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Estatística Aula 23 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves.

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1 Estatística Aula 23 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

2 Aula 23 Teste de Hipóteses para 3 ou mais médias: Teste de Hipóteses para 3 ou mais médias: ANOVA fator único ANOVA fator único

3 Inferência sobre 3 ou mais médias Objetivo: dadas 3 ou mais amostras, verificar a hipótese de igualdade de 3 ou mais médias populacionais Suponha que a equipe de engenheiros de uma fábrica de papel desconfia que a porcentagem (concentração) de madeira de lei na fabricação aumenta a resistência à tensão. Eles resolvem fazer experimentos com 4 níveis de concentração: 5%, 10%, 15% e 20%, fabricando 6 corpos de prova para cada nível, totalizando 24 corpos de prova

4 Inferência sobre 3 ou mais médias O quadro abaixo o experimento com os resultados ObservaçõesConcentração de madeira de lei 5%10%15%20% Médias 10,0015,6717,0021,17 Neste tipo de experimento, há um único fator concentração de madeira de Lei. O fator no nosso exemplo possui 4 níveis chamados de tratamentos Cada tratamento teve 6 observações 6 replicatas

5 Inferência sobre 3 ou mais médias A pergunta a ser respondida: o nível do fator ou os diferentes tratamentos fazem melhorar a resistência à tensão do papel? Outro Exemplo: testar a hipótese de que o CRs acumulados médios dos alunos de engenharia são diferentes para 3 diferentes populações: iniciantes, intermediários e concluintes. Os dados estão a seguir amostras de tamanhos iguais a 30 Quem é o fator? Quem são os tratamentos?

6 Inferência sobre 3 ou mais médias Hipóteses: H 0 : 1 = 2 = 3 =... H 1 : pelo menos uma é diferente das demais População/ estatística IniciantesIntermediáriosConcluintes n30 Média amostral 6,5646,7367,105 s 1,7391,1481,041 Usaremos a chamada análise de variância (ANOVA) médias muito diferentes ocasionam variância entre elas alta

7 Ideia geral do teste: como se supõe que as populações têm variâncias iguais, ou seja, 1 2 = 2 2 = 3 2 =... = 2, estimamos 2 com 2 abordagens diferentes. Com a estatística F descobriremos se estas 2 abordagens possuem estimativas muito direfentes F alto ou parecidas F próximo de 1. O 1º caso será evidência em favor de H 1 e o 2º caso em favor de H 0 Inferência sobre 3 ou mais médias Quais são as 2 abordagens? Variância entre amostras (variância devido ao tratamento) Variância dentro das amostras (variância devido ao erro)

8 Inferência sobre 3 ou mais médias Médias muito diferentes ocasionam variância entre elas alta (variância entre amostras) F alto Região de rejeição rejeitamos H 0 evidência contra a igualdade de médias Médias parecidas ocasionam variância entre elas baixa (variância entre amostras) F baixo Região de não rejeição não rejeitamos H 0 evidência a favor da igualdade de médias População/estatísticaIniciantesIntermediáriosConcluintes n30 Média amostral 6,5646,7367,105 s 1,7391,1481,041 numerador denominador

9 Inferência sobre 3 ou mais médias Suposições: 1)As amostras são independentes umas das outras; 2)As populações têm distribuições que são aproximadamente normais 3)As populações têm a mesma variância (exigência leve tamanhos de amostras iguais podem ter variâncias bem diferentes: a maior ser até 9 vezes a menor os resultados ainda são confiáveis) 4)Amostras aleatórias 5)As amostras são de populações que são categorizadas de uma só maneira

10 Exemplo (continuação): testar a hipótese de que o CRs acumulados médios dos alunos de engenharia são diferentes para 3 diferentes populações: iniciantes, intermediários e concluintes. População/estatísticaIniciantesIntermediáriosConcluintes n30 Média amostral 6,5646,7367,105 s 1,7391,1481,041 numerador denominador Aplicações

11 Aplicações Como sempre achar o valor crítico de F da tabela Para = 0,05 e graus de liberdade: gl numerador = k – 1 = 3 – 1 = 2 gl denominador = k. (n – 1) = 3. (30 – 1) = 87 onde k é o n o de amostras e n o tamanho das amostras (por enquanto o mesmo para todas elas)

12 Aplicações A tabela não possui 87, mas sim 60 e 120, cujos valores são 3,1504 e 3,0718. Tomando o valor médio, temos F c = 3,111 Como F = 1,268 < F c = 3,111 não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância de 5%, para afirmar que as 3 médias sejam diferentes

13 Inferência sobre 3 ou mais médias Esse foi o caso da aplicação da ANOVA de um critério ou ANOVA de fator único, pois usamos uma única característica ou propriedade para categorizar populações. Essa característica é, algumas vezes chamada de tratamento ou fator. Outra observação: os tamanhos das amostras foram iguais, o que facilitou bastante o cálculo e o entendimento A seguir veremos como fica o caso de amostras com tamanhos diferentes

14 ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Para o caso de amostras com tamanhos diferentes, também usamos a estatística F como a razão entre duas estimativas diferentes da variância populacional comum 2, mas agora elas envolvem medidas ponderadas Variação dentro das amostras (erro) Variação entre as médias das amostras (tratamento)

15 ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes k Média de todos os valores amostrais combinados N o de médias populacionais sendo comparadas nini Média dos valores da i-ésima amostra Variância dos valores da i-ésima amostra N o de valores da i-ésima amostra

16 ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes k = 3 3 médias populacionais sendo comparadas: 1, 2 e 3 Amostra 1Amostra 2Amostra 3 a1a1 b1b1 c1c1 a2a2 b2b2 c2c2 b3b3 Suponhamos 3 amostras (tabela abaixo) n 1 = 2n 2 = 3n 3 = 2 média de todos os valores amostrais combinados médias amostrais variâncias amostrais = 7

17 ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Amostra 1Amostra 2Amostra 3 a1a1 b1b1 c1c1 a2a2 b2b2 c2c2 b3b3 Suponhamos 3 amostras (tabela abaixo) n 1 = 2n 2 = 3n 3 = 2 e

18 ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Há uma nomenclatura para estes somatórios onde SQ = Soma dos quadrados ou SQ(dentro das amostras) ou SQ(entre amostras) ou SQ(entre grupos) ou SQ(fator) Dividindo SQ(tratamento) e SQ(erro) por seus respectivos graus de liberdade MQ(tratamento) e MQ(erro) onde MQ = Média quadrática

19 ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes onde N = n 1 + n 2 + n 3 no total de valores em todas as amostras combinadas k do nosso exemplo

20 Então para testarmos a hipótese de diferenças de 3 ou mais médias H 0 : 1 = 2 = 3 =... H 1 : pelo menos uma é diferente das demais ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Estatística de teste: gl = k - 1 gl = N - k

21 Este tipo de teste costuma ser feito com o auxílio da tabela ANOVA ANOVA fator único: amostras de tamanhos diferentes Col 1Col 2Col 3Col 4Col 5 Fonte de variação Soma dos Quadrados (SQ) Graus de liberdade Média Quadrática (MQ) Estatística de teste F Tratamento k - 1 Num = Col 2/Col 3 Num / Den Erro N - k Den = Col 2/Col 3 Total N - 1

22 Aplicações Um engenheiro ambiental está analisando o efeito da vazão de um efluente contaminado com chumbo na concentração de saída do chumbo em um sistema de tratamento. A tabela abaixo apresenta o resultado dos ensaios realizados com 5 vazões diferentes. a)Há qualquer diferença na concentração de saída do chumbo devido à variação na vazão? Use = 0,05

23 Aplicações Uso do Statdisk

24 Aplicações

25 Aplicações Revisitando o teste dos CRs acumulados

26 Estatística Aula 23 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves


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