidade de ele ter sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company.

40 D D E A = TLE fabricado pela Altigauge P(A) = 0,80 B = TLE fabricado pela Bryant P(B) = 0,15 C = TLE fabricado pela Chartair P(C) = 0,05 D = TLE é defeituoso D = TLE não é defeituoso (ou é bom) Teorema de Bayes A B C Solução:

41 Teorema de Bayes Exemplo 2 b) Se sabemos agora que o TLE foi testado e é defeituoso, desejamos revisar a probabilidade da parte (a) de modo que a nova informação possa ser usada. Desejamos encontrar o valor de P(A D), que é a probabilidade de que o TLE tenha sido fabricado pela Altigauge, dado que é defeituoso. Com base na informação dada, sabemos estas probabilidades. P(D A) = 0,04 Taxa de defeituosos da Altigauge é de 4% P(D B) = 0,06 Taxa de defeituosos da Bryant é de 6% P(D C) = 0,09 Taxa de defeituosos da Chartair é de 9% a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população geral de todos os TLEs, a probabilidade de ter sido fabricado pela Altiguage é 0,8 (porque a Altigauge fabrica 80% deles).

42 Teorema de Bayes D|A A B C 0,80 0,15 0,05 D|B D|C 0,04 0,06 0,09 D|A D|B D|C 0,8. 0,04 = 0,032 0,15. 0,06 = 0,009 0,05. 0,09 = 0,0045 P(D) = 0,0455

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