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Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico Capítulo 07 Teoria da Estimação Prof. Sérgio Mário Lins Galdino

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1 Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico Capítulo 07 Teoria da Estimação Prof. Sérgio Mário Lins Galdino

2 Agenda Estimativas não-tendenciosos e Estimativas Eficientes Estimativas pontuais e Estimativas Intervalares Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População Intervalos de Confiança para Médias Intervalos de Confiança para Proporções Intervalos de Confiança para Diferenças e Somas

3 Estimativas não-tendenciosos e Estimativas Eficientes Uma estimativa é não tendenciosa quando a média ou esperança da estatística é igual ao parâmetro da população. Quando duas estatísticas da distribuição amostral tem mesma média, a estatística coma menor variância é a mais eficiente. Estatística eficiente e não tendenciosa nem sempre é possível

4 Estimativas pontuais e Estimativas Intervalares Um estimador pontual de um parâmetro populacional é dado por um único valor. Um estimador intervalar de um parâmetro populacional é dado por dois números (limites inferior e superior) no qual o parâmetro é considerado pertencer. Exemplo: Temperatura: 28ºC (pontual) Temperatura: 28±2 (intervalar)

5 Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População Sejam s e s a média e o desvio padrão (erro padrão) da distribuição amostral de uma estatística amostral S. Assumindo S normalmente distribuída ( n 30, lei dos grandes números). Espera-se encontrar S nos intervalos s ± s, s ±2 s e s ± 3 s em cerca de 68,27%, 98,45% e 99,83% das vezes.

6 Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População Os números extremos dos intervalos S 1.96 s e S 2.58 s, são chamados limites de confiança 1- 95% e 99% (ou 0.95 e 0.99). Os números 1.96, 2.98, etc. são os valores críticos (z c ). Exemplo:> LC= 0.95 > ZC = qnorm(1 - (1-LC)/2) > ZC [1] Limite de confiança zczc

7 Estimativas do Intervalo de Confiança dos Parâmetros da População O limite de confiança (1- ). 100% onde [0, 1] (LC = 1- ) pode-se determinar um z como P (z < z < z ) = 1 α z é chamado de z 1α/2. Em R ele é calculado pela função qnorm > alpha = c(0.01,0.02,0.04,0.05,0.10,0.20,0.5) > zasterisco = qnorm(1 - alpha/2) > zasterisco [1] >

8 Intervalos de Confiança para Médias Amostras grandes ( n 30). Os limites de confiança para a média da população são no caso de uma população infinita, ou por no caso de amostragem com reposição de uma população finita,

9 Intervalos de Confiança para Médias Exemplo: Encontre os limites de confiança de 95% e 99% de uma amostra de tamanho 30 com média 1.82 e desvio padrão amostral Resposta: Os limites de confiança de 95% são > qnorm(1-(1-0.95)/2)*0.17/sqrt(30) [1] >

10 Intervalos de Confiança para Médias Os limites de confiança de 99% são > qnorm(1-(1-0.99)/2)*0.17/sqrt(30) [1] >

11 Intervalos de Confiança para Médias Amostras pequenas (n < 30) e População Normal. Usa-se a distribuição T (t de Student) para obtenção dos limites de confiança. Por exemplo -t 0.95 e t 0.95 são os valores de T para os quais 5% da área pertence a cada lado da distribuição T

12 Intervalos de Confiança para Médias Amostras pequenas (n < 30) e População Normal. pode ser estimado pertencer ao intervalo com 95% de confiança. Os limites de confiança são com t c obtido por tabela ou calculado

13 Intervalos de Confiança para Médias Amostras pequenas (n < 30) e População Normal. Exemplo: Os valores de t c em R são calculado pela função qt. > qt(.975, df = c(1:10,20,50,100,1000)) [1] [12] >

14 Intervalos de Confiança para Médias Amostras pequenas (n < 30) e População Normal. Exemplo: x=c(175, 176, 173, 175, 174, 173, 173, 176, 173, 179) n=length(x) xm=mean(x) df=n-1 tc=qt(0.975,df) delta.x=tc*sd(x)/sqrt(n) x.inf=xm-delta.x x.sup=xm+delta.x

15 Intervalos de Confiança para Médias Amostras pequenas (n < 30) e População Normal. Exemplo(continuação) ># Intervalo de confiança de 95% > x.inf [1] > x.sup [1] > # Média de x > xm [1] > xm/sd(x)*sqrt(10) [1] >

16 Intervalos de Confiança para Médias Amostras pequenas (n < 30) e População Normal. Exemplo(continuação) > t.test(x) One Sample t-test data: x t = , df = 9, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x >

17 Intervalos de Confiança para Proporções Suponha que a estatística S é a proporção de sucesso em uma amostra de tamanho n30 extraída de uma população binomial em que p é a proporção de sucessos (i. é., probabilidade de sucesso). Os limites de confiança para a proporção da população são dadas por para uma amostra de população infinita, ou uma amostra com reposição de uma população finita.

18 Intervalos de Confiança para Proporções (continuação) Os limites de confiança para a proporção da população são dadas por se a amostragem é sem reposição, de uma população finita de tamanho N.

19 Intervalos de Confiança para Proporções (continuação) Exemplo: Uma amostra aleatória de 600 eleitores de certo distrito eleitoral dá 55% como favoráveis a determinado candidato A. Determine limites de confiança para a proporção global de eleitores favoráveis ao candidato na base de 99%. Os limites de confiança de 99% para população são Conclusão: O candidato A está com 99% de chance para vencer as eleições

20 Intervalos de Confiança para Diferenças e Somas Se S 1 e S 2 são duas estatísticas amostrais com distribuições amostrais aproximadamente normais, a expressão dá limites de confiança para as diferenças dos parâmetros populacionais, e dá os limites de confiança para a soma dos parâmetros populacionais, desde que as amostras sejam independentes.

21 Intervalos de Confiança para Diferenças e Somas No caso de populações infinitas dá limites de confiança para as diferenças dos parâmetros populacionais onde são as respectivas médias, desvios padrões e tamanhos das duas amostras populacionais. Analogamente, dá os limites de confiança para a soma dos parâmetros populacionais, desde que as amostras sejam independentes.


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