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Capítulo 8 Inferências com Base em Duas Amostras Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA APLICADA.

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1 Capítulo 8 Inferências com Base em Duas Amostras Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA APLICADA

2 Amostragem Independente e Dependente

3 1.Fontes de dados diferentes Não relacionadas Não relacionadas Independentes Independentes 1.Mesma fonte de dados Pares Pares Medidas repetidas (antes/depois) Medidas repetidas (antes/depois) IndependenteDependente

4 Amostragem Independente e Dependente 1. Fontes de dados diferentes Não relacionadas Não relacionadas Independentes Independentes 2.Usa diferença entre as 2 médias amostrais X 1 - X 2 X 1 - X 2 1. Mesma fonte de dados Pares Pares Medidas repetidas (antes/depois) Medidas repetidas (antes/depois) 2.Usa diferença entre cada par de observações D n = X 1n - X 2n D n = X 1n - X 2n IndependenteDependente

5 Exemplos de Populações Independentes 1.Um dentista deseja determinar se há diferença no número médio de cáries em 2 grupos de classes sociais diferentes. 2.O Ministério da Educação deseja comparar as notas no Provão entre alunos de universidades públicas e privadas.

6 Exemplos de Populações Dependentes 1.A Nike deseja verificar se há diferença na durabilidade de 2 materiais para sola. Um tipo é colocado em um dos pés do tênis, o outro tipo é colocado no outro pé do mesmo par de tênis. 2.Uma universidade deseja comparar as notas de alunos em um simulado do Provão antes e depois de um curso de revisão.

7 Testando Duas Médias Populacionais Dependentes Experimentos de Pares

8 Teste para Diferença de Médias para Amostras aos Pares 1.Testa médias de 2 populações relacionadas Pares Pares Medidas repetidas (antes/depois) Medidas repetidas (antes/depois) 2.Elimina variação entre elementos 3.Hipóteses: Amostras aleatórias independentes Amostras aleatórias independentes Ambas populações com distribuição normal (caso de pequenas amostras somente) Ambas populações com distribuição normal (caso de pequenas amostras somente)

9 Tabela de Coleta de Dados para Teste de Amostras aos Pares Observação Grupo 1 Grupo 2 Diferença 1x 11 x 21 D 1 = x = x 11 -x 21 2x 12 x 22 D x 22 ix 1i x 2i D i 1i - x - x 2i nx 1n x 2n D n = x = x 1n - x - x 2n...

10 Desvio Padrão Amostral S DnD n D i in D D Teste t para Amostras aos Pares Média Amostral t xDxDxDxDS n 0 D DD gln1D x D n i in 1 D D

11 Exemplo de Teste t para Amostras aos Pares Você deseja saber se um programa de treinamento foi efetivo. Você coletou as seguintes notas de um teste padrão: NomeAntes (A) Depois (B) Samuel8594 Tadeu9487 Bruno7879 Marcos8788 Ao nível de 0,10, o treinamento foi efetivo?

12 Tabela de Cálculos ObservaçãoAntesDepoisDiferença Samuel Tadeu Bruno7879 Marcos8788 Total - 4

13 Solução da Hipótese Nula 1.O treinamento foi efetivo? 2.Efetivo significa Depois > Antes. 3.Estatisticamente, significa B > A. 4.Rearranjando termos, dá 0 A - B. 5.Definindo D = A - B e substituindo em (4), dá 0 D ou D. 6.A hipótese alternativa é H 1 : D 0.

14 Solução do Teste t para Amostras aos Pares H 0 : D = 0 ( D = A - B ) H 1 : D < 0 = 0,10 = 0,10 gl = = 3 Valor Crítico: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão: Não rejeitar com = 0,10 Não há evidência que treinamento foi efetivo t Reject t x S n 0 D D ,, D D

15 Estimação por Intervalo: Diferença de Duas Médias Populacionais Independentes Caso de Amostras Grandes

16 Intervalo de Confiança para Amostras Grandes 1.Hipóteses: Amostras aleatórias independentes Amostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 (n 1 30 e n 2 30 ) Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 (n 1 30 e n 2 30 ) Se 1 e 2 desconhecidos, use dados amostrais Se 1 e 2 desconhecidos, use dados amostrais

17 Intervalo de Confiança para Amostras Grandes 1.Hipóteses: Amostras aleatórias independentes Amostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 (n 1 30 e n 2 30 ) Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 (n 1 30 e n 2 30 ) Se 1 e 2 desconhecidos, use dados amostrais Se 1 e 2 desconhecidos, use dados amostrais 2.Intervalo de confiança para :

18 Exemplo de Estimação de Duas Médias (Amostras Grandes) Usando os seguintes dados sobre preços de automóveis, construa um intervalo com 95% de confiança para a diferença entre os preços médios populacionais.

19 Solução do Exemplo de Estimação

20 Testando Duas Médias Populacionais Independentes Teste Z para Amostras Grandes

21 Teste Z de Duas Médias Independentes (Amostra Grande) 1.Hipóteses: Amostras aleatórias independentes Amostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 (n 1 30 e n 2 30 ) Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 (n 1 30 e n 2 30 )

22 Teste Z para Duas Médias Independentes (Amostra Grande) 1.Hipóteses: Amostras aleatórias independentes Amostras aleatórias independentes Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 (n 1 30 e n 2 30 ) Tamanho de ambas as amostras no mínimo 30 (n 1 30 e n 2 30 ) 2.Teste Z para duas amostras independentes: Z (X X ) nn (X nn ss

23 Exemplo de Teste Z para Amostras Grandes Você é um analista financeiro. Você deseja saber se há diferença nos rendimentos em dividendos entre ações listadas no NYSE e NASDAQ. Você coletou os seguintes dados: NYSE NASDAQ Número NYSE NASDAQ Número Média3,272,53 Desv. Pad.1,301,16 Há diferença no rendimento médio ( = 0,05)? © T/Maker Co.

24 Solução do Teste Z para Amostras Grandes H 0 : = 0 ( 1 = 2 ) H 1 : ( 1 2 ) 0,05 0,05 n 1 = 121, n 2 = 125 Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão: Rejeitar com = 0,05 Há evidência de diferença nas médias z Reject H z,,,,,

25 Comparando 2 Variâncias Populacionais Independentes: Teste F

26 Teste F para Duas Variâncias 1.Testa a diferença entre 2 variâncias populacionais 2.Hipóteses Ambas populações são normalmente distribuídas Ambas populações são normalmente distribuídas Teste não é robusto quanto a violações Teste não é robusto quanto a violações Amostras aleatórias independentes Amostras aleatórias independentes

27 Teste F para Variâncias: Hipóteses e Estatística de Teste 1.Hipóteses H 0 : 1 2 = 2 2 OU H 0 : H 0 : 1 2 = 2 2 OU H 0 : H 1 : H 1 : (ou >) H 1 : H 1 : (ou >) 2.Estatística de teste F = s 1 2 /s 2 2 F = s 1 2 /s 2 2 Dois conjuntos de graus de liberdade Dois conjuntos de graus de liberdade 1 = n 1 - 1; 2 = n = n 1 - 1; 2 = n Segue a distribuição F Segue a distribuição F

28 Teste F para 2 Variâncias: Valores Críticos 0 0 F F

29 0 0 Rejeita H 0 0 F F 0 0

30 Teste F para 2 Variâncias: Valores Críticos

31 /2 /2

32 Teste F para 2 Variâncias: Valores Críticos /2 /2

33 Teste F para 2 Variâncias: Valores Críticos Note! /2 /2

34 Exemplo de Teste F para Variâncias Você é um analista financeiro. Você deseja comparar dividendos de ações listadas na NYSE e na NASDAQ. Você coletou os seguintes dados: NYSE NASDAQ Número 2125 NYSE NASDAQ Número 2125 Média3,272,53 Desv. Pad.1,301,16 Há diferença de variâncias entre a NYSE e a NASDAQ ao nível de 0,05? © T/Maker Co.

35 Solução do Teste F para 2 Variâncias H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão:

36 Solução do Teste F para 2 Variâncias H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão:

37 Solução do Teste F para 2 Variâncias /2 = 0,025 /2 = 0,025

38 Solução do Teste F para 2 Variâncias H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão:

39 Solução do Teste F para 2 Variâncias H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão:

40 Solução do Teste F para 2 Variâncias H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão: Não rejeitar com = 0,05

41 Solução do Teste F para 2 Variâncias H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão: Não rejeitar com = 0,05 Não há evidência de diferença nas variâncias

42 Questão Você é um analista para a companhia de luz. Você deseja comparar o consumo de eletricidade de casas em 2 cidades. Você obteve os seguintes dados de uma amostra de casas : Cidade 1Cidade 2 Número Cidade 1Cidade 2 Número Média$ 85$ 68 Desv. Pad. $ 30 $ 18 Ao nível de 0,05, há evidência de diferença nas variâncias das duas cidades?

43 Solução H 0 : H 1 : Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão:

44 Solução H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão:

45 Solução /2 = 0,025 /2 = 0,025

46 Solução H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão:

47 Solução H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão:

48 Solução H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão: Rejeitar com = 0,05

49 Solução H 0 : 1 2 = 2 2 H 1 : ,05 0, Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão: Rejeitar com = 0,05 Há evidência de diferença nas variâncias

50 Testando as Médias de Duas Populações Independentes Teste t para Amostras Pequenas

51 Teste t para Duas Médias Independentes (Amostra Pequena) 1.Testa médias de 2 populações independentes com variâncias iguais 2.Hipóteses: Tamanho de ao menos uma das amostras menor que 30 Tamanho de ao menos uma das amostras menor que 30 Amostras aleatórias independentes Amostras aleatórias independentes Ambas populações com distribuição normal Ambas populações com distribuição normal Variâncias populacionais são desconhecidas mas supostas iguais Variâncias populacionais são desconhecidas mas supostas iguais

52 Teste t para Amostras Pequenas Diferença suposta

53 Exemplo de Teste t para Amostras Pequenas Você é um analista financeiro. Você deseja saber se há diferença nos rendimentos em dividendos entre ações listadas no NYSE e NASDAQ. Você coletou os seguintes dados: NYSE NASDAQ Número 2125 NYSE NASDAQ Número 2125 Média3,272,53 Desv. Pad.1,301,16 Supondo populações normais, há diferença no rendimento médio ( = 0,05)? © T/Maker Co.

54 Solução do Teste t para Amostras Pequenas Solução do Teste t para Amostras Pequenas

55 Solução do Teste t para Amostras Pequenas H 0 : = 0 ( 1 = 2 ) H a : ( 1 2 ) 0,05 0,05 gl = 44 Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão: Rejeitar com = 0,05 Há evidência de diferença nas médias

56 Teste Z para Diferenças entre Duas Proporções

57 Teste Z para Diferença entre Duas Proporções 1.Hipóteses: Populações são independentes Populações são independentes Populações seguem distribuição binomial Populações seguem distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usada Aproximação pela Normal pode ser usada não contém 0 ou n não contém 0 ou n

58 Teste Z para Diferença entre Duas Proporções 1.Hipóteses: Populações são independentes Populações são independentes Populações seguem distribuição binomial Populações seguem distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usada Aproximação pela Normal pode ser usada não contém 0 ou n não contém 0 ou n 2.Teste Z para duas proporções:

59 Exemplo de Teste Z para Duas Proporções Você quer testar a percepção de justiça de dois métodos de avaliação de desempenho. 63 de 78 empregados acharam o Método 1 justo. 49 de 82 acharam o Método 2 justo. Ao nível de 0,01, há diferença nas percepções?

60 Solução do Teste Z para Duas Proporções

61 H 0 : p 1 - p 2 = 0 H 1 : p 1 - p 2 0 = 0,01 = 0,01 n 1 = 78 n 2 = 82 Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão:Conclusão: Rejeitar com = 0,01 Há evidência de diferença nas proporções


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